方江龍,王小鵬,陳天寧,張凱

(西安交通大學(xué)機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

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動(dòng)理論在預(yù)測(cè)非阻塞性顆粒阻尼能量耗散中的應(yīng)用

方江龍,王小鵬,陳天寧,張凱

(西安交通大學(xué)機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

為了準(zhǔn)確分析顆粒阻尼(NOPD)的能量耗散機(jī)理,拓寬顆粒阻尼在工程中的應(yīng)用范圍,根據(jù)分子動(dòng)理論基本原理,建立非阻塞性顆粒阻尼能量耗散的定量模型。在振動(dòng)流化床顆粒系統(tǒng)研究成果的基礎(chǔ)上,認(rèn)為當(dāng)阻尼器內(nèi)部的顆粒充分流化時(shí),顆粒之間的物質(zhì)輸運(yùn)和能量耗散由顆粒之間的碰撞主導(dǎo);將阻尼器內(nèi)部顆粒的運(yùn)動(dòng)與氣體分子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行類比,建立非阻塞性顆粒阻尼的能量守恒方程;通過(guò)求解顆粒系統(tǒng)的廣義溫度,得到非阻塞性顆粒阻尼能量耗散功率的定量模型。研究結(jié)果表明,顆粒阻尼的能量耗散功率隨著顆粒直徑的增大、顆粒層數(shù)的增多、材料密度的增加以及振動(dòng)強(qiáng)度的提高逐漸提高。與現(xiàn)有模型相比,提出的模型顆粒阻尼的能量耗散功率不依賴顆粒內(nèi)部速度梯度,因而具有更大的實(shí)際應(yīng)用范圍,也為更精確地描述非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散機(jī)理提供了一種新的思路。

非阻塞性顆粒阻尼;動(dòng)理論;能量耗散功率

非阻塞性顆粒阻尼(NOPD)又稱粉體阻尼,是將金屬或者非金屬顆粒按一定的填充比填充到振動(dòng)結(jié)構(gòu)的空腔內(nèi),通過(guò)顆粒與顆粒之間以及顆粒與腔體壁之間的碰撞和摩擦耗能起到減振的作用。這一阻尼技術(shù)最早由文獻(xiàn)[1]提出,經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展,顆粒阻尼技術(shù)已被成功地應(yīng)用于汽輪機(jī)葉片、捆鈔機(jī)、齒輪機(jī)組、加筋板等不同結(jié)構(gòu)中,起到了良好的減振效果。與傳統(tǒng)的阻尼技術(shù)(如摩擦阻尼、黏彈性阻尼)相比,非阻塞性顆粒阻尼的特性基本不受外界環(huán)境的影響,因而在惡劣環(huán)境條件下仍具有良好的減振效果[2]。此外,非阻塞性顆粒阻尼具有減振頻帶寬、噪聲小、對(duì)原始結(jié)構(gòu)改變較小等優(yōu)點(diǎn),因而得到了人們的廣泛關(guān)注。

對(duì)于NOPD,顆粒與顆粒之間以及顆粒與腔體之間的碰撞和摩擦是產(chǎn)生能量耗散的主要機(jī)理[3]。大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,顆粒阻尼的減振效果由結(jié)構(gòu)的振動(dòng)強(qiáng)度、顆粒的填充比、顆粒的大小以及顆粒材料密度等因素決定[4-5]。由于顆粒阻尼的能量耗散機(jī)理十分復(fù)雜,因而目前對(duì)顆粒阻尼減振效果的研究仍以實(shí)驗(yàn)分析和簡(jiǎn)單模型為主,如何確定顆粒的能量耗散功率與振動(dòng)強(qiáng)度及顆粒參數(shù)的定量關(guān)系成為研究非阻塞性阻尼的關(guān)鍵和難點(diǎn)問(wèn)題。

