陳衛(wèi)華,陳天寧,王小鵬,張超

(1.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院,710049,西安;2.蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院,730050,蘭州)

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纖維多孔金屬的流阻率分形模型研究

陳衛(wèi)華1,2,陳天寧1,王小鵬1,張超1

(1.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院,710049,西安;2.蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院,730050,蘭州)

為了揭示纖維多孔金屬吸聲材料的流阻率與其孔隙率、孔直徑以及孔的彎曲度等主要幾何參數(shù)之間的變化規(guī)律,給纖維多孔金屬吸聲材料的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供基本的理論指導(dǎo),提出了一種流阻率分形模型。通過對纖維多孔金屬的孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行分形處理,結(jié)合材料內(nèi)部空氣流體學(xué)分析,首先獲得了流經(jīng)纖維多孔金屬材料截面總的空氣流量Q的表達(dá)式,該表達(dá)式是最大平均孔徑λmax、曲線分形維數(shù)DT和孔面積分形維數(shù)Df的函數(shù),其次結(jié)合纖維多孔金屬吸聲材料流阻率的公式,獲得了流阻率分形模型。模型理論計算值與實驗測試值的最大偏差為13.9%,最小偏差為7.6%,平均偏差為10.6%,驗證了該理論模型的可靠性。分析結(jié)果表明:隨著孔隙率Φ的增大,纖維多孔金屬吸聲材料的流阻率減小;Φ和DT一定時,流阻率隨著Df的增大而減小;Φ和Df一定時,流阻率隨著DT的增大而增大。與通過實驗確定流阻率的經(jīng)驗公式相比,文中所建流阻率分形模型能夠反映材料的幾何參數(shù)與流阻率之間的變化規(guī)律,為纖維多孔金屬吸聲材料的微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了一定的依據(jù)。

流阻率;分形模型;曲線分形維數(shù);孔面積分形維數(shù)

燒結(jié)纖維多孔金屬具有多功能復(fù)合特性,例如超輕、高強韌、耐撞擊、高比強度、高比剛度、高效散熱或隔熱以及吸聲性能優(yōu)良等[1],其結(jié)構(gòu)通常由金屬骨架和內(nèi)部介質(zhì)(通常為空氣)組成,金屬骨架由一定數(shù)量的金屬絲按層交錯排列高溫?zé)Y(jié)形成,內(nèi)部具有復(fù)雜的開孔或閉孔結(jié)構(gòu)。與傳統(tǒng)的非金屬吸聲材料相比,纖維多孔金屬材料能夠耐高溫高壓,因此可以用作極端惡劣工況下的吸聲降噪材料。

聲波在纖維多孔金屬介質(zhì)中的傳播主要考慮兩個方面:一是孔隙填充介質(zhì)中波的傳播;二是多孔介質(zhì)骨架內(nèi)的彈性波傳播。本文假設(shè)金屬骨架為剛性體,只考慮聲波在孔隙空氣中的傳播。Allard等將纖維材料作為等效流體研究,指出流阻是反映多孔材料吸聲性能的一個重要參數(shù)[2];Delany等的研究表明,聲波在多孔介質(zhì)中的傳播和衰減主要由孔隙中空氣的流阻決定,通過空氣流阻就能預(yù)測多孔介質(zhì)的吸聲性能[3]。Bies等對多孔金屬纖維材料的流阻進(jìn)行了測量,獲得了相關(guān)實驗結(jié)果[4]。上述文獻(xiàn)研究工作表明,纖維多孔金屬的流阻率是決定其吸聲性能優(yōu)劣的一個重要聲學(xué)參數(shù)。

纖維多孔金屬介質(zhì)的內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)無規(guī)則排列,孔的分布是雜亂無章的無序結(jié)構(gòu),使得纖維多孔金屬吸聲材料的設(shè)計難度很大。分形幾何學(xué)以非規(guī)則的幾何形態(tài)為研究對象,可以處理自然界和非線性系統(tǒng)中不光滑的具有自相似性且沒有特征長度的形狀和現(xiàn)象。因此,本文以分形幾何理論為基礎(chǔ),對纖維多孔金屬材料的微觀孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述,建立材料的流阻率與分形維數(shù)之間的聲學(xué)模型。

