常利率復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型下穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)的必要條件

喬克林，高淵，張寧

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西延安716000)

摘要：假設(shè)保險(xiǎn)公司剛開(kāi)始持有的資本為u，以常數(shù)δ為利率積累，并且保單總份數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)過(guò)程，理賠總次數(shù)服從Poisson過(guò)程，給出常利率復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型以及穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)的必要條件。

關(guān)鍵詞：常利率；雙險(xiǎn)種；復(fù)合負(fù)二項(xiàng)；穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)

中圖分類(lèi)號(hào)：O211.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-602X(2015)01-0007-02

收稿日期：2014-12-19

基金項(xiàng)目：陜西省教育廳自然科學(xué)基金(2010JK914)；延安大學(xué)教改項(xiàng)目(YDJG10-02)

作者簡(jiǎn)介：?jiǎn)炭肆?1964—)，男，陜西佳縣人，延安大學(xué)副教授。

Abstract：Assume that insurance companies began to hold capital to u,with constane δ is accumulation of interest rates,and policy number always obey hegative binomia process,manage compensate total number follows poisson process.we give the compound negative binomial risk model with constant interest rate and the requirement of insurance company working stably.

風(fēng)險(xiǎn)理論就是指在運(yùn)行中的保險(xiǎn)公司，在各種各樣的損失的概率分布的基礎(chǔ)上，進(jìn)行精確的數(shù)理運(yùn)算和數(shù)理分析的理論。它的核心在于模型的建立和數(shù)理方法的應(yīng)用。而在各種模型中，帶利率的模型難度較大。在以往的研究中，分別討論了簡(jiǎn)單的Poisson過(guò)程模型[1-3]，二項(xiàng)過(guò)程模型[4-6]、負(fù)二項(xiàng)模型[7-9]等等。因此本文在此基礎(chǔ)上，建立利率、保費(fèi)的復(fù)合的負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型。會(huì)出現(xiàn)兩種索賠，三種可能和風(fēng)險(xiǎn)公司穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)的必要條件。

1模型假設(shè)

(1)假設(shè)保險(xiǎn)公司剛開(kāi)始持有的資本為u,(u≥0)資本始終積累，并且是以常數(shù)δ(δ>0)為利率開(kāi)始積累的。

(4)當(dāng)理賠發(fā)生時(shí)，下面三種理賠有并且僅有一種可能發(fā)生：

(1)如果只有第一種險(xiǎn)種發(fā)生理賠；

(2)如果只有第二種險(xiǎn)種發(fā)生理賠；

(3)如果兩種險(xiǎn)種都發(fā)生理賠。

上面三種事件分別發(fā)生的概率為p1，p2，p3，顯然P1+P2+P3=1。

假設(shè)第一種險(xiǎn)種的理賠額Z1，它的分布函數(shù)為H1(z)，均值為μ1；第二種險(xiǎn)種的理賠額Z2，它的分布函數(shù)為H2(z)，均值為μ2；則第三種事件的理賠額的分布函數(shù)為H1*H2(z)，均值為μ1+μ2，且Z1和Z2相互獨(dú)立。設(shè)第j次的索賠額為Dj=Z1jδ1+Z2jδ2+(Z1j+Z2j)δ3，其中δk為0-1隨機(jī)變量，當(dāng)δk=1時(shí)，表示第k種理賠發(fā)生，且對(duì)每次的理賠，有且只有一個(gè)δk=1，其所發(fā)生的概率表示為Pr(δk=1)=Pk，k=1，2，3。Zij表示第i種險(xiǎn)種在第j次索賠時(shí)的索賠額，且它們之間相互獨(dú)立，i=1,2。用D表示任

意的Dj，由全概率公式可得

D的分布函數(shù)表示為H(D)=P1H1(D)+P2H2(D)+P3H1*H2(D)，則E[D]=μD=P1μ1+P2μ2+P3(μ1+μ2)；

(6)存在r∞>0，使得當(dāng)r→r∞時(shí)，有MD(r)=E(eDr)→∞。

2主要結(jié)果

2.1　模型定義

由以上假設(shè)，記在時(shí)刻n的盈余資本為：

由于破產(chǎn)只可能發(fā)生在理賠時(shí)刻，記為：τδ=inf{n,Uδ(τn)<0}，則模型在初始資本u下的破產(chǎn)概率為φδ(u)=P(T<∞)|Uδ(0)=u)；Ψδ(u)為模型在初始資金為u下的生存概率，則有Ψδ(u)=1-φδ(u) 。

2.2　保險(xiǎn)公司穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)的必要條件

引理2[11]設(shè){N(t)，t≥0}是參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程，{Yn,n=1，2，…}是其為到達(dá)時(shí)間間隔序列，則Y1，Y2，…Yn，…相互獨(dú)立且同服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。

定理1保險(xiǎn)公司穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)的必要條件是：

μc-p1(λ-δ)μD≥0。

=S1eδ(τn-T1) +S2eδ(Tn-T2) +…+Sn

由引理和全期望公式可得到

μc-p1(λ-δ)μD≥0。

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[責(zé)任編輯畢偉]

Requirement of Working Stably of Compound Negative

Binomial Risk Model with Constant Interest rate

QIAO Ke-lin,GAO YUAN,ZHANG NING

(College of Mathematics and Computer Science,Yan'an University,Yan'an 716000,China)

Key words：interest rate; two-type insurance; compound negative binomial; work stably