謝文軍,付曉,2,于振華,韓林

(1.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院,710077,西安; 2.中航工業(yè)西安飛行自動控制研究所飛行器控制一體化技術(shù)重點實驗室,710065,西安)

?

信息物理融合系統(tǒng)中惡意軟件傳播動力學(xué)研究

謝文軍1,付曉1,2,于振華1,韓林1

(1.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院,710077,西安; 2.中航工業(yè)西安飛行自動控制研究所飛行器控制一體化技術(shù)重點實驗室,710065,西安)

針對惡意軟件在信息物理融合系統(tǒng)(cyber-physical system, CPS)中的傳播機理難以描述的問題,提出了一種自適應(yīng)SIQRS(susceptible-infected-quarantined-recovered-susceptible)傳播動力學(xué)模型。該模型采用節(jié)點隔離機制描述CPS的感知和控制能力,引入鏈路重連機制刻畫CPS的自適應(yīng)性,進一步分析了惡意軟件在CPS中的傳播規(guī)則,并依據(jù)平均場理論建立了相應(yīng)的微分動力學(xué)方程。不同參數(shù)條件下的仿真結(jié)果表明:當(dāng)感染率小于存在閾值時,惡意軟件無法在CPS內(nèi)傳播;當(dāng)感染率大于存在閾值且小于傳播閾值時,CPS發(fā)生滯后分岔并出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象;當(dāng)感染率大于傳播閾值時,CPS穩(wěn)定在地方病平衡狀態(tài);當(dāng)參數(shù)滿足特定條件時,CPS會發(fā)生Hopf分岔。研究表明,所提模型能夠準(zhǔn)確刻畫惡意軟件在CPS中的傳播機理。

信息物理融合系統(tǒng);惡意軟件;非線性動力學(xué);自適應(yīng)性

信息物理融合系統(tǒng)(cyber-physical system,CPS)是一種集成計算、通信與控制能力的新型智能系統(tǒng)[1],CPS中計算進程與物理進程持續(xù)交互、深度融合,具備自主感知、自主判斷、自主調(diào)節(jié)等特性,具有較高的自治能力。目前CPS已廣泛應(yīng)用于國防、航空航天、智能交通、智能電網(wǎng)等關(guān)鍵領(lǐng)域[2-5],成為學(xué)術(shù)界和工業(yè)界共同關(guān)注的熱點。

CPS所處環(huán)境復(fù)雜多變,易遭受病毒、木馬、蠕蟲等惡意攻擊。一旦CPS發(fā)生故障甚至失效,將給國防安全和人民生命財產(chǎn)帶來巨大損失。因此,CPS必須可信且可控,必須確保其動態(tài)行為過程和結(jié)果與人們的預(yù)期相符。惡意軟件攻擊是導(dǎo)致CPS不可信的重要因素之一,其通常首先感染CPS中單個或數(shù)個節(jié)點,隨后進行擴散性傳播,導(dǎo)致更多節(jié)點功能受損,使得CPS可信性降低,因此有必要對惡意軟件的傳播過程進行建模和分析,這對有效控制惡意軟件在CPS中的傳播具有重要意義。

近年來,惡意軟件傳播動力學(xué)已成為計算機安全領(lǐng)域的研究熱點,目前已提出SIS(susceptible-infected-susceptible)、SIRS(susceptible-infected-recovered-susceptible)等多種靜態(tài)傳播模型[6-7],并得到了廣泛應(yīng)用。文獻[8]提出了一種蠕蟲病毒傳播模型;文獻[9]提出了考慮隔離與防護措施的SEIQV(susceptible-exposed-infected-quarantined-vaccinated)模型;文獻[10]提出了一類具有非單調(diào)傳染率的SIQR(susceptible-infected-quarantined-recovered)模型;文獻[11]研究了惡意軟件在網(wǎng)絡(luò)上的傳播模型中的分岔、振蕩等動力學(xué)行為。然而,CPS是一個分布式復(fù)雜系統(tǒng),具有動態(tài)性、自適應(yīng)性等動力學(xué)行為特征,系統(tǒng)行為難以預(yù)測。因此,上述靜態(tài)模型難以準(zhǔn)確描述惡意軟件在CPS中的實際傳播過程,也無法充分解釋振蕩、滅絕[12]等重要隨機動力學(xué)現(xiàn)象。

