鋪層結(jié)構(gòu)三維等效彈性常數(shù)研究

張青雷1,2唐玉良1

1.上海理工大學(xué)，上海，200093

2.上海電氣集團股份有限公司，上海，200070

摘要：從鋪層結(jié)構(gòu)的三維宏觀彈性特性出發(fā)，利用三維層壓結(jié)構(gòu)理論，獲得了復(fù)合層板的三維彈性常數(shù)的等效公式。以MATLAB為平臺，編寫模塊化程序，將層壓結(jié)構(gòu)理論運用于某大型回轉(zhuǎn)機械平行鋪層和環(huán)狀鋪層結(jié)構(gòu)的三維彈性常數(shù)等效中，輸入每個單層結(jié)構(gòu)的彈性參數(shù)，該程序可自動生成部件等效剛度矩陣、柔度矩陣和等效彈性常數(shù)；結(jié)合APDL參數(shù)化語言建立有限元模型，對等效前后的結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析比較。結(jié)果表明，等效前后部件前三階固有頻率的變化率都小于5%，說明該方法對此類復(fù)合鋪層結(jié)構(gòu)的三維彈性常數(shù)等效是可行的。

關(guān)鍵詞：鋪層結(jié)構(gòu)；三維等效彈性常數(shù)；有限元；模態(tài)分析

中圖分類號：TB302.3

收稿日期：2015-06-02

作者簡介：張青雷，男，1973年生。上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生導(dǎo)師，上海電氣集團股份有限公司中央研究院數(shù)字化設(shè)計研究室主任、教授級高級工程師。研究方向為數(shù)字化設(shè)計與制造。取得發(fā)明專利、實用新型專利、軟件著作權(quán)23項。發(fā)表論文60余篇。唐玉良，男，1989年生。上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生。

Research on Three Dimensional Equivalent Elastic Constant of Layer Structure

Zhang Qinglei1,2Tang Yuliang1

1.University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai,200093

2.Shanghai Electric Group Co., Ltd.,Shanghai,200070

Abstract:An equivalent formula of 3D elastic constants of composite laminates was presented herein according to three-dimensional macroscopic elastic properties of the laminated structure and the three-dimensional laminated structure theory. A modular program was also established on a MATLAB platform, this theory was applied in the equivalent of the plane ply and ring ply part of a large rotating mechanism. Inputting the elastic parameters of each single layer structure, the stiffness matrix, flexibility matrix and equivalent elastic constants can be automatically generated in the equivalent model. Then, the finite element model was built in ANSYS parametric language, the modal analysis result of the structure before and after equivalent was compared. The results show that the relative error is within 5%, which proves that the equivalent method used in this kind of layer structure is feasible.

Key words：layer structure; three dimensional equivalent elastic constant; finite element; modal analysis

0引言

層壓復(fù)合材料主要是指在電氣工業(yè)、航空及機械制造等領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的一類纖維增強復(fù)合材料層壓結(jié)構(gòu)[1-2]，包括由相同組分鋪層疊合而成的層壓桿、板、殼結(jié)構(gòu)，或由不同組分鋪層疊合而成的層間混雜層壓結(jié)構(gòu)[3]，目前，這類結(jié)構(gòu)有限元分析中材料屬性的等效計算研究十分匱乏。隨著復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的日益復(fù)雜和有限元分析水平的不斷提高，復(fù)合材料的仿真分析逐漸由二維應(yīng)力向三維應(yīng)力分析過渡[4]。得到準確的材料性能參數(shù)是進行仿真分析的前提，但目前國內(nèi)外復(fù)合材料力學(xué)性能表征體系一般只有單層板的材料性能數(shù)據(jù)，所以，研究復(fù)合材料的三維彈性參數(shù)對深入研究復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性和進行復(fù)合材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計具有重要意義。

