金 宇, 孟憲云, 張 力, 陳雨田

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

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具有多重休假和修復(fù)非新的Gaver并聯(lián)系統(tǒng)

金 宇, 孟憲云, 張 力, 陳雨田

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

研究了一個(gè)修理工多重休假、兩個(gè)修復(fù)如新同型部件并聯(lián)和一個(gè)修復(fù)非新部件冷貯備的Gaver并聯(lián)系統(tǒng). 修理工可多重休假, 休假時(shí)間服從一般連續(xù)型分布. 運(yùn)用幾何過程理論、補(bǔ)充變量法和Laplace變換等數(shù)學(xué)工具, 得到系統(tǒng)瞬時(shí)可用度、瞬時(shí)可靠度等可靠性指標(biāo).

多重休假; 修復(fù)非新; 補(bǔ)充變量; 可用度

0 引言

Gaver并聯(lián)可修系統(tǒng)在可修系統(tǒng)的研究中受到很多關(guān)注. 因?yàn)樵O(shè)備都有一定的使用壽命, 修復(fù)非新這一假定也越來越多地應(yīng)用到可修系統(tǒng)的研究中, 使理論更接近實(shí)際情況. 文獻(xiàn)[1]在假定部件修復(fù)如新的前提下研究了帶有一個(gè)冷貯備部件的Gaver并聯(lián)可修系統(tǒng)，利用向量Markov過程理論和Laplace變換方法, 通過求解一組微分方程, 得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度和穩(wěn)態(tài)故障頻度等可靠性指標(biāo). 文獻(xiàn)[2]研究了兩個(gè)修復(fù)非新且不同型部件的冷貯備退化可修系統(tǒng)，并假定隨著修理次數(shù)的增多, 每次修理時(shí)間越來越長(zhǎng), 工作時(shí)間越來越短；系統(tǒng)中只有一個(gè)單重休假的修理工，利用微分方程和Laplace變換等方法得到一系列可靠性指標(biāo). 文獻(xiàn)[3-5]分別從并聯(lián)、冷貯備和相依等角度研究分析了兩部件可修系統(tǒng). 文獻(xiàn)[6-8]專注于不同分布的冷貯備可修系統(tǒng)，研究分析了帶有修復(fù)非新的兩個(gè)不同型部件的冷貯備退化可修系統(tǒng). 文獻(xiàn)[9-10]分別研究了不同的溫貯備系統(tǒng). 文獻(xiàn)[11-12]分別研究了一般分布的可修系統(tǒng)和可修系統(tǒng)在計(jì)算機(jī)方面的應(yīng)用.

作者在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上, 將修復(fù)非新這一假定引入到Gaver并聯(lián)可修系統(tǒng)中. 假定系統(tǒng)中兩個(gè)并聯(lián)部件修復(fù)如新, 工作時(shí)間服從指數(shù)分布, 修理時(shí)間服從一般分布. 一個(gè)冷貯備部件修復(fù)非新, 且隨著修理次數(shù)的增多, 壽命越來越短, 修理時(shí)間越來越長(zhǎng)，運(yùn)用補(bǔ)充變量法和Laplace變換得到系統(tǒng)的可用度、可靠度等可靠性指標(biāo).

1 模型假定

(1)系統(tǒng)由兩個(gè)同型部件、一個(gè)不同型部件和一個(gè)修理工組成.

(2)初始時(shí)刻三個(gè)部件都是新的, 兩個(gè)同型部件工作, 一個(gè)不同型部件冷貯備, 修理工休假.

(3)部件狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換通過轉(zhuǎn)換開關(guān)實(shí)現(xiàn), 開關(guān)完全可靠且在瞬間完成.

(4)對(duì)兩個(gè)同型部件的修理是修復(fù)如新, 一個(gè)不同型部件的修理是修復(fù)非新的.

(5)系統(tǒng)的第n個(gè)周期是指不同型部件的第n-1次修理完成與第n次修理完成之間的時(shí)間間隔,n=1,2,3,…

X(2)和Y(2)分別記為兩個(gè)同型修復(fù)如新部件的工作壽命和修理時(shí)間,其分布為

F(2)(t)=1-exp(-λ2t),

修理工的休假時(shí)間服從一般分布

其中，t≥0,a>0,λ1>0,λ2>0,α>0,μ1>0,μ2>0;n=1,2,…

(7)修理工多重休假, 無空閑. 若一次休假結(jié)束后無故障部件, 則再次休假. 若休假結(jié)束后有兩個(gè)或兩個(gè)以上部件故障, 隨機(jī)選一個(gè)故障部件進(jìn)行修理. 所有故障部件修復(fù)后, 修理工又馬上開始休假.