本文在SIQR[13]模型的基礎(chǔ)上,結(jié)合CPS的特性,建立了惡意軟件在CPS中的自適應(yīng)SIQRS(susceptible-infected-quarantined-recovered-susceptible)傳播模型,對其動力學(xué)行為進行分析,從而研究惡意軟件在CPS中的傳播機理,并通過數(shù)值仿真進行了分析和驗證。

1 信息物理融合系統(tǒng)中惡意軟件傳播動力學(xué)建模

1.1 動力學(xué)模型構(gòu)建

根據(jù)CPS的感知、控制能力,作如下假設(shè):①CPS中健康節(jié)點具有主動識別與其相連的節(jié)點是否健康的能力;②若某健康節(jié)點發(fā)現(xiàn)與其相連的另一節(jié)點被感染,則將通知周邊所有未感染節(jié)點斷開與該感染節(jié)點的鏈接,將其隔離,稱此規(guī)則為節(jié)點隔離機制。

可將CPS中的節(jié)點劃分為4種狀態(tài):易感染節(jié)點(susceptible node)、感染節(jié)點(infected node)、隔離節(jié)點(quarantined node)及恢復(fù)節(jié)點(recovered node),分別簡稱為S態(tài)節(jié)點、I態(tài)節(jié)點、Q態(tài)節(jié)點及R態(tài)節(jié)點,其狀態(tài)轉(zhuǎn)化過程如圖1所示。各狀態(tài)節(jié)點間轉(zhuǎn)化規(guī)則如下:

(1)S態(tài)節(jié)點以感染率a轉(zhuǎn)化為I態(tài)節(jié)點,a=pNI,其中p為單個I態(tài)節(jié)點沿著I-S邊感染S態(tài)節(jié)點的能力,稱其為單邊感染率,NI表示與該S態(tài)節(jié)點相連的I態(tài)節(jié)點的數(shù)目;

(2)I態(tài)節(jié)點以治愈率r被CPS自主“治愈”并獲得暫時免疫能力,轉(zhuǎn)化為R態(tài)節(jié)點;

(3)I態(tài)節(jié)點被發(fā)現(xiàn)后將以隔離率b轉(zhuǎn)化為Q態(tài)節(jié)點,且Q態(tài)節(jié)點有一定概率被治愈并獲得免疫能力,從而轉(zhuǎn)化為R態(tài)節(jié)點,其治愈率為c;

(4)R態(tài)節(jié)點經(jīng)過一段時間后喪失免疫能力,并以轉(zhuǎn)化率q轉(zhuǎn)化為S態(tài)節(jié)點。

圖1 CPS各狀態(tài)節(jié)點轉(zhuǎn)化過程示意圖

為了刻畫CPS的自適應(yīng)性,在上述模型中添加如下規(guī)則:若某S態(tài)/R態(tài)節(jié)點與I態(tài)節(jié)點相連,該節(jié)點能夠以重連率[12]m斷開此S-I/R-I邊,并與另一個S態(tài)或R態(tài)節(jié)點建立一條新的鏈接,此規(guī)則稱為鏈路重連機制。該機制結(jié)合了節(jié)點動力學(xué)與拓撲動力學(xué)[14],反映了拓撲結(jié)構(gòu)和節(jié)點狀態(tài)間的反饋現(xiàn)象,能更好地描述CPS節(jié)點狀態(tài)演化過程及其動力學(xué)現(xiàn)象。

