陳 越，李碩明

(1.中山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，廣東 中山 528404;2.武漢大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，武漢 430072)

1 引言

混沌同步現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)開啟了混沌技術(shù)在通信和信號(hào)處理領(lǐng)域應(yīng)用的大門。相對(duì)于傳統(tǒng)的通信方式，混沌通信具有很多優(yōu)勢(shì)，例如混沌映射可以生成無窮多個(gè)擴(kuò)頻序列、混沌載波具有更高的加密性能等［1］。同時(shí)，混沌通信技術(shù)也面臨諸多挑戰(zhàn)，其中之一是在多徑、畸變和時(shí)變衰落的環(huán)境下實(shí)現(xiàn)多用戶系統(tǒng)所要解決的盲源分離問題［2］?；煦缧盘?hào)所固有的非周期、寬帶頻譜和對(duì)初值極度敏感等特性［3］使得在噪聲環(huán)境下分離混沌信號(hào)極為困難，這無疑限制了混沌技術(shù)在傳感器網(wǎng)絡(luò)、多用戶通信等領(lǐng)域的應(yīng)用。這個(gè)問題已經(jīng)引起了不少研究者的興趣，一些文獻(xiàn)利用各個(gè)源混沌信號(hào)的動(dòng)態(tài)特性，通過卡爾曼濾波［4－5］或者耦合同步［6］等方法重構(gòu)源信號(hào)。這些方法都假設(shè)已知各個(gè)源信號(hào)的動(dòng)態(tài)方程，這顯然限制了其應(yīng)用的靈活性。獨(dú)立成分分析(Independent Component Analysis，ICA)這種傳統(tǒng)的盲源分離方法也被一些研究者用來分離混沌信號(hào)［7－9］。這類方法一般利用信號(hào)的高階統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造能表征分量間相互獨(dú)立性的目標(biāo)函數(shù)，通過梯度算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值時(shí)認(rèn)為各分量間的獨(dú)立性最強(qiáng)，從而在獨(dú)立性假設(shè)下分離出源信號(hào)。然而，從后文中的仿真部分可以看到，這類方法在處理混沌信號(hào)時(shí)精度較低。為了更有效地解決混合混沌信號(hào)的盲源分離問題，本文提出了一種新的盲源分離方法，利用分離信號(hào)的峭度構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，通過對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行預(yù)白化和對(duì)正交分離矩陣的參數(shù)化表示，將混沌信號(hào)的盲源分離轉(zhuǎn)化為一個(gè)無約束優(yōu)化問題，并利用螢火蟲算法(Firefly Algorithm，F(xiàn)A)［10］進(jìn)行求解。

2 問題模型和假設(shè)

假設(shè)由不同混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的源信號(hào)經(jīng)過線性瞬時(shí)混合后產(chǎn)生n個(gè)觀測(cè)信號(hào):

式中，aij為混合系數(shù)，sj(t)為源信號(hào)，xi(t)為觀測(cè)到的混合信號(hào)，vi(t)為觀測(cè)噪聲。式(1)可以寫成向量形式:

式中，A∈Rn×n為元素aij組成的混合矩陣，x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xn(t)］T，s(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sn(t)］T，v(t)=［v1(t)，v2(t)，…，vn(t)］T。盲源分離的問題是:源信號(hào)和混合系數(shù)都未知，僅利用觀測(cè)信號(hào)xi(t)來重建各源信號(hào)sj(t)，j=1，2，…，n。由于幅度和順序的不確定性［11］，盲源分離的目標(biāo)應(yīng)該是求得解混矩陣B，使BA=ΛP，其中Λ 是任意n 階非奇異對(duì)角陣，P 是任意n 階置換矩陣。

本文利用各混沌信號(hào)之間的相互獨(dú)立性來求解解混矩陣，這需要對(duì)盲源分離模型(1)和(2)作下列假設(shè):

(1)混合矩陣A 是非奇異的;

(2)各個(gè)源信號(hào)相互獨(dú)立，顯然，不同混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)相互獨(dú)立;

