藺小林, 藺彥玲

(陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安　710021)

?

復(fù)廣義正定矩陣的定義及其相關(guān)性質(zhì)

藺小林, 藺彥玲

(陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安710021)

摘要：在實(shí)正定矩陣、廣義實(shí)正定矩陣和復(fù)正定矩陣定義及其性質(zhì)的基礎(chǔ)之上，給出了復(fù)廣義正定矩陣的定義及其一些性質(zhì)，并對(duì)相關(guān)性質(zhì)給出了詳細(xì)完整的證明，推廣了實(shí)正定矩陣、廣義實(shí)正定矩陣和復(fù)正定矩陣的相關(guān)結(jié)論.

關(guān)鍵詞：復(fù)廣義正定矩陣; Hermite矩陣; 性質(zhì)

0引言

在矩陣論的研究中，矩陣的正定性是其研究的重要分支之一，不管是在理論上還是實(shí)踐應(yīng)用中，正定矩陣都有著非常重要的作用.而在矩陣的正定性認(rèn)識(shí)與探討中，歷史上最早對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣進(jìn)行了定義，如下：

定義1[1]n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，如果對(duì)任意的X∈Rn×1(X≠0)，都有XTAX>0，則稱(chēng)A為正定矩陣.這類(lèi)正定矩陣全體用集合PS來(lái)表示.

1970年，Johnson給出了未必對(duì)稱(chēng)的實(shí)矩陣的正定性定義.

定義2設(shè)A∈Rn×n，如果對(duì)于任意的X∈Rn×1(X≠0)，都有XTAX>0，則稱(chēng)A為正定矩陣.

這類(lèi)正定矩陣的全體用集合PI來(lái)表示.

在以上實(shí)正定矩陣的定義下，許多學(xué)者對(duì)實(shí)正定矩陣的定義進(jìn)行了推廣.其中，1988年，夏長(zhǎng)富對(duì)正定矩陣進(jìn)行了深層次的定義：

定義3[3]設(shè)A∈Rn×n，如果對(duì)任意的X∈Rn×1(X≠0)，都存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣S=SX∈PS,使得XTSXAX>0，則稱(chēng)A為廣義的正定矩陣.如果S=SX與X無(wú)關(guān)，則把這類(lèi)正定矩陣的全體用集合PS+表示.

在矩陣正定性的研究中，很多學(xué)者不僅研究了實(shí)正定矩陣的正定性問(wèn)題，還研究了復(fù)正定矩陣的正定性問(wèn)題，最開(kāi)始對(duì)復(fù)矩陣正定性的定義僅僅局限于Hermite矩陣，如下：

1985年，Horn和Johnson對(duì)未必對(duì)稱(chēng)的復(fù)矩陣給出了正定性的定義.

除了以上作者對(duì)不同正定矩陣進(jìn)行定義及其性質(zhì)進(jìn)行研究外，后來(lái)也有眾多學(xué)者對(duì)正定矩陣進(jìn)行了更深層次的探討和推廣，2005年YangShichun和WuWenquan[6]給出了廣義正定矩陣的定義并研究了其相關(guān)性質(zhì).2010年，王志偉和王偉賢[7]探討了正定矩陣的子式陣的正定型，2013年，黃毅[8]給出了復(fù)正定矩陣的一些性質(zhì)并對(duì)復(fù)正定矩陣進(jìn)行了分類(lèi)，2014年，秦應(yīng)兵[9]對(duì)廣義正定矩陣進(jìn)行了進(jìn)一步的推廣，同時(shí)，黃毅和歐鵬[10]也研究了亞正定矩陣的基本性質(zhì).

在實(shí)正定矩陣、廣義實(shí)正定矩陣和復(fù)正定矩陣定義的啟發(fā)下，受以上各種定義的影響，本文進(jìn)一步推廣了復(fù)正定矩陣正定性的定義，并且在該定義之下，對(duì)復(fù)廣義正定矩陣的一些性質(zhì)進(jìn)行了深入探討，得到了相關(guān)結(jié)論.