惡意軟件開始傳播時,CPS拓撲同時開始自適應(yīng)重構(gòu)。設(shè)Ps、Pi、Pr、Pq分別表示網(wǎng)絡(luò)中S態(tài)、I態(tài)、R態(tài)及Q態(tài)節(jié)點的分布密度,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點總數(shù)為N,無向鏈接總數(shù)為L。根據(jù)上述節(jié)點狀態(tài)轉(zhuǎn)化規(guī)則及平均場理論,可得惡意軟件在CPS中的自適應(yīng)SIQRS模型如下

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:Psi(t)指t時刻S-I邊的分布密度。雖然該模型較好地描述了S態(tài)節(jié)點、I態(tài)節(jié)點、R態(tài)節(jié)點的演化過程,但Psi(t)仍是未知量。為進一步完善模型,基于自適應(yīng)SIRS模型[12],引入5個平均場量Pss、Psr、Pii、Pir、Prr,分別表示S-S、S-R、I-I、I-R、R-R邊的分布密度。根據(jù)平均場理論,假設(shè)PABC≈PAB·PBC/PB,可得上述6種邊分布密度的微分動力學(xué)方程[12]為

Pr(t))-2pLPss(t)Psi(t)/NPs(t)

(5)

(6)

(7)

rPir(t)-2qPrr(t)

(8)

Pr(t))+mPs(t)Pir(t)/(Ps(t)+Pr(t))+

2qPrr(t)-qPsr(t)-pLPsi(t)Psr(t)/NPs(t)

(9)

qPir(t)-rPir(t)-mPir(t)

(10)

1.2 動力學(xué)模型物理意義

根據(jù)以上動力學(xué)模型,在式(1)中,由于每個R態(tài)節(jié)點都以轉(zhuǎn)化率q轉(zhuǎn)化為S態(tài)節(jié)點,因此由R態(tài)節(jié)點轉(zhuǎn)化引發(fā)的S態(tài)節(jié)點增加的速率為qPr(t);由于S態(tài)節(jié)點被I態(tài)節(jié)點沿著I-S邊感染的概率為p,而每個S態(tài)節(jié)點平均接觸LPsi(t)/N個I態(tài)節(jié)點,因此由感染事件引發(fā)的S態(tài)節(jié)點減少的速率為pLPsi(t)/N。

式(2)中,由于每個I態(tài)節(jié)點都以概率r“痊愈”為R態(tài)節(jié)點或以隔離率b被隔離,因此I態(tài)節(jié)點減少的速率為(b+r)Pi(t)。

式(3)中,由于每個Q態(tài)節(jié)點都以隔離治愈率c“痊愈”為R態(tài)節(jié)點,因此由隔離節(jié)點恢復(fù)引發(fā)的Q態(tài)節(jié)點減少的速率為cPq(t)。

式(5)中,部分R態(tài)節(jié)點轉(zhuǎn)化為S態(tài)節(jié)點,與其相連的原R-S邊隨之轉(zhuǎn)化為S-S邊,因此由R態(tài)節(jié)點轉(zhuǎn)化引發(fā)的S-S邊增加的速率為qPsr(t);在重連事件中,S態(tài)節(jié)點以重連率m斷開與I態(tài)節(jié)點的鏈接,同時隨機選擇一個健康節(jié)點生成新的鏈接,在新生成的鏈接中S-S邊所占百分比為Ps(t)/(Ps(t)+Pr(t)),因此由重連引發(fā)的S-S邊增加的速率為mPs(t)Psi(t)/(Ps(t)+Pr(t));在一個S-S-I節(jié)點組中,若中間的S態(tài)節(jié)點被感染為I態(tài)節(jié)點,則與其相連的原S-S邊將變?yōu)镾-I邊,而該節(jié)點組的分布密度為Pssi(t)≈Pss(t)Psi(t)/Ps(t),且由于一條S-S邊連接2個S態(tài)節(jié)點,平均每個S態(tài)節(jié)點產(chǎn)生2Pss(t)/Ps(t)條S-S邊,由此引發(fā)的S-S邊減少的速率為2pLPss(t)Psi(t)/NPs(t)。