1 分形理論簡介

分形幾何學(xué)產(chǎn)生于20世紀(jì)70年代末80年代初,是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的新興學(xué)科[5]。分形的概念是由美國學(xué)者M(jìn)andelbrot于1975年首先提出來的。在自然界中,大量的研究對象例如粗糙表面、海岸線、山脈以及島嶼等,都是無序和不規(guī)則的,它們不能用歐式幾何進(jìn)行準(zhǔn)確描述,這些對象被稱為分形,它們的維數(shù)不再是整數(shù)而是分?jǐn)?shù),稱為分形維數(shù)。這些分形對象滿足下式[6]

M(L)～LDf

(1)

式中:M可以是線的長度、平面面積、立方體體積或物體質(zhì)量;L是測量尺度;Df是分形維數(shù)。式(1)表示分形對象的局部和整體具有精確的自相似性。然而,自然界具有精確自相似性的物體幾乎沒有,絕大部分研究對象都是統(tǒng)計自相似,因此本文中提到的分形維數(shù)均是指統(tǒng)計分形維數(shù)。

2 纖維多孔金屬的分形研究

纖維多孔金屬材料內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)隨著纖維直徑、長度以及纖維的相對排列方式而異,實際燒結(jié)而成的纖維多孔金屬,其纖維的形狀與堆積均是無序的。圖1為纖維多孔金屬的宏觀和微觀結(jié)構(gòu)圖。

(a)宏觀結(jié)構(gòu) (b)截面微觀結(jié)構(gòu)圖1 纖維多孔金屬

纖維多孔金屬內(nèi)部具有不同尺寸的孔,可以看作由一簇具有不同截面積的彎曲毛細(xì)管組成,假設(shè)毛細(xì)管的直徑為λ,沿著聲波傳播方向的長度為Lt(λ),參照毛細(xì)管長度為L0,則根據(jù)Wheatcraft等的研究[7]可知,纖維多孔金屬內(nèi)部毛細(xì)管的直徑和長度滿足如下分形關(guān)系

Lt(λ)=λ1-DTL0DT

(2)

式中:Lt(λ)為毛細(xì)管的長度;λ為毛細(xì)管的直徑;L0為參照毛細(xì)管長度;DT為曲線分形維數(shù),1

對于纖維多孔金屬材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)來說,除了毛細(xì)管的彎曲特性以外,孔直徑大于λ的毛細(xì)管通道的數(shù)量也是一個重要參數(shù)?？紤]垂直于聲波傳播方向的一個橫截面上分布著直徑從λmin到λmax的大小不一的孔,則直徑大于λ的毛細(xì)管通道數(shù)量可以表示為[8]

N(L≥λ)=(λmax/λ)Df

(3)

式中:N為毛細(xì)管通道數(shù)量;λmax為毛細(xì)管的最大直徑?？紤]從λ到λ+dλ這一段孔的分布,孔的數(shù)量為

-dN=DfλmaxDfλ-(Df+1)dλ

(4)

式中:Df為孔面積分形維數(shù)。式(4)中負(fù)號表示毛細(xì)管通道的數(shù)量與孔的直徑成反比關(guān)系。

3 纖維多孔金屬的流阻率模型

3.1 空氣流量

聲波通過纖維多孔金屬材料傳播時,受到流阻率、聲壓以及空氣的黏性系數(shù)等影響,而流阻率與纖維多孔金屬的幾何結(jié)構(gòu)即孔隙率、毛細(xì)管通道的曲線分形維數(shù)以及孔面積分形維數(shù)相關(guān)。下面將首先推導(dǎo)流經(jīng)材料橫截面的空氣流量表達(dá)式,然后根據(jù)達(dá)西定律[9]來推導(dǎo)纖維多孔金屬的流阻率分形模型。

流經(jīng)纖維多孔材料空氣的總流量為所有毛細(xì)管通道空氣流量的總和,因此首先考慮單根毛細(xì)管通道的空氣流量,根據(jù)Hagen-Poiseulle方程[10],流經(jīng)單根毛細(xì)管通道的空氣流量表達(dá)式為

(5)

