張繼建，付 超，王憲棟，楊青建

（山東勝利鋼管有限公司，山東 淄博 255082）

殘余應力控制是螺旋縫焊管生產(chǎn)中一個重要環(huán)節(jié)。而對于殘余應力的控制來說，2號輥壓下量是一個極為重要的因素。在生產(chǎn)中，有經(jīng)驗的成型工會根據(jù)切環(huán)法彈復樣的開口量調(diào)整2號輥壓下量。由于沒有理論指導和定量分析，只能根據(jù)經(jīng)驗來判斷壓下量的大小，因而會導致較大的誤差。

本文以X90M鋼級卷板為研究對象，利用MATLAB工程軟件，建立2號輥壓下量與殘余應力關系模型，為成型過程殘余應力的控制提供理論指導。

1 螺旋縫焊管殘余應力的測定

螺旋縫焊管殘余應力的測定方法有許多，其中機械測量方法有小孔法、切環(huán)法、切塊法，物理方法有超聲法、光學法等。生產(chǎn)中最簡便、常用的方法即是切環(huán)法。

在生產(chǎn)中，殘余應力的生成過程相當復雜。切環(huán)法切出的鋼管不僅在鋼管周向進行錯開，而且還有軸向錯開量λ和徑向錯開量δ，切環(huán)法如圖1所示。如果成型器參數(shù)（不考慮2號輥壓下量）調(diào)整得當，鋼管軸向和徑向的錯開量都較小，且可忽略不計，鋼管錯開都是沿周向的［1-3］。文獻［4］指出：國內(nèi)常用標準和技術條件在殘余應力控制環(huán)節(jié)，將切環(huán)彈復量定義為切口張開量，即只限制其周向正彈復量。用周向錯開量L（負彈時取負）來表示殘余應力值。當L＝0時，殘余應力最小，為理想狀態(tài)。

圖1 切環(huán)法示意

本文探究的問題即周向錯開量L＝0時2號輥的壓下量。引用文獻［5］中“坯管圓”、“彈復圓”及“預彎圓”的概念。其中，預彎圓半徑最小，坯管圓和彈復圓一致。

2 X90M卷板拉伸性能

以某鋼廠1 550 mm×16.3 mm X90M鋼級卷板為試驗對象。

2.1 拉伸試驗

在板頭（T）、板中（Z）、板尾（W）取樣進行拉伸試驗。板卷采用Φ12.7 mm圓棒試樣。試驗在1000HDX-G7靜液式萬能型材料試驗機上進行，試驗方法依照ASTM A 370—2013《鋼產(chǎn)品力學性能試驗的標準試驗方法》進行，其結果見表1。

表1 X90M鋼級卷板拉伸試驗結果

試驗表明：X90M鋼級卷板的平均Rp0.2為648.9 MPa。取最接近平均值的板卷1-1-T試樣2（Rp0.2為650 MPa）作為標準數(shù)據(jù)，其拉伸試驗數(shù)據(jù)見表2，應力-應變曲線如圖2所示。

表2 X90M鋼級板卷1-1-T試樣2拉伸試驗結果

圖2 X90M鋼級板卷1-1-T試樣2拉伸應力-應變曲線

2.2 X90M鋼級卷板應力－應變曲線

2.2.1數(shù)據(jù)計算機化

將1000HDX-G7靜液式萬能型材料試驗機自帶軟件生成的源數(shù)據(jù)文件（拉伸應力、拉伸應變）讀入MATLAB進行數(shù)據(jù)計算機化，其拉伸應力-應變源數(shù)據(jù)如圖3所示。在圖3中，第一列數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)采集點i；第二列數(shù)據(jù)為拉伸應變ε；第三列數(shù)據(jù)為拉伸應力σ。

2.2.2 彈性模量E—多項式擬合

使用多項式擬合曲線方法求出X90M鋼級卷板在彈性拉伸階段的彈性模量E。擬合目標為最小方差（最小兩乘法）；區(qū)間范圍為0.02%≤ε≤0.20%（向前限定范圍是為了消除試驗剛開始時不穩(wěn)定因素的影響）；使用polifit（E，ε，σ）函數(shù)［6］求得：E=198.46 GPa。

彈性模量E擬合效果如圖4所示。

圖3 拉伸應力-應變源數(shù)據(jù)

圖4 彈性模量E擬合效果

3 卷板預彎彎矩及預彎半徑

文獻［7］指出：帶鋼在三輥彎板機中發(fā)生彎曲變形時，為獲得所需的彎曲曲率，2號輥必須具有一定的壓下量。當2號輥的壓下量較小時，帶鋼因受力不足而出現(xiàn)變形不足，從而導致管坯環(huán)在切環(huán)試驗中出現(xiàn)周向正彈復現(xiàn)象；當2號輥的壓下量過大時，帶鋼因受力過大而發(fā)生了過量變形，管坯環(huán)在切環(huán)試驗中就會出現(xiàn)周向負彈復現(xiàn)象。

