卜祥偉,吳曉燕,張蕊,朱付景

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院,710051,西安)

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雙曲正弦非線性跟蹤微分器設(shè)計(jì)

卜祥偉,吳曉燕,張蕊,朱付景

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院,710051,西安)

針對(duì)傳統(tǒng)跟蹤微分器算法復(fù)雜、參數(shù)整定困難和噪聲抑制能力有限的不足,設(shè)計(jì)了一種新型雙曲正弦非線性跟蹤微分器(HNTD)。引入終端吸引子函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)構(gòu)造了HNTD的跟蹤函數(shù),并證明了其全局一致漸近穩(wěn)定性。通過仿真分析設(shè)計(jì)參數(shù)變化對(duì)HNTD頻域特性的影響,為其設(shè)計(jì)參數(shù)的整定提供參考。雙曲正弦函數(shù)既能保證HNTD狀態(tài)收斂的快速性,又能有效避免平衡點(diǎn)附近的顫振現(xiàn)象;終端吸引子函數(shù)則保證了HNTD對(duì)噪聲良好的抑制效果。仿真結(jié)果表明,HNTD的跟蹤和濾波效果與傳統(tǒng)跟蹤微分器相比,不僅結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)參數(shù)相對(duì)較少、整定規(guī)則明確,而且在跟蹤精度、響應(yīng)速度和濾波能力等方面均具有一定的優(yōu)勢(shì)。

非線性跟蹤微分器;終端吸引子函數(shù);雙曲正弦函數(shù);抑制噪聲

微分信號(hào)的精確提取對(duì)PID控制、反演控制和動(dòng)態(tài)滑?？刂频瓤刂品椒ǘ加惺种匾囊饬x,且在信號(hào)處理和參數(shù)估計(jì)中也有廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[1-3]提出的高階滑模微分器的設(shè)計(jì)參數(shù)選取異常困難,且抖振問題無法解決,由于其在每一層滑模面上均含有輸入信號(hào),因此極易受到噪聲污染。文獻(xiàn)[4-5]雖然提出了一些改進(jìn)措施,但并無突破性成果。我國(guó)韓京清研究員首次提出了跟蹤微分器的概念,并給出了3種具體形式的跟蹤微分器[6],但其跟蹤和微分效果并不理想。文獻(xiàn)[7]提出了一種新型跟蹤微分器,但是跟蹤精度不高,且微分輸出存在抖振。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了一種高增益跟蹤微分器,但是噪聲抑制能力不強(qiáng)。為了改善微分器性能的不足,文獻(xiàn)[9-12]提出了幾種改進(jìn)的跟蹤微分器,它們基于一個(gè)共同的改進(jìn)策略:在微分器設(shè)計(jì)中同時(shí)引入非線性環(huán)節(jié)和線性環(huán)節(jié),在狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí),非線性環(huán)節(jié)可以保證微分器收斂的快速性;在狀態(tài)接近平衡點(diǎn)時(shí),線性環(huán)節(jié)可以保證微分器線性無顫振收斂。但是,這樣設(shè)計(jì)的微分器結(jié)構(gòu)形式過于復(fù)雜,待整定參數(shù)較多,微分器參數(shù)整定規(guī)則很難獲取,工程實(shí)用性差。文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)了一種反正切形式的新型跟蹤微分器,但是設(shè)計(jì)參數(shù)過多,且噪聲抑制能力有限。

基于以上分析,本文設(shè)計(jì)了一種新型雙曲正弦非線性跟蹤微分器(HNTD)。雙曲正弦函數(shù)可以保證HNTD收斂的快速性并能有效消除平衡點(diǎn)附近的輸出顫振,終端吸引子函數(shù)使得HNTD對(duì)噪聲不敏感。通過仿真分析了設(shè)計(jì)參數(shù)變化對(duì)微分器頻域特性的影響,為其設(shè)計(jì)參數(shù)的整定提供了參考。最后進(jìn)行了實(shí)例仿真,并與幾種改進(jìn)的微分器進(jìn)行比較來驗(yàn)證HNTD在跟蹤、微分和濾波性能上的優(yōu)勢(shì)。

1 HNTD設(shè)計(jì)

定理1 給定如下系統(tǒng)

(1)

如果滿足a1>0,a2>0,b=q/p,q、p為終端吸引子設(shè)計(jì)參數(shù)[4-5],即p>q>0且q、p均為奇數(shù),那么系統(tǒng)(1)在(0,0)全局一致漸近穩(wěn)定。

雙曲正弦函數(shù)sinh(·)變化過程和系統(tǒng)(1)的收斂過程如圖1所示。

(a)變化過程 (b)收斂過程圖1 sinh(·)變化過程和系統(tǒng)收斂過程

由圖1可知:當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí),sinh(·)的非線性特性可以保證系統(tǒng)(1)以較快速度收斂;當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)離平衡點(diǎn)很近時(shí),sinh(·)的線性特性可以保證系統(tǒng)(1)的平滑無抖收斂。因此,采用雙曲正弦函數(shù)構(gòu)造HNTD的跟蹤函數(shù),可以保證HNTD較好的跟蹤、微分和濾波性能。