在大型回轉(zhuǎn)機構(gòu)的研究分析中，一些部件由多種材料層壓復(fù)合而成，結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，對其進行有限元建模及材料屬性賦值時比較困難，關(guān)于這方面的理論研究也相對較少。文獻[5]采用超聲技術(shù)對電機鋪層結(jié)構(gòu)彈性參數(shù)進行測定，但空氣會對測試結(jié)果帶來一系列偏差。文獻[6]采用Halpain-Tsai修正混合率公式對定子線棒結(jié)構(gòu)的材料屬性進行等效，等效前后3階固有頻率最大超過10%。文獻[7]在對電機繞組的等效中確定了彈性模量，但無法計算出合適的泊松比，只給出了假設(shè)值。本文對三維層合板復(fù)合材料彈性常數(shù)等效方法進一步改進，通過編寫MATLAB程序，將其應(yīng)用于某大型回轉(zhuǎn)機械平行鋪層和曲面鋪層部件的材料等效中，計算等效后的彈性常數(shù)，并分析比較等效前后結(jié)構(gòu)的模態(tài)計算結(jié)果。

1三維彈性常數(shù)等效的理論分析

在工程實際中應(yīng)用的復(fù)合材料層板，常采用多鋪層結(jié)構(gòu)相同的子層板疊層。假設(shè)一個三維厚層壓板由M個交疊合的子層板組成；子層板又包含了N個正交各向異性的纖維增強復(fù)合材料單層，每個單層的鋪層方向可以是任意的，如圖1所示。

圖1　三維層板的結(jié)構(gòu)

典型單元的宏觀有效力與應(yīng)變的定義如下：

(1)

式中，σij為每一單層的應(yīng)力；εij為每一單層的應(yīng)變；V為典型單元整個厚度內(nèi)的體積。

假定面內(nèi)尺度是微小的，因此每一單層內(nèi)的應(yīng)力與應(yīng)變在單元面內(nèi)方向可以看成均勻分布的，即為常數(shù)。于是由式(1)可得

(2)

其中，φk表示第k單層的體積分數(shù)，由下式確定：

(3)

式中，tk、h分別為第k單層和子層的厚度。

根據(jù)應(yīng)力和位移在單層界面上的連續(xù)條件，可以假定：

(4)

根據(jù)彈性力學(xué)中等效應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系[8]，在層板中可得如下關(guān)系式：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

等效密度為

(14)

式中，ρi為各個單層的密度。

2數(shù)值計算及驗證

2.1平行鋪層部件的等效計算及驗證

對于非均衡層板和一般形式的層間混雜層板，可使用三維有效彈性常數(shù)的一般表達式。部件主要由不銹鋼、銅、中間墊層和外包裹層疊合而成，其端面結(jié)構(gòu)如圖2a所示，整體視圖見圖2b，材料屬性參數(shù)見表1。對于部件中材料為各向同性的層板，在計算其柔度矩陣時，其剪切模量可以通過彈性模量E和泊松比ν用公式G=E/2(1+ν)求得。利用等效公式(6)～式(13)在MATLAB中編寫等效程序，將各組分的材料參數(shù)輸入程序，即可計算出等效后的剛度矩陣和柔度矩陣。

(a)部件截面(b)整體視圖 圖2　部件的結(jié)構(gòu)

參數(shù)不銹鋼銅中間墊層外包裹層ρ(kg/m3)7205836018002350φ(%)10.2851.832.0535.84E11(GPa)20011710044.7E22(GPa)20011710043.3E33(GPa)20011710044.7G12(GPa)76.3445.3538.465.23G23(GPa)76.3445.3538.461.29G31(GPa)76.3445.3538.465.23ν120.310.290.30.29ν230.310.290.30.31ν130.310.290.30.31

依次列出該部件各組分的柔度矩陣和剛度矩陣，再利用等效公式編程求解，可得等效后的剛度矩陣為

等效后的柔度矩陣為

有效工程常數(shù)與柔度矩陣元素的關(guān)系[11]為

(15)