式(7)中,部分I態(tài)節(jié)點“痊愈”為R態(tài)節(jié)點,與其相連的原I-I邊隨之轉(zhuǎn)化為R-I邊,且每個I態(tài)節(jié)點平均產(chǎn)生2Pii(t)/Pi(t)條I-I邊,因此原I-I邊轉(zhuǎn)化為I-R邊的速率為2rPii(t)。

式(8)中,在重連事件中,R態(tài)節(jié)點斷開與I態(tài)節(jié)點的鏈接并與另一個R態(tài)節(jié)點相連的概率為mPr(t)/(Ps(t)+Pr(t)),由此引發(fā)的R-R邊增加的速率為mPr(t)Pir(t)/(Ps(t)+Pr(t))。

式(9)中,在鏈路重連機制的作用下,部分S態(tài)節(jié)點斷開與I態(tài)節(jié)點的鏈接并與R態(tài)節(jié)點相連,且部分R態(tài)節(jié)點斷開與I態(tài)節(jié)點的鏈接并與S態(tài)節(jié)點相連,由此引發(fā)的S-R邊增加的速率為mPr(t)·Psi(t)/(Ps(t)+Pr(t))+mPs(t)Pir(t)/(Ps(t)+Pr(t));部分R態(tài)節(jié)點轉(zhuǎn)化為S態(tài)節(jié)點,與其相連的原R-R邊隨之轉(zhuǎn)化為S-R邊,且每個R態(tài)節(jié)點平均產(chǎn)生2Prr(t)/Pr(t)條R-R邊,由此引發(fā)的R-R邊減少的速率為2qPrr(t);在一次感染事件中,S態(tài)節(jié)點以概率pL/N被感染為I態(tài)節(jié)點,若此前有一個R態(tài)節(jié)點與該S態(tài)節(jié)點相連,則原S-R邊將轉(zhuǎn)化為I-R邊,此事件僅發(fā)生在I-S-R節(jié)點組中,該節(jié)點組的分布密度為Pisr(t)≈Psi(t)Psr(t)/Ps(t),由此引發(fā)的S-R邊減少的速率為pLPsi(t)Psr(t)/NPs(t)。

式(10)中,因為部分R態(tài)節(jié)點轉(zhuǎn)化為S態(tài)節(jié)點,與其相連的原R-I邊隨之轉(zhuǎn)化為S-I邊,由此引發(fā)的I-R邊減少的速率為rPir(t);因為原I-R邊以重連率m斷開重連,由此引發(fā)的I-R邊減少的速率為mPir(t)。

2 信息物理融合系統(tǒng)中惡意軟件傳播過程仿真與分析

為了形象地描述惡意軟件在CPS中的傳播機理,下面將其與惡意軟件在一般系統(tǒng)中的傳播過程進行對比。

與CPS相比,一般系統(tǒng)通常不具備控制鏈接及自適應(yīng)重構(gòu)的能力,因此可將惡意軟件在一般系統(tǒng)上的傳播模型簡化為經(jīng)典SIRS模型[7]。

利用增長和優(yōu)先連接機制[15]生成一般系統(tǒng)的拓撲圖,在該拓撲圖上加入節(jié)點隔離機制及鏈路重連機制,可獲得CPS拓撲圖。在此基礎(chǔ)上對惡意軟件在CPS與一般系統(tǒng)中的傳播過程進行仿真對比、分析。

設(shè)初始時刻S態(tài)節(jié)點的密度Ps(0)=0.99,I態(tài)節(jié)點的密度Pi(0)=0.01,Q態(tài)節(jié)點的密度Pq(0)=0,R態(tài)節(jié)點的密度Pr(0)=0,單邊感染率p=0.002,治愈率r=0.002,轉(zhuǎn)化率q=0.003 2,網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)N=103,總邊數(shù)L=3 000,在一般系統(tǒng)上進行1 000次仿真實驗,得出各狀態(tài)節(jié)點分布演化曲線及度分布曲線;然后取相同參數(shù)在CPS上進行1 000次仿真實驗,其中重連率m=0.002,隔離率b=0.04,隔離治愈率c=0.003 2,進行同樣操作,結(jié)果如圖2、圖3所示。