為了得到非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散理論模型,常用的方法主要有離散元法、內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間理論、兩相流動(dòng)理論以及湍流理論等。其中,文獻(xiàn)[6]首次提出離散元法,經(jīng)過(guò)不斷的發(fā)展,目前已被廣泛應(yīng)用于采礦工程、巖土工程等。離散元法分析顆粒阻尼的減振機(jī)理時(shí)計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單,且在顆粒數(shù)目較少的情況下有較好的精度,但其計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重依賴顆粒的參數(shù)如恢復(fù)系數(shù)、摩擦系數(shù)等的選取[7],而且當(dāng)顆粒數(shù)目較大時(shí),計(jì)算效率低。文獻(xiàn)[8]提出內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間理論,用于描述耗散材料的黏塑性形變過(guò)程。文獻(xiàn)[9]以內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間理論為基礎(chǔ),結(jié)合NOPD的運(yùn)動(dòng)特性,首次得出了塑性應(yīng)變與能量耗散之間的關(guān)系式。由于內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間理論用于分析NOPD振動(dòng)響應(yīng)時(shí)需要做較多的簡(jiǎn)化和假設(shè),故導(dǎo)致分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大的誤差。文獻(xiàn)[10]基于湍流的耗散統(tǒng)計(jì)模型,根據(jù)顆粒流類的流體性質(zhì),將顆粒的運(yùn)動(dòng)形態(tài)簡(jiǎn)化為充分發(fā)展的簡(jiǎn)單剪切流,得到了NOPD能量耗散率以及能譜密度的表達(dá)式。此外,吳成軍教授首次將兩相流理論用于建立非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散[11],在充分發(fā)展的簡(jiǎn)單剪切流假設(shè)的基礎(chǔ)上,得到了非阻塞性顆粒阻尼的等效阻尼系數(shù),并成功預(yù)測(cè)了非阻塞阻尼懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。湍流模型和兩相流模型都將阻尼器內(nèi)部顆粒的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單剪切流,這與實(shí)際顆粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有一定的差異。此外,兩個(gè)模型所提出的等效阻尼系數(shù)和能量耗散率都包含速度梯度項(xiàng),而顆粒內(nèi)部的速度梯度一般很難直接獲取,因而極大地限制了兩個(gè)模型的實(shí)際應(yīng)用。

本文在使用動(dòng)理論對(duì)振動(dòng)激勵(lì)下的流化床進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上[12],嘗試將動(dòng)理論的研究成果用于預(yù)測(cè)顆粒阻尼的能量耗散功率,得到了顆粒阻尼能量耗散功率與阻尼器相關(guān)參數(shù)如顆粒直徑、顆粒密度、外界激勵(lì)強(qiáng)度等的定量關(guān)系,并將得到的理論模型與現(xiàn)有的研究成果和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證,為建立非阻塞性顆粒阻尼能量耗散模型提供了一種新的思路。

1 動(dòng)理論基本原理

對(duì)一個(gè)垂直激勵(lì)的顆粒系統(tǒng),隨著顆粒層數(shù)的減少和激勵(lì)強(qiáng)度的增加,顆粒的輸運(yùn)和能量的傳遞主要由顆粒之間的碰撞產(chǎn)生[13],文獻(xiàn)[14]將碰撞主導(dǎo)的顆粒流系統(tǒng)與氣體分子之間的碰撞進(jìn)行類比。動(dòng)理論表明,氣體分子之間的碰撞可以描述為速度服從麥克斯韋分布的彈性顆粒在近似真空空間的自由運(yùn)動(dòng)。因而,如果將非阻塞性顆粒阻尼內(nèi)部顆粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與氣體分子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行類比,需滿足以下基本條件[15]:顆粒之間的碰撞是顆粒輸運(yùn)和能量傳遞的主要機(jī)理;顆粒單次碰撞產(chǎn)生的能量損失與顆粒的動(dòng)能相比較小;由摩擦產(chǎn)生的能量耗散與非彈性碰撞產(chǎn)生的能量損失相比較小。文獻(xiàn)[15]表明,對(duì)于非阻塞性顆粒阻尼,當(dāng)振動(dòng)加速度較大時(shí)能量耗散主要由顆粒之間的非彈性碰撞產(chǎn)生。對(duì)于材料恢復(fù)系數(shù)接近1的顆粒,由單次碰撞產(chǎn)生的能量與顆粒動(dòng)能相比自然較小。從而,將動(dòng)理論用于預(yù)測(cè)非阻塞性顆粒阻尼能量耗散時(shí)應(yīng)滿足以下前提條件:顆粒的填充率較小;振動(dòng)激勵(lì)的加速度值較大;顆粒材料的恢復(fù)系數(shù)接近1。

