關(guān)于Diophantine方程x3-1=3pqy2

馮蕾，趙西卿，劉建

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

摘要：主要利用遞歸數(shù)列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性質(zhì)，證明了：設(shè)素數(shù)p≡q≡1(mod12)，(p/q)=-1，Diophantine方程x`3-1=3pqy`2僅有整數(shù)解，即(x,y)=(1,0)。

關(guān)鍵詞：Diophantine方程；同余式；平方剩余；Pell方程

中圖分類號：O156.4

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-602X(2015)01-0001-02

收稿日期：2014-11-04

基金項目：陜西省教育廳科研計劃資助項目(2013JK0557)；延安大學(xué)自然科學(xué)專項基金項目(YDZ2013-05)；延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃項目

作者簡介：馮蕾(1989—)，女，陜西子長人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。

Abstract：Using recurrent sequence , congruence , quadratic residue and Pell equation to prove that:the Diophantine equation x`3-1=3pqy`2 only has interger solution(x,y)=(1,0) when p,q are primes with p≡q≡1(mod12) and (p/q)=-1.

1主要結(jié)論及證明

關(guān)于Diophantine方程x3-1=Dy2(D>0，D無平方因子，x,y∈Z)，羅明[1]，高麗[2]，李鑫[3]等就D為不同因數(shù)做過一些研究.本文證明了下面的定理：

定理設(shè)素數(shù)p≡q≡1(mod12)，(p/q)=-1，則丟番圖方程

x3-1=3pqy2

(1)

的整數(shù)解僅有(x,y)=(1,0)。

證明由題知式(1)可表為(x-1)(x2+x+1)=3pqy2，(x-1,x2+x+1)=1或3。

情形一，當(dāng)(x-1,x2+x+1)=1時，設(shè)y=uv，(u,v)=1，方程(1)可分以下八種情況進行研究

(Ⅰ)x-1=3pqu2,x2+x+1=v2；

(Ⅱ)x-1=u2,x2+x+1=3pqv2；

(Ⅲ)x-1=3u2,x2+x+1=pqv2；

(Ⅳ)x-1=pqu2,x2+x+1=3v2；

(Ⅴ)x-1=3pu2,x2+x+1=qv2；

(Ⅵ)x-1=qu2,x2+x+1=3pv2；

(Ⅶ)x-1=3qu2,x2+x+1=pv2；

(Ⅷ)x-1=pu2,x2+x+1=3qv2。

以下討論這八種情況：

(Ⅰ)由第二式得x=0,1，代入第一式發(fā)現(xiàn)均不滿足條件，故方程(1)無整解。

(Ⅱ)因u2≡0,1(mod3)，由同余性質(zhì)知，若u2≡0(mod3)，與(u2,3pqv2)=1矛盾；若u2≡1(mod3)，則x-1=u2≡1(mod3)，x≡2(mod3)，從而3pqv2=x2+x+1≡7≡1(mod3)，顯然不成立，故方程(1)無整解。

(Ⅲ)由第一式得，x-1=3u2≡0(mod3)，即有x≡1(mod3)，則有pqv2=x2+x+1≡3≡0(mod3)，與(3u2,pqv2)=1矛盾，故方程(1)無整解。

(Ⅳ)由題知，第二式可化為(2x+1)2-3(2v)2=-3，將第一式代入上式得(2pqu2+3)2-3(2v)2=-3，故方程X2-3Y2=-3的全部解由以下兩個非結(jié)合類給出[4]

un+2=4un+1-un,u0=1,u1=2；

(2)

vn+2=4vn+1-vn,v0=0,v1=1；

(3)

xn+2=4xn+1-xn,x0=3,x1=12；

(4)

xn+2=6vn+3un。

(5)

若n≡1(mod2)時，把(2)，(3)代入(5)得到

xn=6(4vn-1-vn-2)+3(4un-1-un-2)=24vn-1+12un-1-6vn-2-3un-2=…

=24(vn-1-vn-3+…+v2)+12(un-1-un-3+…+u2)+(6v1+3u1)

=24(vn-1-vn-3+…v2)+12(un-1-un-3+…+u2)+12。

當(dāng)xn≡0(mod2)，3=±xn-2pqu2≡0(mod2)，顯然不成立；當(dāng)xn≡0(mod3)時，±xn-3=2pqu2≡0(mod3)，則有pqu2≡0(mod3)與(pqu2,3v2)=1矛盾。故方程(1)無整解。當(dāng)xn≡0(mod4)，xn≡0(mod6)，xn≡0(mod12)時，可類似證明，且方程(1)無整解。

若n≡0(mod2)，同理可證方程(1)無整解。

(Ⅴ)由題知，第二式可化為(2x+1)2-4qv2=-3，將第一式代入第二式得(6pu2+3)2-4qv2=-3，對上式兩邊同取模p有qv2≡3(modp)，而p≡q≡1(mod12)，(p/q)=-1。所以(qv2/p)=-1，但(3/p)=1，與之矛盾。故方程(1)無整解。

(Ⅵ)證明類似于(V)得方程(1)無整解。

(Ⅶ)證明類似于(Ⅲ)得方程(1)無整解。

(Ⅷ)由題知，第二式可化為(2x+1)2-12qv2=-3，將第一式代入第二式得(2pu2+3)2-12qv2=-3，對上式兩邊同取模p有qv2≡1(modp)。而p≡q≡1(mod12)，(p/q)=-1，所以(qv2/p)=-1，但(1/p)=1，與之矛盾。故方程(1)無整解。

通過對以上八種情況進行討論研究知方程(1)無整解。

情形二，當(dāng)(x-1,x2+x+1)=3，且x≠1時，有3|(x-1)，不妨設(shè)x-1=3x1，則x=3x1+1將其代入方程(1)得(3x1+1)3-1=3pqy2，對上式兩邊同取模3有2≡0(mod3)，顯然不成立。所以方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)x=1，y=0時即滿足方程(1)，故方程(1)只有平凡整數(shù)解(x,y)=(1,0)。

綜上所述，方程(1)僅有整數(shù)解(x,y)=(1,0)，即定理得證。

參考文獻：

[1]羅明.關(guān)于不定方程x3±1=14y2[J].重慶交通學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，1995，41(3)：112-115.

[2]高麗，魯偉陽.關(guān)于丟番圖方程x3+1=301y2[J].廣西科學(xué)，2014，21(3)：290-292.

[3]李鑫，梁艷華.關(guān)于不定方程x3-1=111y2[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，34(1)：12-15.

[4]柯召，孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠蘙M].上海：上海教育出版社，1980.

[責(zé)任編輯畢偉]

On the Diophantine Equationx3-1=3pqy2

FENG LEI,ZHAO Xi-qing,LIU JIAN

(College of Mathematics and Computer Science,Yan'an University,Yan'an 716000,China)

Key words：Diophantine equation; recurrent sequence; congruence sequece; Pell equation