由圖2可知,CPS中惡意軟件傳播規(guī)模顯著低于一般系統(tǒng)中的惡意軟件傳播規(guī)模,節(jié)點隔離機制與鏈路重連機制一定程度地抑制了惡意軟件的傳播,降低了損失;由圖3可知,達到穩(wěn)態(tài)后,一般系統(tǒng)中節(jié)點度數(shù)大多集中在3～5之間,同時存在較多大度數(shù)節(jié)點,而在CPS中,節(jié)點度分布相對均勻,網(wǎng)絡(luò)中大度數(shù)節(jié)點消失,且出現(xiàn)了個別度數(shù)為0的孤立節(jié)點,顯然這將增大惡意軟件在CPS中的傳播難度。

(a)一般系統(tǒng)

(b)CPS圖2 各狀態(tài)節(jié)點數(shù)量演化

(a)一般系統(tǒng)

(b)CPS圖3 穩(wěn)定狀態(tài)時節(jié)點度分布

上述仿真僅考慮了固定參數(shù)情況下的惡意軟件在CPS中的傳播過程,而實際情況中系統(tǒng)參數(shù)往往是可變的,因此還需對變參數(shù)情況下惡意軟件在CPS中的傳播過程進行研究。本文采用Runge-Kutta法對變參數(shù)模型進行數(shù)值分析,以進一步了解其傳播動力學(xué)特征。

(a)m=0

首先考慮單邊感染率p可變的情況。假設(shè)CPS中節(jié)點總數(shù)N=104,總邊數(shù)L=105,治愈率r=0.002,隔離率b=0.04,隔離治愈率c=0.003 2,轉(zhuǎn)化率q=0.003 2,單邊感染率p不定,重連率取為m=0及m=0.1。對這兩種情況分別進行數(shù)值仿真,得出感染率p與感染節(jié)點密度Pi(t)的關(guān)系,如圖4所示。

(b)m=0.1圖4 CPS中單邊感染率p與感染節(jié)點密度Pi(t)的關(guān)系

從圖4a中可觀察到當(dāng)m=0時,CPS僅在單邊感染率p取極小值時存在無病毒平衡狀態(tài),且在p≈0.000 1處發(fā)生了一個連續(xù)相變,之后穩(wěn)定狀態(tài)下的感染節(jié)點密度迅速上升,CPS進入地方病平衡狀態(tài),該點即為傳播閾值;在圖4b中,當(dāng)m=0.1時,可觀察到除傳播閾值外,還出現(xiàn)了一個新的閾值,可稱其為存在閾值,該閾值對應(yīng)系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔,當(dāng)p大于存在閾值時,已感染的節(jié)點可持續(xù)存在。值得注意的是,這兩個閾值間為不連續(xù)相變,兩者間存在一個雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域。在此區(qū)域內(nèi),CPS發(fā)生滯后分岔,其無病毒平衡點和地方病平衡點都是穩(wěn)定的,CPS既有可能處于無病毒狀態(tài),也有可能處于地方病狀態(tài)。隨著m的增大,鏈路重連機制使得惡意軟件的傳播閾值顯著增加,且地方病狀態(tài)下的最終感染規(guī)模有所下降,大幅降低了惡意軟件爆發(fā)的概率,有效提高了CPS對惡意軟件的抵抗力。

其次考慮治愈率r可變的情況。假設(shè)CPS中節(jié)點總數(shù)N=104,總邊數(shù)L=105,單邊感染率p=0.008,隔離率b=0.001,隔離治愈率c=0.002,轉(zhuǎn)化率q=0.003 2,治愈率r不定,重連率為m=0及m=0.05。對這兩種情況進行數(shù)值仿真,得出治愈率r與感染節(jié)點密度Pi(t)的關(guān)系,如圖5所示。