求解上式即可得到等效后的彈性參數(shù)，包括彈性模量，如表2所示。

表2　等效后部件的彈性參數(shù)

為了驗證該等效結(jié)果的可靠性，在ANSYS中建立部件有限元模型，利用等效前后的彈性參數(shù)進行模態(tài)分析比較。

部件的APDL建模過程如下：首先按照幾何約束關(guān)系及相應(yīng)尺寸建立完整的部件軸線平面展開線，接著將該曲線離散成一系列的節(jié)點，并將節(jié)點編號，再通過二維到三維的坐標變換把這些節(jié)點還原到三維中，形成部件端部繞組的三維軸線，最后根據(jù)截面的形狀建立多個矩形塊，生成等效前的部件有限元模型，截面如圖3a所示，同時將截面只劃分成一個矩形，生成等效后的有限元模型，截面如圖3b所示。

(a) 等效前有限元(b) 等效后有限元 模型截面 模型截面 圖3　等效截面

將等效前后的模型賦上相應(yīng)的彈性參數(shù)，對整個部件進行模態(tài)分析，振型如圖4所示，固有頻率如表3所示。

(a)一階模態(tài)

(b)二階模態(tài)

(c)三階模態(tài) 圖4　平行部件等效前后的振型

階次固有頻率(Hz)等效前等效后等效前后變化率(%)14.1164.2262.67212.66813.0663.14325.38324.130-4.94

由表3中比較結(jié)果可知，等效前后部件前3階固有頻率的變化率中最大的為第3階，減小了4.94%，最小為第1階，增加了2.67%，所有變化率都在5%之內(nèi)，變化較小，說明部件使用該等效方法是合理的。

2.2環(huán)形鋪層部件的等效計算及驗證

該環(huán)形部件的結(jié)構(gòu)如圖5所示，主要由內(nèi)層、中間層和外層組成，呈周期排列，材料參數(shù)如表4所示。對于此類的各項同性層板，等效三維彈性常數(shù)可以由式(6)～式(13)進一步簡化：

(16)

圖5　環(huán)形部件的結(jié)構(gòu)

參數(shù)內(nèi)層中間層外層ρ(kg/m3)332045001800φ(%)423622E(GPa)109427.669ν0.340.250.33

將各個組分的材料參數(shù)輸入等效程序中進行等效計算。得到等效后的參數(shù)E=222GPa，ν=0.32，ρ=2848kg/m3，將等效前后的彈性參數(shù)分別賦給等效前后的模型進行有限元分析，結(jié)果如圖6所示。

由表5中比較結(jié)果可知，等效前后部件前3階固有頻率的變化率中最大的為第3階，增大了4.3%；最小為第1階，增大了3.2%，變化均在合理范圍內(nèi)，說明該方法對環(huán)形鋪層結(jié)構(gòu)等效也是可行的。

3結(jié)論

(1)對復(fù)合材料三維等效彈性參數(shù)進行了理論推導(dǎo)，以某大型回轉(zhuǎn)機械的平行鋪層和環(huán)狀鋪層部件為例，對其彈性常數(shù)進行了等效計算和驗證。

(a)一階模態(tài)

(b)二階模態(tài)

(c)三階模態(tài) 圖6　環(huán)形部件等效前后的振型

階次固有頻率(Hz)等效前等效后等效前后變化率(%)148.8350.403.22132.53137.363.63240.11251.224.3

(2)分別建立了平行和環(huán)狀鋪層部件等效前后的有限元模型，對比分析等效前后的3階固有頻率和振型，得到比傳統(tǒng)的如Halpain-Tsai修正公式更小的誤差，說明該等效方法更加合理。

(3)針對此類多層板復(fù)合的特殊結(jié)構(gòu)，提出了各向異性和各向同性兩種鋪層結(jié)構(gòu)的等效算法，并以MATLAB為平臺開發(fā)了模塊化程序，為該類型結(jié)構(gòu)的等效計算提供參考。

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(編輯蘇衛(wèi)國)