1.1 顆粒系統(tǒng)的輸運(yùn)方程

對(duì)于一個(gè)充分流化振動(dòng)的顆粒系統(tǒng),類比氣體分子動(dòng)理論,定義顆粒的物理量,如顆粒的動(dòng)量或者動(dòng)能的統(tǒng)計(jì)平均值為[16]

(1)

式中:n為顆粒的粒子數(shù)密度,即單位體積內(nèi)顆粒的個(gè)數(shù);v為顆粒速度;f(1)(r,v,t)為顆粒的速度分布函數(shù)。對(duì)于單位體積dr內(nèi)顆粒的物理量ψ的平均〈nψdr〉主要受到3個(gè)方面的影響:顆粒速度隨時(shí)間的變化;顆粒在微元內(nèi)的流入流出;微元內(nèi)部顆粒的碰撞。借助流體力學(xué)輸運(yùn)方程的概念,可以建立顆粒系統(tǒng)的輸入方程[16]如下所示

(2)

式中:Ai為外界作用力引起的ψ的變化;Af表示顆粒流入流出微元引起的ψ的變化;Ac表示微元內(nèi)部顆?；ハ嗯鲎惨鸬摩椎淖兓?。Ai、Af、Ac的表達(dá)式如下所示[16]

(3)

圖1 顆粒二碰撞示意圖

因而,Ac可以表示為如下形式[15]

Ac=-·θ+χ

(4)

(v12·k)f2(r-dk,v1;r,v2;t)dkdv1dv2

(5)

進(jìn)而顆粒的輸運(yùn)方程可以表示為如下形式

(6)

f2(r-dk,v1;v2;t)dkdv1dv2

(7)

1.2 速度分布函數(shù)

當(dāng)顆粒系統(tǒng)內(nèi)部的顆粒充分流化后,顆粒之間的能量耗散以及質(zhì)量輸運(yùn)由顆粒之間的碰撞主導(dǎo)時(shí),認(rèn)為顆粒的速度分布服從麥克斯韋分布[17],滿足如下形式

(8)

(9)

其中

式中:?p為顆粒的填充率。

對(duì)于簡(jiǎn)單剪切流,如庫(kù)特流以及顆粒在斜坡上向下流動(dòng)時(shí),顆粒單位體積的能量耗散功率可表示為[17]

(10)

2 非阻塞性顆粒阻尼的功率耗散模型

對(duì)于填充率不高的顆粒阻尼器,當(dāng)受到的振動(dòng)激勵(lì)加速度較大時(shí),顆粒進(jìn)入類氣態(tài),能量耗散主要由顆粒之間的碰撞產(chǎn)生。在將分子動(dòng)理論應(yīng)用于剪切顆粒流和振動(dòng)顆粒流研究的基礎(chǔ)上,嘗試使用分子動(dòng)理論建立非阻塞性顆粒阻尼在進(jìn)入類氣態(tài)后的功率耗散模型。文獻(xiàn)[12]指出,垂直激勵(lì)下流化的顆粒速度分布滿足麥克斯韋-玻爾茲曼分布,滿足如下關(guān)系式

(11)

依據(jù)分子動(dòng)理論的基本原理,只需要確定廣義溫度Tc,即可確定由顆粒碰撞產(chǎn)生的功率耗散。當(dāng)碰撞為主要的能量耗散機(jī)理時(shí),就可近似認(rèn)為碰撞產(chǎn)生的能量耗散功率即為非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率。

2.1 非阻塞性顆粒阻尼的能量流

當(dāng)給非阻塞性顆粒阻尼施加一個(gè)振動(dòng)激勵(lì)時(shí),由腔壁施加給內(nèi)部顆粒的能量等于顆粒之間的耗散以及顆粒與腔壁之間的耗散[12],即滿足如下關(guān)系式

Pb=Dpp+Dpw

(12)

式中:Pb為腔壁對(duì)顆粒的輸入功率;Dpp為顆粒之間的耗散功率;Dpw為顆粒與腔體之間的耗散功率。

對(duì)于二維非阻塞性顆粒阻尼,當(dāng)顆粒的速度分布滿足式(11),不計(jì)顆粒摩擦?xí)r由碰撞產(chǎn)生的能量耗散滿足如下關(guān)系[13]