(a)m=0

(b)m=0.05圖5 CPS中治愈率r與感染節(jié)點密度Pi(t)的關(guān)系

由圖5可知,隨著m的增大,完全抑制惡意軟件傳播所需的治愈率降低。在鏈路重連機制的作用下,系統(tǒng)可在較低治愈率的情況下完全抑制惡意軟件的傳播,使其趨于消亡,減輕系統(tǒng)防護壓力。

如圖6、圖7所示,以單邊感染率p為分岔參數(shù),在其傳播閾值處CPS將發(fā)生Hopf分岔,各狀態(tài)節(jié)點的分布密度隨之劇烈振蕩,系統(tǒng)穩(wěn)定性大幅下降。

p=0.008;r=0.02;q=0.003 2;m=0.1;b=0.001;c=0.002圖6 CPS中臨界狀態(tài)附近節(jié)點分布密度演化

p=0.008;r=0.02;q=0.003 2;m=0.1;b=0.001;c=0.002圖7 CPS中S態(tài)-I態(tài)節(jié)點相軌道

綜合上述仿真可知,雖然CPS中的節(jié)點隔離機制與鏈路重連機制難以徹底阻止惡意軟件在CPS中的傳播,但其可以提高惡意軟件在CPS中的傳播閾值,控制傳播規(guī)模,對惡意軟件在CPS中的傳播過程有一定的抑制作用。

3 結(jié) 論

本文通過構(gòu)建惡意軟件在CPS中的自適應(yīng)SIQRS傳播模型,給出惡意軟件在CPS中的傳播規(guī)則,對其傳播機理進行了研究,并進行了數(shù)值仿真。仿真結(jié)果表明,與一般系統(tǒng)相比,CPS在節(jié)點隔離機制及鏈路重連機制的作用下能夠更好地抵抗惡意軟件的入侵,且這一抵抗能力隨著重連率m的增大而加強。Hopf分岔的出現(xiàn)表明所建自適應(yīng)SIQRS模型可以較好地描述惡意軟件在CPS中傳播的復(fù)雜動力學(xué)行為特征,能夠準(zhǔn)確反映其動力學(xué)行為,便于對其展開進一步研究。

本文所建立的自適應(yīng)SIQRS傳播模型可預(yù)測惡意軟件的傳播趨勢,有助于選擇有效的控制方案,具有重要的理論意義與實踐價值。此外,由該模型得出的各狀態(tài)節(jié)點分布密度演化曲線可獲知最佳介入時機,從而制訂相應(yīng)策略,以最小代價實現(xiàn)主動防御,最大限度地降低潛在風(fēng)險。

[1]National Science Foundation of the United States.Cyber-physical system (CPS) program solicitation [EB/OL].(2013-01-14) [2014-05-29].http:∥www.nsf.gov.

[2]RAJKUMAR R, LEE I, SHA L.Cyber-physical systems:the next computing revolution [C]∥Proceedings of the 47th ACM/IEEE Conference on Design Automation.Piscataway, NJ, USA:IEEE, 2010:731-736.

[3]SAMPIGETHAYA K, POOVENDRAN R.Aviation cyber-physical systems:foundations for future aircraft and air transport [J].Proceedings of the IEEE, 2013, 1010(8):1834-1855.

[4]何積豐.Cyber-physical Systems [J].中國計算機學(xué)會通訊, 2010, 6(1):25-29.HE Jifeng.Cyber-physical systems [J].Communications of the China Computer Federation, 2010, 6(1):25-29.

[5]LEE I, SOKOLSKY O, CHEN Sanjian, et al.Challenges and research directions in medical cyber-physical systems [J].Proceedings of the IEEE, 2012, 100(1):75-90.

[6]PASTOR-SATORRAS R, VESPIGNANI A.Epidemic spreading in scale-free networks [J].Physical Review Letters, 2001, 86(14):3200-3203.