1主要結(jié)論

顯然，

(1)

引理2[11]設(shè)A,B是復(fù)正定矩陣，則A+B是復(fù)正定矩陣；若k為正實(shí)數(shù)，則kA是正定復(fù)矩陣.

引理3[3]設(shè)A∈Rn×n，則A∈PS+的必要充分條件是，存在S∈PS，使SA+ATS∈PS.

(2)

中，由于Re(t)>0，所以矩陣tE為實(shí)部均為正的對(duì)角矩陣，且其對(duì)角元素的實(shí)部為

Re(diag(tE))=diag(Re(t),Re(t),…,Re(t))，

該定理的證明類(lèi)似于文獻(xiàn)[11]中系5的證明，此處從略.

2結(jié)論

本文基于實(shí)正定矩陣和廣義實(shí)正定矩陣的定義、性質(zhì)以及相互關(guān)系，并根據(jù)復(fù)正定矩陣的定義和性質(zhì)，給出了復(fù)廣義正定矩陣的定義，討論了復(fù)廣義正定矩陣的相關(guān)性質(zhì)并給出了證明，本文所給出的這些定義和所得到的相關(guān)結(jié)論推廣了已有的有關(guān)正定矩陣的定義和某些結(jié)論，這些理論在矩陣論的研究和應(yīng)用中具有一定意義.

參考文獻(xiàn)

[1]王蕚芳，石生明.高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，2003:231-237.

[2]JohnsonCR.Positivedefinitematrices[J].AmerMonthly,1970,77:295-264.

[3]夏長(zhǎng)富.矩陣正定的進(jìn)一步推廣[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，1988,8(4):499-504.

[4]張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004:53-54.

[5]HornRA,JohnsonCR.MatrixAnalysis[M].England:CambridgeUniversityPress,1985.

[6]YangShichun,WuWenquan.Onthegeneralizedpositivedefinitematrices[J].MathematicsinPracticeandTheory,2005(5):146-150.

[7]王志偉，王偉賢. 關(guān)于正定矩陣的子式陣的正定性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40(11)：174-178.

[8]黃毅.復(fù)正定矩陣的性質(zhì)和分類(lèi)[J].成都大學(xué)學(xué)報(bào)，2013,32(3)：238-241.

[9]秦應(yīng)兵.廣義正定矩陣的等價(jià)定義及進(jìn)一步推廣[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014,30(5):62-64.

[10]黃毅，歐鵬.亞正定矩陣的基本性質(zhì)[J].成都大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014,33(1)：20-22.

[11]李俊杰.論復(fù)矩陣的正定性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1995,25(2):59-63.

[12]陳景良.特殊矩陣[M].北京：清華大學(xué)出版社，2001.

[13]張璐璐.關(guān)于廣義復(fù)正定矩陣的若干結(jié)論[J].長(zhǎng)春工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2013,14(2):118-120.

Thedefinitionandpropertiesofacomplexgeneralizedpositivematrix

LINXiao-lin,LINYan-ling

(CollegeofScience，ShaanxiUniversityofScience&Technology,Xi′an710021,China)

Abstract:Based on the definitions and properties of a real positive matrix, a real generalized positive matrix and a complex positive matrix, the paper gave the definition and some properties of a complex generalized positive matrix, and various properties were detailed and complete proof.

Key words:a complex generalized positive matrix; Hermite matrix; properties

中圖分類(lèi)號(hào)：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-5811(2015)05-0183-03

作者簡(jiǎn)介:藺小林(1961-)，男，陜西洛川人，教授，博士，研究方向：數(shù)值計(jì)算理論及其應(yīng)用

基金項(xiàng)目：陜西省科技廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室科技計(jì)劃項(xiàng)目(2011HBSZS014)； 陜西科技大學(xué)學(xué)術(shù)團(tuán)隊(duì)計(jì)劃項(xiàng)目(2013XSD39)

收稿日期:*2015-05-25