圖1中的x、sinh(x)、z1(t)、z2(t)等狀態(tài)都沒有具體的物理意義,因此沒有具體的物理單位。圖3、圖4中的輸入信號(hào)、跟蹤信號(hào)和微分信號(hào)也都沒有具體的物理單位。

為了證明定理1,先給出如下引理。

引理1[14]考慮時(shí)不變系統(tǒng)

(2)

(3)

對(duì)W(z1,z2)求時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)并結(jié)合式(1)得

(4)

定理2 對(duì)于如下系統(tǒng)

(5)

如果滿足R>0,a1>0,a2>0,b=q/p,p>q>0且q、p均為奇數(shù),那么對(duì)任意常數(shù)T>0、可積函數(shù)υ(t),且υ(t)有界,則系統(tǒng)(5)的解x1(t)滿足

(6)

即x1(t)平均收斂于υ(t),x2(t)弱收斂于υ(t)的廣義導(dǎo)數(shù)。

為了證明定理2,先給出如下引理。

引理2[6]如果系統(tǒng)

(7)

的解都滿足:y1(t)→0,y2(t)→0(t→∞),則對(duì)任意常數(shù)T>0和可積函數(shù)υ(t),且υ(t)有界,有系統(tǒng)

(8)

由引理2和定理1可知,定理2成立。系統(tǒng)(5)即為本文設(shè)計(jì)的新型HNTD,HNTD設(shè)計(jì)形式較簡(jiǎn)單,易于工程實(shí)現(xiàn),且僅有R、a1、a2、b共4個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù),便于參數(shù)整定。利用HNTD可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入函數(shù)υ(t)及其一階導(dǎo)數(shù)的有效估計(jì)。

2 HNTD參數(shù)整定規(guī)則

制定較為實(shí)用的設(shè)計(jì)參數(shù)整定規(guī)則,對(duì)于提升HNTD的實(shí)用價(jià)值和應(yīng)用范圍很有幫助。系統(tǒng)的開

環(huán)頻域特性可以反映其響應(yīng)速度和噪聲抑制能力等信息,通過掃頻測(cè)試[15]可以較精確地獲取HNTD的頻域特性。進(jìn)行掃頻測(cè)試仿真,分別分析設(shè)計(jì)參數(shù)R、a1、a2、b的取值變化對(duì)HNTD的頻域特性帶來的影響,可為這些設(shè)計(jì)參數(shù)的整定提供參考。設(shè)計(jì)參數(shù)的具體取值見表1,對(duì)應(yīng)的HNTD頻域特性如圖2所示。通過分析圖2并結(jié)合式(5)可知:增大R可以加快HNTD響應(yīng)速度并提高跟蹤和微分精度,但會(huì)降低噪聲抑制能力,過大的R會(huì)導(dǎo)致跟蹤和微分輸出顫振;a1與R效果類似,其對(duì)跟蹤效果影響較大,增大可以加快跟蹤速度和提高跟蹤精度,但過大會(huì)導(dǎo)致跟蹤輸出顫振;a2對(duì)微分效果影響較大,增大可以提高噪聲抑制能力,但會(huì)降低響應(yīng)速度;增大b可以更好地抑制噪聲,但過大會(huì)增大跟蹤誤差。因此,對(duì)HNTD進(jìn)行參數(shù)整定時(shí),首先取b為較小值,其次選擇合適的R,然后微調(diào)a1、a2來調(diào)整跟蹤和微分效果,最后通過調(diào)整b獲取理想的跟蹤、微分和噪聲抑制效果。

(a)R變化對(duì)HNTD頻域特性的影響

(b)a1變化對(duì)HNTD頻域特性的影響

(c)a2變化對(duì)HNTD頻域特性的影響

(d)b變化對(duì)HNTD頻域特性的影響

可變參數(shù)取值其他參數(shù)取值R=5，10，15，20，25，30a1=15a2=4b=09a1=1，3，5，10，15，20R=20a2=4b=09a2=1，3，5，10，15，20R=20a1=15b=09b=005，01，03，05，07，09R=20a1=15a2=4