因此，在螺旋縫焊管成型過程中，預彎半徑及預彎彎矩與2號輥壓下量緊密相關，并直接影響彈復量及鋼管殘余應力的大小。

3.1 預彎時的應力應變

在三輥成型過程中，卷板在2號輥正下方時，彎矩最大，曲率半徑最小，定義此處為文中所提“預彎”狀態(tài)。壁厚方向預彎應力-應變分布如圖5所示。根據(jù)材料力學理論［8］，彎曲應變與其距中性層距離成正比關系，可繪出應變ε在壁厚方向上的分布（圖5a）；根據(jù)圖2中的拉伸應力-應變曲線對應繪出應力σ在壁厚方向上的分布（圖5b）。

圖5 預彎應力-應變分布示意

在距離中性層y處，拉伸應變ε為［8］：

式中 ρ——曲率半徑，m。

在2號輥下時，曲率半徑即為預彎半徑，設為Rmin；而在卷板上表面y=t/2處應變?yōu)樽畲?，即?εmax，則有：

式中 εmax——預彎表層應變。

3.2 預彎內(nèi)彎矩

式中S——卷板在成型器內(nèi)長度，m；為了簡化

計算，假定S為單位長度。

3.2.1 解析求法

大部分材料（包括X90M鋼級）的拉伸應力－應變曲線是不可解析的。因此，在工程中常用簡化模型表達求解。最常見的是“理想彈塑性材料模型”和“彈塑性模量模型”。

根據(jù)圖2曲線可擬合得出應力－應變解析式σ=σ（ε），并將該解析式代入公式（4）積分求出預彎內(nèi)彎矩M的解析式。雖然解析法在積分過程中是精確的，但由于其在材料模型構建時進行了簡化，因此其解析出的結果并不精確。

3.2.2 數(shù)值求法

為了使數(shù)值更加準確，使用數(shù)值積分法：將計算機內(nèi)標樣采集點的數(shù)據(jù)對應到公式（4），并進行累加，對應關系見表3。

表3 解析式—數(shù)值式對應關系

將公式（4）變形為數(shù)值積分的形式，為：

式中 εi——第i個應變；

σi——第i個應力，Pa。

編寫MATLAB程序，將圖3中所有點的數(shù)值累加求得以εmax為變量的內(nèi)彎矩函數(shù)，彎矩曲線如圖6所示。

3.3 自由回彈彎矩

卷板在成型進程中，經(jīng)2號輥后會發(fā)生回彈，此過程為彈性變形。根據(jù)文獻［10］可知彎矩變化量ΔM的關系式為：

式中I——慣性矩，m4；

R1——彈復前曲率半徑，m；

圖6 彎矩曲線

R2——彈復后曲率半徑，m。

卷板預彎時，曲率半徑最小，為Rmin；彎矩最大，設為Mmax。卷板回彈到“理想狀態(tài)”（彈復量為0）時：管徑為R，彎矩為0。

結合公式（6）、（3）可得：

將Φ1 219 mm×16.3 mm螺旋縫焊管的中徑R=601.35 mm，慣性矩I=St3/12 m4，彈性模量E=198.46 GPa，代入公式（7），可得Mmax曲線（如圖6中曲線2）。

3.4 預彎彎矩、預彎半徑

根據(jù)卷板預彎時的內(nèi)彎矩（公式5）等于其自由回彈前的彎矩（公式7），可求得εmax=1.953 2%，即圖6中兩條曲線的交點。再根據(jù)公式（2）可得出預彎半徑Rmin=423.77 mm（外徑863.85 mm）；根據(jù)公式（5）或（7）求得 Mmax=46 275 N·m。

4 壓下量模型

4.1 成型器——調(diào)型參數(shù)

螺旋縫焊管成型器調(diào)型時，以理想坯管圓為基準進行參數(shù)的調(diào)整，調(diào)型參數(shù)如圖7所示。

特定成型器針對特定規(guī)格型號坯管，結構數(shù)據(jù)參數(shù)都是確定的，包括1~3號輥的相對位置。以德國PWS公司Φ610~1 620 mm預精焊機組成型器為例，調(diào)型Φ1 219 mm×16.3 mm、X90M鋼級（按屈服強度650 MPa調(diào)整），相關數(shù)據(jù)為：坯管圓中半徑 R=601.35（mm），3 號輥傾角 γ=20.37°，3 號輥切點距鋼管中心線 L3=Rsin γ=209.3（mm），3 號輥切點距坯管圓底面 h3=R（1－cos γ）=37.6（mm）。