Dpp=(π/2)1/2(1-e2)NmgH(Tc/m)1/2

(13)

式中:N為單位長(zhǎng)度上顆粒的數(shù)目;g為重力加速度;H為顆粒的層數(shù)。當(dāng)顆粒為非光滑顆粒時(shí),考慮到顆粒的旋轉(zhuǎn)引起的顆粒之間的能量交換,單次碰撞產(chǎn)生的能量耗散滿足以下關(guān)系[18]

(14)

(15)

所以考慮顆粒的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能后,單位長(zhǎng)度上顆粒碰撞產(chǎn)生的能量耗散功率可以表示為

(16)

顆粒與腔壁側(cè)面碰撞產(chǎn)生的能量損失為

(17)

式中:L為顆粒阻尼器的長(zhǎng)度;Ex/E為顆粒在x方向的動(dòng)能與顆?？倓?dòng)能的比值,一般為小于0.2的常數(shù);h、h0分別為顆粒在穩(wěn)態(tài)和靜止?fàn)顟B(tài)下顆粒等效中心的位置。

由以上分析可以得出,當(dāng)非阻塞性顆粒阻尼的主要能量耗散機(jī)理為顆粒之間以及顆粒與腔壁之間的碰撞產(chǎn)生的能量損失時(shí),單位長(zhǎng)度上的能量耗散功率可以表示為

(18)

2.2 非阻塞性顆粒阻尼廣義溫度的確定

為確定顆粒阻尼的能量耗散功率,需要對(duì)其廣義溫度進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)2.1節(jié)對(duì)非阻塞性顆粒阻尼能量流的分析,非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率等于阻尼器腔壁對(duì)顆粒阻尼輸入的功率。

定義腔壁底面的振動(dòng)速度為U,P(U)為表面速度的概率密度函數(shù),則P(U)dU為壁面速度位于U～dU的概率。腔體表面向顆粒傳遞的功率可以表示為[19]

(19)

當(dāng)腔體的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí),經(jīng)計(jì)算可得

(20)

式中:Umax=Aω為簡(jiǎn)諧振動(dòng)激勵(lì)的振動(dòng)速度幅值。聯(lián)立式(16)、式(17)、式(20),可得

(21)

進(jìn)而得到廣義溫度

(22)

3 非阻塞顆粒阻尼的能量耗散功率及參數(shù)分析

得到非阻塞性顆粒阻尼的廣義溫度后,將式(22)代入式(18),可以得出單位長(zhǎng)度上非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率的表達(dá)式為

(23)

為了研究耗散功率隨顆粒參數(shù)的變化,做出以下近似處理:對(duì)于非阻塞性顆粒阻尼,當(dāng)腔體的尺寸確定,以及腔體內(nèi)顆粒運(yùn)動(dòng)充分發(fā)展時(shí),可以近似認(rèn)為L(zhǎng)、μ以及Ex/E均為常數(shù),因而可以認(rèn)為顆粒阻尼的能量耗散功率僅與顆粒材料的恢復(fù)系數(shù)e、顆粒直徑dp、顆粒的層數(shù)H、顆粒的密度ρ,以及腔體的振動(dòng)速度幅值A(chǔ)ω相關(guān)。

(24)

得到顆粒阻尼的能量耗散規(guī)律如圖2～圖5所示,其中圖2參數(shù)e=0.92,ρ=7 800 kg/m3,A=0.002 m,ω=2π·100 rad/s;圖3參數(shù)e=0.92,ρ=7 800 kg/m3,A=0.002 m,ω=2π·100 rad/s;圖4參數(shù)e=0.92,H=15,A=0.002 m,ω=2π·100 rad/s;圖5參數(shù)e=0.92,H=15,A=0.002 m,ρ=7 800 kg/m3。

圖2 不同顆粒層數(shù)時(shí)能量耗散功率隨顆粒直徑的變化

圖3顯示,隨著顆粒層數(shù)的增加,非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率逐漸增大。當(dāng)非阻塞性顆粒阻尼器的空腔一定時(shí),隨著顆粒層數(shù)的增加,顆粒的填充率增大。因而,由以上模型可以得出,在一定范圍內(nèi)隨著顆粒填充率的增加,非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率逐漸增大,與文獻(xiàn)[10]中的結(jié)論一致。

