陳婉琳，龔曉杰，趙亮，張惠英

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院，福建福州 350116)

0 引言

近年來，學者們研究了具有避難所的捕食－食餌系統(tǒng)［1－4］，發(fā)現(xiàn)避難所對系統(tǒng)動力學行為的影響較為復雜．吳玉敏等［4］研究了一類具有避難所和修正Leslie－Gower項的非自治捕食－食餌系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)避難所的增大有利于系統(tǒng)的持久發(fā)展．而由于其它食物來源的存在，捕食者種群恒持久，且捕食者種群密度隨著其他食物來源的增大而增大，從而間接的對食餌種群產(chǎn)生不利影響．考慮到對于生命短世代不重疊的種群或是數(shù)量較少的生命長世代重疊的種群用差分方程表示更為合理，在文［4］的基礎上，我們研究如下差分系統(tǒng):

其中:x(n)，y(n)分別表示食餌和捕食者的種群數(shù)量;a(n)，b(n)，c(n)，r1(n)，r2(n)，k(n)，q(n)均為有正的上下界的非負序列，a(n)，r1(n)分別表示食餌和捕食者的內稟增長率，b(n)為食餌種群的密度制約因素，c(n)表示捕獲率，k(n)衡量了捕食者除食餌之外的其他食物來源的豐富程度，q(n )(0≤q(n)＜ 1)為食餌避難所的最大容納量，q(n)x數(shù)量的食餌躲進避難所， (1－q(n))x數(shù)量的食餌可被捕食者捕獲．根據(jù)生物學意義，假設系統(tǒng)(1)滿足初始條件x(0)＞0，y(0)＞0，從而易知，對于任意n≥0，都有x(n)＞0，y(n)＞0．本文的目的旨在通過對差分系統(tǒng)(1)的動力學行為進行詳細探討．

此外，對于任一非負有界序列{f(n)}，定義:

1 持久性

定理1 假設條件

成立，則系統(tǒng)(1)是持久的．

證明 設 (x(n)，y(n))T為系統(tǒng)(1)的任一正解，類似文［2］中定理2．3的證明，可以得到:

根據(jù)引理1知:

所以

于是，有:

令ε→0，有:

由系統(tǒng)(1)的第二個方程有:

根據(jù)引理1得:

通過計算，可知:

所以，有:

令ε→0，有:

根據(jù)(3)，(4)和(6)式可知，在(2)條件下系統(tǒng)(1)是持久的．定理證畢．

2 全局穩(wěn)定性

定理2 在條件(2)成立的前提下，進一步假設條件:

成立，則系統(tǒng)(1)的正解是全局漸近穩(wěn)定的．

證明 設 (x(n)，y(n))T， (x*(n)，y*(n))T是系統(tǒng)(1)的兩個正解，令:

利用中值定理，則系統(tǒng)(1)等價于:

這里，θi(n)∈(0，1)(i=1，2，3，4)．要證明定理的結論成立，只需證明nlim+u(n)=0，nlim+v(n)=0．→∞→∞

由條件(7)，存在足夠小的ε＞0，使得:

對于上述ε＞0，根據(jù)定理1，存在N2＞N1，當n≥N2時，有:

又因為θi(n)∈ (0，1)(i=1，2，3，4)，所以，x*(n)exp(θi(n)u(n))(i=1，2)在x*(n)和x(n)之間，y*(n)exp(θj(n)v(n))(j=3，4)在y*(n)和y(n)之間．從而，由(8)式得，

再令 λ =max{λ1ε，λ2ε}，由(9)式，有:

從而得到nlim+u(n)=0，nlim+v(n)=0．定理證畢．→∞→∞

3 食餌種群的絕滅性和捕食者種群的穩(wěn)定性

定理3 假設條件

和條件

成立，則

證明 由條件(10)可知，au－cl(1－qu)my＜0，從而可取到足夠小的正數(shù)ε和δ，使得au－cl(1－qu)mεy＜ －δ＜ 0．設 (x(n)，y(n))T是系統(tǒng)(1)的任一正解，根據(jù)定理1，對于上述ε，存在N3＞N1，當n≥N3時，有y(n)≥mεy．故由系統(tǒng)(1)的第一個方程得:

對上式從N3到n求和，得

令 y(n)=y＊＊(n)exp(v(n)) ，利用中值定理可得，系統(tǒng)(1)的第二個方程等價于:

也就是:

則可選取任意小的ε'＞0，使得:

對于上述ε'，根據(jù)nlim+x(n)=0以及定理1，存在充分大的N4＞N3，當n≥N4時，有:→∞

由于 θ(n)∈ (0，1)，所以 y＊＊(n)exp(θ(n)v(n)) 在y＊＊(n)和y(n)之間．由(12)和(13)式可得:

由(14)式，有:

由于λε'＜1，并且ε'任意小，由上式可得nlim+v(n)=0．定理證畢．→∞

4 結語

研究具有避難所的非自治差分修正Leslie－Gower捕食－食餌系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)其他食物來源對系統(tǒng)的持久性起重要作用．由于捕食者種群具有其他的食物來源，捕食者種群恒持久，這與文［4］中所得的結果一致．同時，建立足夠大的避難所就能保證食餌種群持續(xù)生存．也就是說，足夠大的避難所確保了系統(tǒng)的持久發(fā)展，這與Lotka－Volterra模型中，避難所過大時，捕食者種群會由于缺少食物而絕滅的結論有所不同．此外，我們還進一步研究了系統(tǒng)的絕滅性，發(fā)現(xiàn)當避難所較小時，食餌種群由于捕食者的捕食而最終絕滅，但此時捕食者種群由于擁有其他的食物來源仍可以穩(wěn)定振蕩的形式存在．通過以上研究發(fā)現(xiàn)，對捕食者種群而言，多食性捕食者由于食物來源豐富能獲得更好的生存機會，這是單食性物種無法比擬的;對食餌種群而言，建立足夠大的保護區(qū)是確保其持續(xù)生存的重要手段．