式中:μ為空氣黏性系數(shù);ΔP為聲壓差;gq為孔形狀因子。

總的空氣流量Q可以通過對截面孔直徑從λmin到λmax范圍內(nèi)的流量進(jìn)行積分獲得[11],聯(lián)立式(2)、(4)和(5),可得

(6)

式中:10。根據(jù)纖維多孔金屬的分形特征,其孔徑尺寸應(yīng)該滿足λmin/λmax～10-2,(λmin/λmax)Df=0[11],因此,0<(λmin/λmax)3+DT-Df<1。式(6)又可以寫成

(7)

上式即為聲波入射纖維多孔金屬時空氣流經(jīng)纖維多孔介質(zhì)的總流量表達(dá)式。

3.2 流阻率分形模型

根據(jù)達(dá)西定律,單位時間內(nèi)流體流經(jīng)多孔介質(zhì)的總流量為

(8)

(9)

將式(7)、(8)代入(9),可得

(10)

通常情況下,為了便于計算,我們?nèi)0=l,因此式(10)又可以寫為

(11)

從式(11)中可以看出,流阻率σ為分形維數(shù)DT、Df以及材料結(jié)構(gòu)參數(shù)A、L0和λmax的函數(shù)。假設(shè)毛細(xì)管通道是直的,即DT=1,則式(11)又可以寫成

(12)

上式表明當(dāng)聲波通過直的纖維多孔金屬毛細(xì)管通道時,流阻率是孔面積分形維數(shù)Df和孔的最大直徑λmax的函數(shù),并且跟孔的最大尺寸的4次方成反比。

4 流阻率相關(guān)參數(shù)的計算

4.1 纖維多孔金屬最大平均孔徑λmax的計算

纖維多孔金屬材料可以看作由纖維束組成,而纖維束由纖維絲聚集形成,入射聲波在纖維束之間的孔隙傳播,如圖2所示。本文利用三角形孔隙近似表征纖維多孔金屬內(nèi)部的微觀孔隙結(jié)構(gòu),纖維束呈三角形排列形成孔隙,取一個三角形結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行分析。

圖2 纖維束間孔隙示意圖

對于圖2中所示三角形結(jié)構(gòu)單元,孔隙率為

Φ=(A′-πR2/2)/A′

(13)

式中:A′為三角形單元總面積;R為纖維束的半徑。A′的表達(dá)式為

A′=πR2/[2(1-Φ)]

(14)

(15)

(16)

式中:dmax為孔隙最大直徑。將式(16)代入式(15),得到最大孔隙直徑dmax的表達(dá)式為

dmax=R[2Φ/(1-Φ)]1/2

(17)

式中:Φ為三角形結(jié)構(gòu)單元的孔隙率。聲波在實際入射時,不僅要穿過纖維束之間的中心孔隙,而且還要穿過兩個相鄰的纖維束之間的狹縫,則孔隙最大平均直徑還要考慮狹縫的大小,ΔL的表達(dá)式為

ΔL=R[(2π)1/23-1/4(1-Φ)-1/2-2]

(18)

同時考慮纖維束之間的中心孔隙和相鄰兩個纖維束之間的狹縫,則單元結(jié)構(gòu)孔隙的最大平均直徑λmax近似表示為[11]

λmax=(dmax+ΔL)/2

(19)

4.2 分形維數(shù)DT和Df

下面采用盒計數(shù)方法來確定分形維數(shù)DT和Df的值。

4.2.1 曲線分形維數(shù)DT對于纖維多孔金屬來說,其內(nèi)部孔結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜,聲波不能沿著直線向前傳播。因此,計算聲波傳播的流阻率就需計算聲波傳播的毛細(xì)管通道的曲線分形維數(shù)DT。由于纖維多孔金屬內(nèi)部聲波傳播路徑類似于各向異性介質(zhì)中的彎曲流道[7],其分形維數(shù)可以利用盒計數(shù)法來進(jìn)行計算。圖3所示為纖維多孔金屬介質(zhì)中任意3條聲波傳播路徑,假定聲波從左向右傳播。

利用分形軟件FractalFox采用盒計數(shù)法分別對圖3中3條聲波預(yù)傳播路徑曲線分形維數(shù)DT進(jìn)行計算,結(jié)果如圖4所示。