圖7 調(diào)型參數(shù)示意

4.2 撓曲線

卷板在預彎時受到3個輥的作用力，在1、2號和2、3號輥間形成兩段不同的撓曲線。圖7中點A為坯管圓與2號輥垂線交點。以過A點水平線為X軸，過3號輥切點C的垂線為Y軸建立坐標系，其成型簡化如圖8所示。圖7~8標注各點均在卷板/鋼管中性層上。2、3號輥間的撓曲線（CA′）求解如下。

圖8 成型簡化示意

B為撓曲線上的任意一點；O點為坯管圓心；A′為2號輥壓下點；相對于A點，設壓下量為Q。則各點坐標為：C（0，h3）；B（x，y）；A（0，L3）；A′（L3，-Q）。

4.2.1 3號輥支反力

設3號輥支反力大小為F，而其方向指向管坯圓心，即（sin γ，cos γ），所以：

由于 CA′=A′-C=（L3，-h3-Q），將 4.1 節(jié)中的調(diào)型參數(shù)代入得：

根據(jù)力學理論，3號輥支反力對于點A′的彎矩即為卷板的預彎彎矩Mmax，即。將公式（8）~（9）代入可得：

4.2.2 撓曲線上任一點的彎矩

有兩種方法可求出B點的彎矩MB。

（1）支反力彎矩法。在圖8中，3號輥支反力對 B（x，y）處的彎矩為：

（2）彈復彎矩變化法。C點相對于撓曲線上任一點B來說，相當于從B點自由彈復。而C點曲率半徑為R，彎矩為0。根據(jù)式（6）可得：

式中RB——B點曲率半徑，m。

4.2.3 撓曲線任一點的曲率半徑

根據(jù)數(shù)學知識［11］，曲線上曲率半徑有幾何關系：

式中y′——曲線導數(shù)；

y″——曲線二階導數(shù)。

4.2.4 撓曲線和壓下量模型

由公式（11）~（13）可得：

即公式（14）為卷板在2、3號輥之間的撓曲線方程；其中2號輥壓下量Q為與撓曲線相關的待求量，該公式亦即2號輥壓下量模型。

4.3 壓下量模型求解

使用假定初始值和迭代法，求壓下量模型微分方程及Q值。

（1）選定Q值，代入公式（14）得到不含變量Q的撓曲線微分方程（第一次迭代時選Q=0）；

（2）選定曲線求解初始點C、初始值撓度和導數(shù)［y，y′］=［h3，－tan γ］，參考文獻［6］；

（3）使用MATLAB—ODE45函數(shù)求解出撓曲線2，卷板撓曲求解過程如圖9所示；

（4）撓曲線2與2號輥垂線L3的交點即為Q值；

（5） 重復第（1）~（4）步，將更新的 Q 值代入公式（14），迭代求出壓下量Q值；

（6）求出符合精度要求的撓曲線（圖9中的曲線3）及壓下量Q。曲線3與曲線2幾乎重合。

精度為10-5時求解結果及迭代過程見表4及如圖9所示。

表4 壓下量Q迭代求值表

圖9 卷板撓曲求解過程示意

綜上所述，通過成型器調(diào)型參數(shù)、鋼管的預彎半徑和最大彎矩，可求解出卷板的撓曲線方程。Q值即彈復樣開口量L＝0時2號輥的最佳壓下量。如果想要得到正彈或負彈的鋼管，在Q值的基礎上進行微調(diào)即可。

5 實踐驗證與未解決問題

在德國PWS公司Φ610~1 620 mm預精焊機組成型器上按4.1節(jié)參數(shù)試制X90M鋼級Φ1 219 mm×16.3 mm螺旋縫焊管。兩卷卷板生產(chǎn)出外觀尺寸符合標準的鋼管共7根。生產(chǎn)過程中，為保證鋼管內(nèi)彈，2號輥在計算數(shù)據(jù)（Q=－5.0 mm）基礎上又多壓下0.5 mm。生產(chǎn)穩(wěn)定后，鋼管彈復量均在50 mm范圍內(nèi)，而且卷板在2、3號輥間的撓曲線與計算結果完全一致。試驗表明：本文提供的模型基本符合生產(chǎn)實際，可作為生產(chǎn)的理論指導。

本文模型解決的只是在彈復量為0、殘余應力最小時2號輥壓下量的一個特例，仍有兩個課題需要進一步研究解決：①鋼管彈復量不為0時與2號輥壓下量關系；②卷板在成型器2號輥之前的撓曲線及受力問題。

6 結 語

根據(jù)X90M鋼級卷板的拉伸應力-應變試驗數(shù)據(jù)和材料力學理論，在鋼管規(guī)格確定情況下，可以確定螺旋縫焊管成型中預彎半徑和最大內(nèi)彎矩，并通過解析撓曲線微分方程可以確定2號輥壓下量，從而達到控制X90M卷板殘余應力的目的。

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