3 仿真驗(yàn)證

(1)對(duì)HNTD的跟蹤和微分性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證,并與文獻(xiàn)[6]中改進(jìn)的高穩(wěn)快速非線性-線性跟蹤微分器(MTD)、文獻(xiàn)[12]中改進(jìn)的跟蹤微分器(ITD)和文獻(xiàn)[13]中的反正切形式跟蹤微分器(ATD)進(jìn)行仿真對(duì)比。輸入信號(hào)為受到方差為0.1的隨機(jī)噪聲污染的方波信號(hào),仿真步長(zhǎng)取0.001 s。4種跟蹤微分器設(shè)計(jì)參數(shù)取值見表2。由表2可知,本文提出的HNTD在4種跟蹤微分器中設(shè)計(jì)參數(shù)相對(duì)較少,仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3b可知,4種跟蹤微分器的跟蹤輸出x1都較平滑,跟蹤誤差都能最終趨于0,但是HNTD跟蹤速度最快,且無超調(diào),MTD跟蹤速度次之,ITD跟蹤速度最慢,ATD雖有較快的跟蹤速度,但存在較大的超調(diào)量。由圖3c可知,HNTD微分輸出x2不僅響應(yīng)速度最快,而且平滑無超調(diào),表現(xiàn)出對(duì)噪聲良好的抑制能力;MTD也有較快的響應(yīng)速度,但噪聲抑制能力差,微分輸出曲線存在顫振;ATD、ITD不僅微分響應(yīng)速度慢,且都存在顯著的輸出顫振。仿真結(jié)果充分表明,在4種改進(jìn)的跟蹤微分器中,HNTD在響應(yīng)速度、跟蹤精度和噪聲抑制能力方面較其他3種微分器具有一定的優(yōu)勢(shì)。

表2 4種跟蹤微分器設(shè)計(jì)參數(shù)取值

(2)跟蹤受到方差為0.1的隨機(jī)噪聲污染的正弦信號(hào)sin(2πt)。對(duì)比HNTD、MTD和ATD的跟蹤效果,仿真步長(zhǎng)取0.001 s。3種跟蹤微分器設(shè)計(jì)參數(shù)的取值見表3。仿真結(jié)果如圖4所示,可知HNTD不僅跟蹤輸出x1精度高、速度快,而且微分輸出x2較平滑、超調(diào)量小。綜合對(duì)比響應(yīng)速度、濾波能力和跟蹤精度等性能,HNTD較MTD、ATD有一定的優(yōu)勢(shì)。

(a)受到隨機(jī)噪聲污染的方波輸入信號(hào)

(b)跟蹤效果比較

(c)微分效果比較圖3 4種跟蹤微分器對(duì)方波信號(hào)的跟蹤效果

跟蹤微分器設(shè)計(jì)參數(shù)取值HNTDR=20，a1=10，a2=1，b=09MTDR=20，a=5，b=5，m=3ATDR=20，a1=5，a2=4，f1=f2=2

4 結(jié) 論

基于雙曲正弦函數(shù)和終端吸引子函數(shù)設(shè)計(jì)了一種新型HNTD。當(dāng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)雙曲正弦函數(shù)表現(xiàn)為非線性特性,當(dāng)狀態(tài)接近平衡點(diǎn)時(shí)表現(xiàn)為線性特性。利用這一特性保證了HNTD收斂的快速性和平滑輸出,并展現(xiàn)了良好的濾波能力。終端吸引子函數(shù)進(jìn)一步增強(qiáng)了HNTD對(duì)噪聲的抑制能力。對(duì)參數(shù)整定規(guī)則的明確,增強(qiáng)了HNTD的工程實(shí)用性。仿真結(jié)果表明,HNTD不僅結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)參數(shù)相對(duì)較少、整定規(guī)則明確,而且在跟蹤精度、響應(yīng)速度和濾波能力等方面較幾種改進(jìn)的跟蹤微分器均有一定的優(yōu)勢(shì)。

(a)受到隨機(jī)噪聲污染的正弦輸入信號(hào)

(b)跟蹤效果比較

(c)微分效果比較圖4 3種跟蹤微分器對(duì)正弦信號(hào)的跟蹤效果

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(編輯 趙煒)

Design of A Hyperbolic-Sine-Based Nonlinear Tracking Differentiator

BU Xiangwei,WU Xiaoyan,ZHANG Rui,ZHU Fujing

(Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

A new hyperbolic-sine-based nonlinear tracking differentiator (HNTD) is presented to improve the performance of traditional tracking differentiators that are complicated, difficult to regulate parameters, and hard to restrain noises. The tracking function of HNTD is constructed by introducing a terminal attractor function and a hyperbolic sine function, and its global uniform asymptotical stability is proved. Then, the parameter regulating principle is obtained by analyzing the effects of parameters changes on frequency domain characteristics. The use of the hyperbolic sine function ensures the convergence speed of HNTD’s states and eliminates chattering near the trimmed point. An excellent noise constraint performance is achieved by using the terminal attractor function. Simulation results show that the parameters of HNTD are easy to regulate, and the performance of HNTD is better than that of the traditional tracking differentiators in tracking speed and filtering.

nonlinear tracking differentiator; terminal attractor function; hyperbolic sine function; noise restraint

2014-04-17。

卜祥偉(1987—),男,博士生;吳曉燕(通信作者),女,教授,博士生導(dǎo)師。

航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20130196004);陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012JM8020)。

時(shí)間:2014-10-23

10.7652/xjtuxb201501018

TP273

A

0253-987X(2015)01-0107-05

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141023.1634.001.html