(3)觀測(cè)噪聲為零均值、互不相關(guān)的高斯噪聲。

3 螢火蟲算法

螢火蟲算法［10］是一種受螢火蟲發(fā)光尋找伙伴的行為啟發(fā)而提出的群智能優(yōu)化算法。這種算法對(duì)螢火蟲的行為作如下假設(shè):

(1)螢火蟲的亮度由目標(biāo)函數(shù)決定;

(2)螢火蟲不區(qū)分性別地相互吸引，其吸引力隨距離衰減;

(3)對(duì)于任意兩只螢火蟲，較暗的那只會(huì)受吸引朝較亮的移動(dòng)，移動(dòng)速度(即每次迭代中移動(dòng)的距離)正比于吸引力。

螢火蟲之間的吸引力定義為

式中，β0為r=0 處的吸引力，γ 為吸收系數(shù)。隨著距離r 的增加螢光逐漸被傳播介質(zhì)吸收，螢火蟲間的吸引力也逐漸減弱。

假設(shè)優(yōu)化問題的維數(shù)為d，螢火蟲的總數(shù)為N，螢火蟲的位置向量x=(x1，x2，…，xd)T代表優(yōu)化問題的一個(gè)可行解，第i 只螢火蟲的亮度Ii由其位置向量xi處的目標(biāo)函數(shù)值f(xi)決定，最大值優(yōu)化時(shí)亮度可以直接取為目標(biāo)函數(shù)值，最小值優(yōu)化時(shí)可以取其相反數(shù)，每次優(yōu)化迭代中，螢火蟲i 受螢火蟲j吸引移動(dòng)的位置更新為

式中，α 為取值于［0，1］之間的常數(shù)步長(zhǎng)因子，β 為式(3)中定義的吸引力，rand 是一個(gè)［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)。螢火蟲算法的具體步驟可以歸納為以下偽代碼:

(1)初始化螢火蟲群xi，i=1，2，…，N;

(2)計(jì)算每只螢火蟲處的目標(biāo)函數(shù)值和亮度;

(3)按亮度對(duì)螢火蟲排序;

(4)循環(huán):

if(Ii＞Ij)按式(4)將螢火蟲i 向螢火蟲j 移動(dòng)，計(jì)算新解處的目標(biāo)函數(shù)值并更新亮度。

按亮度對(duì)螢火蟲排序并記錄當(dāng)前最優(yōu)解。

直到終止條件被滿足;

(5)輸出當(dāng)前最優(yōu)解。

4 混沌信號(hào)的盲源分離

4.1 目標(biāo)函數(shù)的選取

峭度［11］是度量信號(hào)非高斯性的一種有效指標(biāo)。高斯信號(hào)的峭度為零，超高斯信號(hào)和亞高斯信號(hào)的峭度分別為正值和負(fù)值。對(duì)于零均值的混合信號(hào)x(t)，可以通過尋求一個(gè)解混矩陣B，使y(t)=Bx(t)的各個(gè)分量y1(t)，y2(t)，…，yn(t)的峭度都盡可能地接近零，從而實(shí)現(xiàn)源信號(hào)的分離［7］，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)定義為

此時(shí)混沌信號(hào)的盲源分離轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題:

正交約束E(y(t)yT(t))=I 保證了每一路分離信號(hào)yi(t)與其他分離信號(hào)yj(t)，j≠i 的解空間正交。

4.2 正交化

關(guān)于式(6)中對(duì)分離信號(hào)的正交約束，一種方法是通過在每次迭代中對(duì)分離數(shù)據(jù)進(jìn)行白化運(yùn)算［12］來實(shí)現(xiàn);也有文獻(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式中增加一項(xiàng)‖BBT－In‖2，當(dāng)它經(jīng)過優(yōu)化趨近于0 時(shí)分離矩陣B 趨近正交［13］，正交的分離矩陣乘以經(jīng)過預(yù)白化的觀測(cè)信號(hào)所得到的分離信號(hào)y(t)顯然滿足正交約束。然而，由于n 階正交矩陣的自由度僅為n(n－1)/2，以上方法會(huì)增加優(yōu)化問題的復(fù)雜性(維數(shù))。通過Cayley 變換，任一非病態(tài)(行列式等于1)的n 階正交矩陣可以分解為一系列旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積，并用參數(shù)向量θ={θ1，θ2，…，θn(n－1)/2}表示［14］。對(duì)正交矩陣采用這種參數(shù)化表示能減少待優(yōu)化參數(shù)，提高算法的精度和魯棒性。后續(xù)部分對(duì)3 階正交矩陣采用式(7)中的參數(shù)化表示，其中參數(shù)向量θ={θ1，θ2，θ3}，θi∈［0，2π］。