(8)所有隨機(jī)變量均相互獨(dú)立.

2 模型分析

記N(t)為系統(tǒng)在t時(shí)刻所處的狀態(tài), 則系統(tǒng)狀態(tài)如下:

0: 兩個(gè)如新部件工作, 非新部件貯備, 修理工休假;

0′: 一個(gè)如新部件和非新部件工作, 另一個(gè)如新部件貯備, 修理工休假;

1: 一個(gè)如新部件和非新部件工作, 另一個(gè)如新部件故障, 修理工休假;

1′:兩個(gè)如新部件工作, 一個(gè)非新部件故障, 修理工休假;

2: 一個(gè)如新部件工作, 非新部件和另一個(gè)如新部件故障, 修理工休假;

2′: 非新部件工作, 兩個(gè)如新部件故障, 修理工休假;

3: 一個(gè)如新部件和非新部件工作, 另一個(gè)如新部件修理;

3′:兩個(gè)如新部件工作, 非新部件修理;

4: 一個(gè)如新部件工作, 另一個(gè)如新部件修理, 非新部件待修;

4′: 一個(gè)如新部件工作, 非新部件修理, 另一個(gè)如新部件待修;

4″: 非新部件工作, 一個(gè)如新部件修理, 另一個(gè)如新部件待修;

5: 三個(gè)部件均待修, 修理工休假;

6: 一個(gè)如新部件修理, 另一個(gè)如新部件和非新部件待修;

6′: 非新部件修理, 兩個(gè)如新部件待修.

上述狀態(tài)中, 狀態(tài)0,0′,1,1′,2,2′,3,3′,4,4′,4″是系統(tǒng)的工作狀態(tài), 狀態(tài)5,6,6′是系統(tǒng)的故障狀態(tài). 由假定知此過程不是Markov過程, 引入補(bǔ)充變量如下:

X(t): 當(dāng)N(t)=0,0′,1,1′,2,2′,3,3′,4,4′,4″時(shí),X(t)表示在時(shí)刻t修理工已經(jīng)用去的休假時(shí)間;

Y(t): 當(dāng)N(t)=5,6,6′時(shí),Y(t)表示在時(shí)刻t部件已經(jīng)用去的修理時(shí)間;

S(t): 非新部件在時(shí)刻t的周期數(shù).

則{S(t),N(t),X(t),Y(t),t≥0}構(gòu)成一個(gè)Markov過程.有

Pik(t,x)=P{N(t)=i,S(t)=k,x≤X(t)

Pjk(t,y)=P{N(t)=j,S(t)=k,y≤Y(t)

引入如下記號(hào):

引理1 系統(tǒng)狀態(tài)方程組解的Laplace變換表達(dá)式為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

ak-1λ1(ak-1λ1-3λ2)(ak-1λ1-2λ2)-1(e-ak-1λ1x-1)-2λ2(e-(ak-1λ1+λ2)x-1)](ak-1λ1-λ2)-1×

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

其中,

c5k(s)=(ak-1λ1-λ2)-1[λ2h*(s+ak-1λ1+λ2)-

ak-1λ1h*(s+2λ2)+(ak-1λ1-λ2)h*(s+2λ2)],

證明 根據(jù)模型假定及系統(tǒng)分析可建立系統(tǒng)狀態(tài)方程組如下 ：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

邊界條件如下:

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

Pik(t,0)=0,i=1,1′,2,2′,5,

(46)

(47)

(48)

(49)

初始條件為P01(0,1)=0, 其余為零.