圖3 聲波在纖維多孔金屬內(nèi)的預(yù)傳播路徑

4.2.2 孔面積分形維數(shù)Df對于纖維多孔金屬孔面積分形維數(shù)的計算,本文同樣采取盒計數(shù)法利用分形軟件FractalFox進(jìn)行計算。首先取纖維多孔金屬垂直于聲波入射方向的一個微小截面,然后利用電子掃描顯微鏡獲得該截面的微觀結(jié)構(gòu)圖,接著選取邊長為L的盒子計算不同L值覆蓋截面的盒子個數(shù)N(L),再以lnL為橫坐標(biāo),lnN(L)為縱坐標(biāo)描出點(lnL,lnN(L)),最后由這些數(shù)據(jù)點的擬合線的斜率便可以估算出孔面積分形維數(shù)Df。

(a)DT=1.14

(b)DT=1.13

(c)DT=1.15圖4 3條聲波預(yù)傳播路徑的曲線分形維數(shù)DT

下面分別對纖維多孔金屬的3種試樣進(jìn)行孔面積分形維數(shù)Df的計算,表1為試樣參數(shù)。

表1 纖維多孔金屬試樣參數(shù)

圖5為3種試樣的微觀結(jié)構(gòu)圖,放大倍數(shù)為100倍。針對3種試樣,取盒計數(shù)法中盒子尺寸為3～70 mm,步長為10 mm,取自然對數(shù),計算結(jié)果如圖6所示。

(a)試樣1 (b)試樣2

(c)試樣3圖5 纖維多孔金屬的微觀結(jié)構(gòu)

(a)Df=1.43

(b)Df=1.50

(c)Df=1.54圖6 3種纖維多孔金屬試樣的孔面積分形維數(shù)Df

圖7 流阻率隨孔隙率的變化

5 模型預(yù)測結(jié)果分析

為了驗證本文流阻率分形模型的可靠性,分別將3種試樣的模型預(yù)測結(jié)果與文獻(xiàn)[12]中流阻率實驗測試值進(jìn)行了對比,相關(guān)參數(shù)為:空氣黏性系數(shù)μ為1.8×10-5Pa·s(18 ℃);樣品長度L0為2.5×10-2m;曲線分形維數(shù)DT為1.14;孔面積分形維數(shù)Df為1.4;纖維束半徑R為3.6×10-4m;試樣1、試樣2和試樣3的孔形狀因子gq取為1.11。圖7給出了孔隙率分別為80%、85%和90%的3種纖維多孔金屬試驗樣品的流阻率隨孔隙率的變化曲線。表2中σcal為流阻率計算值,σexp為流阻率測試值,由表2可見,3種樣品流阻率的相對偏差分別為13.9%、7.6%和10.4%,理論計算結(jié)果與實驗結(jié)果吻合得比較好。但是,本文流阻率分形模型是以三角形孔隙近似表征纖維多孔金屬材料內(nèi)部的微觀孔結(jié)構(gòu),尚存在一定誤差,后續(xù)研究將進(jìn)一步考慮對纖維多孔金屬材料的真實微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行表征,逐步提高模型的估計精度。

表2 流阻率實驗結(jié)果和計算結(jié)果

為了分析孔隙率Φ、曲線分形維數(shù)DT和孔面積分形維數(shù)Df對聲波在纖維多孔金屬中傳播時流阻率的影響,分別取DT=1.14以及Df=1.5,計算了流阻率隨孔隙率的變化曲線,如圖8所示。由圖8a可見,聲波在纖維多孔金屬中傳播時,當(dāng)聲波傳播的孔通道曲線分形維數(shù)DT(DT=1.14)一定時,材料的流阻率隨著孔隙率的增大而減小,當(dāng)孔隙率一定時,流阻率隨著孔面積分形維數(shù)的增大而減小。這是因為當(dāng)孔面積分形維數(shù)和孔隙率增大時,纖維介質(zhì)中總的孔隙面積也會增大,因此流阻率減小。在圖8b中,當(dāng)孔面積分形維數(shù)Df(Df=1.5)一定時,材料的流阻率隨著孔隙率的增大而減小,而孔隙率一定時,流阻率隨著曲線分形維數(shù)的增大而增大?？紫堵屎涂酌娣e分形維數(shù)一定,當(dāng)纖維多孔金屬的曲線分形維數(shù)增大時,聲波在介質(zhì)中傳播的路徑更曲折,因此流阻率會增大。