4.3 基于螢火蟲算法的盲源分離方法

利用正交矩陣的參數(shù)化表示，式(6)可以轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題:

將參數(shù)向量θ={θ1，θ2，…，θn(n－1)/2}作為螢火蟲的位置用螢火蟲算法進(jìn)行盲源分離的流程如下:

(1)對(duì)觀測(cè)信號(hào)x(t)去均值;

(2)對(duì)觀測(cè)信號(hào)預(yù)白化得到珘x(t);

(3)用均勻分布于［0，2π］的隨機(jī)向量θ 初始化每只螢火蟲的位置;

(4)用式(7)計(jì)算解混矩陣B，計(jì)算y(t)=B珘x(t);

(5)用螢火蟲算法對(duì)式(8)進(jìn)行優(yōu)化;

(6)終止條件滿足后，獲得當(dāng)前最優(yōu)解向量θopt;

(7)按式(7)計(jì)算最優(yōu)解混矩陣Bopt;

(8)輸出分離信號(hào)y(t)=Bopt(t)。

其中，螢火蟲算法的參數(shù)設(shè)置為螢火蟲數(shù)量N=10，吸收系數(shù)γ=1，步長(zhǎng)因子α=0.02，最大吸引力β0=1，算法的終止條件設(shè)定為迭代100 次。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證算法的有效性，仿真在Matlab2012 軟件中完成。實(shí)驗(yàn)中，混沌映射信號(hào)和混沌流信號(hào)將被分別研究。源信號(hào)按式(1)生成混合信號(hào)，觀測(cè)噪聲取實(shí)踐中最常見的高斯白噪聲，信噪比最低考察到10 dB，對(duì)于更低的信噪比，在盲源分離前應(yīng)首先進(jìn)行去噪處理。在盲分離實(shí)踐中，如果沒有關(guān)于混合矩陣A 的任何先驗(yàn)知識(shí)，則應(yīng)假設(shè)A 的元素是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此，在每次仿真中，混合矩陣A 的各個(gè)元素獨(dú)立地由［－1，1］之間的均勻分布隨機(jī)生成。

分離算法的性能將采用分離指數(shù)［15］和相關(guān)系數(shù)［8］這兩種指標(biāo)進(jìn)行衡量。分離指數(shù)定義為

式中，pij是矩陣P=BWA 第i 行第j 列的元素，W 是觀測(cè)信號(hào)的白化矩陣。很明顯，IA∈［0，1］，并且IA越小分離精度越高。第i 路分離信號(hào)和源信號(hào)間的相關(guān)系數(shù)定義為

式中，N 為觀測(cè)信號(hào)長(zhǎng)度。各路相關(guān)系數(shù)的平均值ζ將用來評(píng)價(jià)分離信號(hào)的質(zhì)量，越接近1，分離精度越高。如無特殊說明，仿真結(jié)果都是在運(yùn)行500 次獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)之后得到的。

5.1 混沌映射信號(hào)的盲源分離實(shí)驗(yàn)

混沌映射源信號(hào)分別由Logistic 映射(式(11))、Chebysev 映射(式(12))和Henon 映射(式(13))生成，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=100，如圖1 所示。

圖1 源信號(hào)波形(混沌映射)Fig.1 Waveform of the source signals(chaotic map)