3 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)系統(tǒng)瞬時(shí)可用度為A(t), 則其Laplace變換表達(dá)式為

證明 系統(tǒng)瞬時(shí)可用度指在時(shí)刻t系統(tǒng)處于工作狀態(tài)的概率, 本模型中工作狀態(tài)有0,0′,1,1′,2,2′,3,3′,4,4′,4″,則有

兩邊做Laplace變換，有

定理2 設(shè)系統(tǒng)瞬時(shí)故障頻度為W(t), 則其Laplace變換表達(dá)式為

證明 系統(tǒng)瞬時(shí)故障頻度是指在時(shí)刻t系統(tǒng)由工作狀態(tài)轉(zhuǎn)為故障狀態(tài)的概率,在本模型中即指系統(tǒng)中只有一個(gè)部件工作, 且該工作部件故障的概率. 則有

定理3 設(shè)系統(tǒng)瞬時(shí)等待修理的概率為Pw(t), 即系統(tǒng)處于故障狀態(tài)的同時(shí)修理工處于休假狀態(tài)的概率，亦即本模型的狀態(tài)5, 則有

證明 兩邊做Laplace變換, 并將引理1的相關(guān)結(jié)果代入，即得

定理4 設(shè)修理工的休假概率為Pv(t), 則其Laplace變換表達(dá)式為

其中,K13=[(ak-1λ1-λ2)(ak-1λ1-2λ2)]-1,K14=[2(λ2-ak-1λ1)(ak-1λ1+λ2)]-1.

證明 分析系統(tǒng)狀態(tài)可知修理工休假的狀態(tài)有0,0′,1,1′,2,2′,5，則

定理5 設(shè)系統(tǒng)可靠度為R(t)，則其Laplace變換表達(dá)式為

證明 由可靠度定義可得

(50)

為求得系統(tǒng)的可靠度R(t), 將本模型中的故障狀態(tài)5,6,6′視為隨機(jī)過程的吸收態(tài), 得到一個(gè)新的隨機(jī)過程，此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)空間為

E={0,0′,1,1′,2,2′,3,3′,4,4′,4″}.

系統(tǒng)方程與前系統(tǒng)大致相同, 不同之處在于刪掉方程(34)～(36),(44)和(45), 另由方程(41)、(42)得

(51)

由方程(43)得

(52)

對(duì)式(50)做Laplace變換可得

利用引理1的相關(guān)結(jié)果以及方程(51)、(52)可得

(53)

(54)

(55)

(56)

4 結(jié)束語

在實(shí)際情況中, 系統(tǒng)部件往往不是修復(fù)如新的, 隨著部件使用時(shí)間越久, 修復(fù)次數(shù)增多，部件修理時(shí)間會(huì)越來越長(zhǎng)，鑒于此,將修復(fù)非新這一條件加入到Gaver并聯(lián)可修系統(tǒng)中，研究了修理工可多重休假，并帶有一個(gè)修復(fù)非新的冷貯備部件的Gaver并聯(lián)可修系統(tǒng),利用Markov過程理論和Laplace變換的方法，得到了系統(tǒng)瞬時(shí)可靠度的Laplace變換式，以及系統(tǒng)瞬時(shí)可用度等一系列可靠性指標(biāo).

[1] 岳德權(quán), 朱建玲, 秦雅玲, 等．修理工可多重休假的帶有一個(gè)冷貯備部件的Gaver并聯(lián)系統(tǒng)[J]．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2006, 6(6):59-68.

[2] 梁小林,莫蘭英,唐小偉.具有修理工休假的冷貯備退化可修系統(tǒng)的研究[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2010,25(3):426-432.

[3] 馬淑蓮,汪云芬, 劉海濤,等.具有單重休假和修復(fù)不如新的兩部件并聯(lián)系統(tǒng)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2011,41(16):111-117.

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(責(zé)任編輯：孔 薇)

Gaver’s Parallel System with Repair of Non-new and a Repairman with Multiple Vacations

JIN Yu, MENG Xian-yun, ZHANG Li, CHEN Yu-tian

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinghuangdao066004,China)

A Gaver’s parallel system attended by a repairman with multiple vacations, two parallel units with repair of new and a cold standby unit with repair of non-new was studied. The repairman vacation time obeyed the general distribution. The system’s instantaneous availability, instantaneous reliability and other reliability indices were obtained by using the geometric process theory, the supplementary variable method, Laplace transform and other math tools.

multiple vacation; repair of non-new; supplementary variable; availability

2015-03-12

河北省教育廳高等學(xué)校自然科學(xué)研究指導(dǎo)項(xiàng)目，編號(hào)Z2014123.

金宇(1988-)，女，黑龍江伊春人，碩士研究生, 主要從事可靠性理論應(yīng)用研究,E-mail: 624268434@qq.com.

金宇, 孟憲云, 張力,等. 具有多重休假和修復(fù)非新的Gaver并聯(lián)系統(tǒng)[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015,47(3)：7-16.

O213.2

A

1671-6841(2015)03-0007-10

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.03.002