(a)σ隨Φ及Df的變化

(b)σ隨Φ及DT的變化圖8 σ隨Φ及分形維數(shù)的變化

通過本文所建立的流阻率分形理論模型,可以對纖維多孔金屬吸聲材料的微觀孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計。根據(jù)流阻率與孔隙率的變化關(guān)系,可在制備纖維吸聲材料試樣時通過控制孔隙率的大小來獲得相應(yīng)的流阻率變化范圍。另外,通過纖維絲的排列可以獲得所要求的纖維束尺寸和孔徑,從而得到具體的孔面積分形維數(shù),進(jìn)而估算出流阻率大小。最后,可以對燒結(jié)制備纖維吸聲材料時每層纖維的疏密程度進(jìn)行控制,以得到聲波在吸聲材料中的傳播路徑,通過流阻率與曲線分形維數(shù)的變化關(guān)系可以預(yù)估流阻率的大小。在實際應(yīng)用中,可以根據(jù)具體降噪的工況要求,按照上述方法來設(shè)計相應(yīng)的纖維多孔金屬吸聲材料。

6 結(jié) 論

本文基于分形幾何理論和流體力學(xué)理論對聲波在纖維多孔金屬介質(zhì)中傳播的流阻率進(jìn)行了研究,建立了流阻率分形模型。模型理論計算值與實驗測試值的最大偏差為13.9%,最小偏差為7.6%,平均偏差為10.6%,驗證了理論模型的可靠性。同時,在此模型的基礎(chǔ)上對相關(guān)參數(shù)的影響進(jìn)行了研究,纖維多孔金屬材料流阻率隨著孔隙率的增大而減小;材料的孔隙率和曲線分形維數(shù)一定時,流阻率隨著孔面積分形維數(shù)的增大而減小;當(dāng)孔隙率和孔面積分形維數(shù)一定時,流阻率隨著曲線分形維數(shù)的增大而增大。本文研究工作為纖維多孔金屬吸聲材料的微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了一定的依據(jù)。

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(編輯 武紅江)

A Fractal Model of Flow Resistivity for Fibrous Porous Metals

CHEN Weihua1,2, CHEN Tianning1, WANG Xiaopeng1, ZHANG Chao1

(1.School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;2.College of Mechano-Electronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

A fractal model of flow resistivity is proposed to investigate the relations of flow resistivity with some geometric parameters of fibrous porous metals such as porosity, pore diameter and tortuosity, and to obtain a theoretical guidance for the design of sound-absorption materials.First of all, a mathematical expression of the flowQis obtained based on the theory of fractal geometry and fluid mechanics, and the expression is a function of the maximal mean diameter of poreλmax, the fractal dimensionDTof tortuosity and the pore area fractal dimensionDf.Then, the fractal model of flow resistivity is acquired in terms of the flow resistivity formula.The maximum error, the minimum error and the mean error between experimental results and calculation results from the model are 13.9 %, 7.6 % and 10.6 %, respectively, which verifies the accuracy of the model.The calculation results show that the flow resistivity decreases as the porosityΦincreases.When the porosityΦand the tortuosity fractal dimensionDTare fixed, the flow resistivity decreases as the pore area fractal dimensionDfincreases.However, when the porosityΦand the pore area fractal dimensionDfare fixed, the flow resistivity increases as the tortuosity fractal dimensionDTincreases.The relations between the flow resistivity and the geometric parameters are revealed more clearly by the fractal flow resistivity model than by the empirical model.It can be concluded that the results provide a reliable and theoretical guidance for the design of sound-absorption materials.

flow resistivity; fractal model; tortuosity fractal dimension; pore area fractal dimension

2014-11-23。 作者簡介:陳衛(wèi)華(1976—),男,在職博士生,蘭州理工大學(xué)講師;王小鵬(通信作者),男,副教授。 基金項目:國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃資助項目(2011CB610306);陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2015JM5154)。

時間:2015-03-23

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150323.1713.001.html

10.7652/xjtuxb201506021

TB535

A

0253-987X(2015)06-0132-06