對(duì)沒有觀測(cè)噪聲和觀測(cè)噪聲信噪比為30 dB的混合信號(hào)用本文方法進(jìn)行分離，分離指數(shù)隨迭代步數(shù)的收斂情況如圖2 所示。沒有觀測(cè)噪聲時(shí)，從隨機(jī)的初始位置出發(fā)，在重復(fù)進(jìn)行的3 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中分離指數(shù)都能在數(shù)十步以內(nèi)收斂到一個(gè)較小的穩(wěn)定值;觀測(cè)噪聲為30 dB時(shí)，通過幾次迭代后分離指數(shù)迅速減小，算法依舊能快速收斂，但在某些實(shí)驗(yàn)中分離指數(shù)會(huì)收斂到偏離理想值較遠(yuǎn)的位置，這表明目標(biāo)函數(shù)的性能表面受噪聲影響而改變，全局極值點(diǎn)有可能偏離最優(yōu)解集。當(dāng)然，這一問題在現(xiàn)有的ICA 方法中也存在［8］。進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在噪聲水平較高時(shí)，對(duì)于同一組混合信號(hào)，如果用本文方法分離出現(xiàn)解的偏離，用其他分離時(shí)也會(huì)出現(xiàn)這一情況，其偏離程度隨噪聲水平的提高而增大。

圖2 分離指數(shù)隨迭代步數(shù)的收斂情況Fig.2 Convergence attribute of the separation index versus iteration steps

人工蜂群(Artificial Bee Colony，ABC)算法［12］和遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)［16］也是解決多元優(yōu)化問題的有效工具。圖3 比較了用它們替代螢火蟲算法來優(yōu)化式(8)的性能差異。通過設(shè)置算法參數(shù)，使得不同的優(yōu)化算法在每次迭代中目標(biāo)函數(shù)都被計(jì)算10 次，從而有相同的計(jì)算復(fù)雜度?？梢钥吹?，采用FA 和采用ABC 優(yōu)化時(shí)有相似的收斂速度，但FA 的精度略高;而使用GA 時(shí)收斂較慢，并且在最大迭代次數(shù)不超過100 次時(shí)分離精度也低得多。

圖3 FA、ABC 和GA 優(yōu)化性能比較Fig.3 Optimization performance comparison among FA，ABC and GA

在不同的觀測(cè)噪聲下，盲分離算法的性能如表1 和表2 所示。參與性能對(duì)比的其他方法有文獻(xiàn)［8］采用的快速獨(dú)立成分分析(FastICA)方法和文獻(xiàn)［12］提出的盲分離方法，這種方法將分離矩陣看作一個(gè)普通矩陣，通過在每次迭代中對(duì)分離數(shù)據(jù)做白化運(yùn)算來保證解的正交，并使用人工蜂群算法求解，記為ABC*。總體來看，隨著噪聲強(qiáng)度的增加，各種算法的分離性能都逐漸下降。其中，F(xiàn)astICA 精度最低，采用FA 優(yōu)化時(shí)本文方法精度最高，將優(yōu)化算法由FA 替換為ABC 時(shí)性能差別不大，但替換為GA 時(shí)分離精度明顯降低。另外，同樣采用ABC 進(jìn)行優(yōu)化，文獻(xiàn)［12］的方法比本文方法(采用ABC 優(yōu)化時(shí))精度低，這表明通過正交矩陣的參數(shù)化表示來降低優(yōu)化問題的維數(shù)，能提高算法的精度和魯棒性。

表1 分離指數(shù)的比較(混沌映射)Table 1 Comparison of separation index(chaotic map)

表2 平均相關(guān)系數(shù)的比較(混沌映射)Table 2 Comparison of mean correlation coefficient(chaotic map)

5.2 混沌流信號(hào)的盲源分離實(shí)驗(yàn)

混沌流源信號(hào)由Rossler 吸引子(式(14))、Lorentz 吸引子(式(15))和Duffing 吸引子(式(16))通過4 階龍格庫塔法積分生成，積分步長(zhǎng)分別為0.05、0.01、0.1，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度取N=1000，如圖4所示。

圖4 源信號(hào)波形(混沌流)Fig.4 Waveform of the source signals(chaotic flow)

