任美英，曾亮

(1．武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山 354300;2．廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門 361005)

0 引言

自1997年P(guān)hillips［1］提出并研究q－Bernstein算子以來，q－微積分在逼近論中的應(yīng)用成為了一個(gè)研究熱點(diǎn)，很多逼近論方向的專家學(xué)者致力于該領(lǐng)域的研究，獲得了許多很好的結(jié)果，如文獻(xiàn)［2－6］．2011年，Yüksel［7］研究了q－Phillips算子的逼近性質(zhì)．提出修正的q－Phillips算子，并研究修正q－Phillips算子的逼近性質(zhì)．

首先，引入q－整數(shù)和q－微積分的若干概念，這里所述的概念詳細(xì)可見文獻(xiàn)［8－12］．對任意固定的實(shí)數(shù)q＞0和非負(fù)整數(shù)k，q－整數(shù)和q－階乘分別定義為:

兩個(gè)q－模擬指數(shù)函數(shù)分別定義為:

q－Jackson積分和q－廣義積分分別定義為:

假設(shè)級數(shù)絕對收斂．對t＞0，q－Gamma函數(shù)定義為:

1 算子的構(gòu)造

設(shè)f∈C［0，∞)，q∈(0，1)，x∈［0，∞)，n∈N，文獻(xiàn)［7］定義了如下q－Phillips算子:

其中:

可以計(jì)算得到算子Pqn(f;x)的如下各階矩量(見文獻(xiàn)［7］)．

引理 1［7］對式(1)給出的算子Pqn(f;x)，讓 em(t)=tm，m=0，1，2，3，4，則

由引理1知，算子Pqn(f;x)只保持常數(shù)．為了提高算子列{Pqn(f;x)}的收斂速度，可以將它進(jìn)行修正，使得修正后的算子能保持線性函數(shù)．

設(shè)f∈C［0，∞)，q∈(0，1)，x∈［0，∞)，n∈N，定義修正的q－Phillips算子如下:

其中:pn，k(x，q)由(2)式給出．

引理2 對(3)式定義的算子~Pqn(f;x)，讓em(t)=tm，m=0，1，2，3，4，則

基于qn∈(0，1)，=1時(shí)，由n→∞ 可得［n］qn→∞(見文獻(xiàn)［13］)和，易知，

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 設(shè)qn∈(0，1)，則對任意f∈C2*［0，∞)，序列{(f;x)}在區(qū)間［0，A］上一致收斂于f當(dāng)且僅當(dāng)=1．

另一方面，若對f∈C2*［0，∞)，序列{(f;x)}在［0，A］上一致收斂于f，則=1．事實(shí)上，若不然，注意到qn∈(0，1)，則必存在一個(gè)子列{qnk}?(0，1)，使得=q0∈［0，1)，這樣，這表明序列{(f;x)}在［0，A］上非一致收斂于f，與已知矛盾．因此，=1．定理證畢．

定理2 設(shè)序列{qn}滿足qn∈(0，1)，=1且qnn=c(c是常數(shù))，則對任意f∈C2*［0，∞)使得f'，f″∈C2*［0，∞)，有［n］qn((f;x)－ f(x))= ［(1 － c)x+1］xf″(x)．

由Cauchy－Schwartz不等式，有

在此還應(yīng)特別提及各級教研組織的力量．例如，中國特有的“教研員”在這方面就具有特別重要的作用：“中國有專門的包含省、地（市）、縣（區(qū)）等各級教研室的教研工作管理系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)中的教研員通過有計(jì)劃的、形式多樣的教研活動(dòng)，組織不同層級的課例研究，從而為中國教師專業(yè)發(fā)展提供有效支持．”[9]

由文獻(xiàn)［15］有:

其中:c是一個(gè)正常數(shù)．

定理3 設(shè)q∈(0，1)，f∈CB［0，∞)，則對任意的x∈(0，∞)，有:

其中:c是一個(gè)正常數(shù)．

證明 設(shè)g∈W2，x∈(0，∞)，由泰勒公式知，

因?yàn)閷∈CB［0，∞)，n∈N和x∈(0，∞)，由式(3)和引理2可得:

因此，有:

對上式右邊關(guān)于g∈W2取下確界，有:

從而由式(6)知，存在常數(shù)c＞0，使得:

定理證畢．