[7]BUONOMO B, RIONERO S.On the Lapunov stability for SIRS epidemic models with general nonlinear incidence rate [J].Applied Mathematics and Computation, 2010, 217(8):4010-4016.

[8]TOUTONJI O A, YOO S, PARK M.Stability analysis of VEISV propagation modeling for network worm attack [J].Applied Mathematical Modelling, 2012, 36(6):2751-2761.

[9]WANG Fangwei, ZHANG Yunkai, WANG Changguang, et al.Stability analysis of a SEIQV epidemic model for rapid spreading worms [J].Computers and Security, 2010, 29(4):410-418.

[10]葉志勇, 劉原, 吳用.具有非單調(diào)傳染率的SIQR傳染病模型的穩(wěn)定性分析 [J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報, 2014, 29(1):105-112.YE Zhiyong, LIU Yuan, WU Yong.Stability of a SIQR model with nonmonotone incidence rate [J].Journal of Biomathematics, 2014, 29(1):105-112.

[11]任建國.計算機病毒的網(wǎng)絡(luò)傳播機制:三個新型的動力系統(tǒng)模型 [D].重慶:重慶大學(xué), 2012.

[12]SHAW L B, SCHWARTZ I B.Fluctuating epidemics on adaptive networks [J].Physical Review:E, 2008, 77(6):248-262.

[13]HERBERT H, MA Zhien, LIAO Shengbing.Effects of quarantine in six endemic models for infectious diseases [J].Mathematical Bioscience, 2002, 180(1):141-160.

[14]魯延玲, 蔣國平, 宋玉蓉.自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播的穩(wěn)定性和分岔行為研究 [J].物理學(xué)報, 2013, 62(13):1-9.LU Yanling, JIANG Guoping, SONG Yurong.Stability and bifurcation of epidemic spreading on adaptive network [J].Acta Physica Sinica, 2013, 62(13):1-9.

[15]BARABASI A L, ALBERT R.Emergence of scaling in random networks [J].Science, 1999, 286(5439):509-512.

(編輯 武紅江)

The Spreading Dynamics of Malicious Softwares in Cyber-Physical System

XIE Wenjun1,FU Xiao1,2,YU Zhenhua1,HAN Lin1

(1.School of Information and Navigation, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China; 2.Science and Technology on Aircraft Control Laboratory, AVIC Xi’an Flight Automatic Control Research Institute, Xi’an 710065, China)

An adaptive SIQRS(susceptible-infected-quarantined-recovered-susceptible) spreading dynamics model is proposed to solve the problem that it is difficult to describe the spreading mechanism of malicious softwares in cyber-physical system (CPS).The quarantined mechanism is employed to describe the perception and control abilities of CPS, and the link rewired mechanism is introduced to depict the adaptability of CPS.The spreading rules of malicious softwares are analyzed, and their differential dynamic equations are presented based on the mean field theory.Numerical simulation results with different parameters show that when the infection rate is less than the epidemic persistence threshold, malicious softwares cannot spread in CPS; when the infection rate is larger than the epidemic persistence threshold and less than the epidemic threshold, a backward bifurcation occurs which causes the bistability; when the infection rate is larger than the epidemic threshold, CPS is stable at the endemic equilibrium; and a Hopf bifurcation occurs when the parameters satisfy a specific condition.It is concluded that the adaptive SIQRS model can accurately describe the spreading mechanism of malicious softwares in CPS.

cyber-physical system; malicious software; nonlinear dynamics; adaptability

2014-07-07。 作者簡介:謝文軍(1991—),男,碩士生;于振華(通信作者),男,副教授。 基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(61202128,61401499);航空科學(xué)基金資助項目(20125896020);陜西省工業(yè)攻關(guān)資助項目(2012GY2-40)。

時間:2015-02-10

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150210.0924.001.html

10.7652/xjtuxb201504013

TP311.5

A

0253-987X(2015)04-0078-06