圖3 不同顆粒直徑時(shí)能量耗散功率隨顆粒層數(shù)的變化

圖4顯示,由于耗散功率與ρ3/4成正比,因而隨著顆粒密度的增加,非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率逐漸增大。這一結(jié)論解釋了使用非阻塞性顆粒阻尼時(shí)選取密度較大的材料具有更好的減振效果這一實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。

圖4 不同顆粒直徑時(shí)能量耗散功率隨顆粒密度的變化

圖5表明,隨著振動(dòng)速度的增加,顆粒阻尼的能量耗散功率逐漸增大。這是由于隨著振動(dòng)速度的增加,顆粒的廣義溫度升高,顆粒的運(yùn)動(dòng)更加劇烈,進(jìn)而導(dǎo)致顆粒之間的碰撞次數(shù)和單次碰撞產(chǎn)生的能量損失增加。這一結(jié)論與結(jié)構(gòu)振動(dòng)強(qiáng)度較大時(shí),非阻塞性顆粒阻尼有更好的減振效果這一實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象一致。

圖5 不同顆粒直徑時(shí)顆粒耗散功率隨振動(dòng)速度的變化

4 結(jié) 論

本文使用動(dòng)理論來(lái)描述非阻塞性顆粒阻尼內(nèi)部顆粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),建立了非阻塞顆粒阻尼能量耗散功率的定量模型,得到了顆粒阻尼的能量耗散功率與顆粒參數(shù)以及振動(dòng)強(qiáng)度的定量關(guān)系。分析結(jié)果表明,非阻塞顆粒阻尼的能量耗散功率隨著顆粒直徑的增大、顆粒層數(shù)的增加、顆粒密度的提高以及外界振動(dòng)強(qiáng)度的增強(qiáng)而逐漸提高。這一結(jié)論與前人的實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果有良好的一致性。

與現(xiàn)有模型相比,本文所提出的基于動(dòng)理論的顆粒阻尼的能量耗散模型,能量耗散功率的大小取決于外界振動(dòng)的強(qiáng)度而不是顆粒的速度梯度,從而具有更大的實(shí)用性。此外,由于本文所建立的模型能夠確定外界振動(dòng)強(qiáng)度及顆粒阻尼參數(shù)與能量耗散功率的定量關(guān)系,因而使得優(yōu)化顆粒阻尼參數(shù)以實(shí)現(xiàn)在最少的顆粒下取得最好的減振效果成為可能。本文的研究結(jié)果對(duì)進(jìn)一步研究顆粒阻尼的能量耗散機(jī)理以及顆粒阻尼的實(shí)際應(yīng)用有一定的指導(dǎo)意義。

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(編輯 杜秀杰)

Application of Kinetic Theory to Quantitative Analysis Model of Non-Obstructive Particle Damping

FANG Jianglong,WANG Xiaopeng,CHEN Tianning,ZHANG Kai

(State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To investigate energy dissipation mechanism of non-obstructive particle damping (NOPD) accurately, the kinetic theory is employed to establish a quantitative analysis model.When the particles of NOPD are uniformly fluidized, the mass transport and energy exchange are dominated by the collisions among the particles.Solving the energy conservation equation of the NOPD, the temperature and the energy dissipation power of NOPD are obtained.The theoretical results show that NOPD energy dissipation power rises with the increasing particle diameter, layer number, material density and vibration amplitude.Compared with the previous analysis models of NOPD, the proposed model does not depend on the velocity gradient of particles, which widens the practical applications, and provides a new way to revealing energy dissipation mechanism of NOPD.

non-obstructive particle damping; kinetic theory; energy dissipation power

2014-08-18。 作者簡(jiǎn)介:方江龍(1990—),男,碩士生;王小鵬(通信作者),男,副教授。 基金項(xiàng)目:長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(IRT1172)。

時(shí)間:2014-10-31

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141031.1642.014.html

10.7652/xjtuxb201504003

TH703.62

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0253-987X(2015)04-0012-06