處理混沌流信號(hào)時(shí)的盲源分離性能如表3 和表4 所示?？梢钥吹剑疚姆椒ǖ木仍诟鞣N噪聲水平下都是最好的，這進(jìn)一步說明FA 是一個(gè)適合本文方法的優(yōu)化器，當(dāng)然，ABC 的精度也不錯(cuò)，而GA性能略差。各種采用群智能優(yōu)化算法的盲源分離方法性能都優(yōu)于FastICA，在測(cè)試的每個(gè)噪聲等級(jí)下，本文方法重構(gòu)的源信號(hào)的平均相關(guān)系數(shù)比FastICA都高出0.02 左右，分離指數(shù)低0.05 以上，這說明本文方法非常適合于處理混沌流信號(hào)。

表3 分離指數(shù)的比較(混沌流)Table 3 Comparison of separation index(chaotic flow)

表4 平均相關(guān)系數(shù)的比較(混沌流)Table 4 Comparison of mean correlation coefficient(chaotic flow)

6 結(jié)束語

本文提出了一種基于螢火蟲算法的混沌信號(hào)盲源分離方法。該方法利用正交矩陣的參數(shù)化表示將混合混沌信號(hào)的盲源分離轉(zhuǎn)化為一個(gè)無約束優(yōu)化問題，并利用螢火蟲算法進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明，對(duì)于混沌映射信號(hào)和混沌流信號(hào)，該方法的分離精度在每項(xiàng)仿真實(shí)驗(yàn)中都明顯優(yōu)于參與比較的其他盲源分離方法。同時(shí)，快速收斂的特性將使該方法具有很強(qiáng)的應(yīng)用潛力。需要指出的是，對(duì)于某些特定的含有噪聲的混合混沌信號(hào)，目標(biāo)函數(shù)的性能表面會(huì)被噪聲改變，使全局極值點(diǎn)偏離最優(yōu)解集。這制約了包括本文方法在內(nèi)的各種盲源分離方法精度的進(jìn)一步提高，在實(shí)際應(yīng)用中如何判定和處理這一現(xiàn)象尚需進(jìn)一步研究。

［1］馮久超.混沌信號(hào)與信息處理［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2012.FENG Jiuchao.Chaotic signals and information processing［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2012.(in Chinese)

［2］Sung W Y，Jun H L，Heung G R.Chaos communication system using MIMO technique［C］//Proceedings of 2014 International Conference on Advanced Communication Technology.Pyeongchang:IEEE，2014:579－583.

［3］LYU S X，Wang Z S，Hu Z H，et al.Gradient method for blind chaotic signal separation based on proliferation exponent［J］.Chinese Physics B，2014，23(1):142－147.

［4］黃錦旺，馮久超，呂善翔.混沌信號(hào)在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的盲分離［J］.物理學(xué)報(bào)，2014，63(5):050502－1－050502－8.HUANG Jinwang，F(xiàn)ENG Jiuchao，LYU Shanxiang.Blind source separation of chaotic signals in wireless sensor networks［J］.Acta Physics Sinica，2014，63(5):050502－1－050502－8.(in Chinese)

［5］王世元，馮久超.一種新的參數(shù)估計(jì)方法及其在混沌信號(hào)盲源分離中的應(yīng)用［J］.物理學(xué)報(bào)，2012，61(17):170508－1－170508－8.WANG Shiyuan，F(xiàn)ENG Jiuchao.A novel method of estimating parameter and its application to blind separation of chaotic signals［J］.Acta Physics Sinica，2012，61(17):170508－1－170508－8.(in Chinese)

［6］Xie Z B，F(xiàn)eng J C.Blind source separation of continuous time chaotic signals based on fast random search algorithm［J］.IEEE Transactions on Circuits System II，2010，57(6):461－465.

［7］Yang J N，F(xiàn)ang Y.Blind separation of mixing chaotic signals based on ICA using kurtosis［C］//Proceedings of 2012 International Conference on Computer Science and Service System.Nanjing:IEEE，2012:903－905.

［8］Chen H B，F(xiàn)eng J C，F(xiàn)ang Y.Blind extraction of chaotic signals by using the fast independent component analysis algorithm［J］.Chinese Physics Letters，2008，25(2):405－408.

［9］Kuraya M，Uchida A，Sano S，et al.Independent component analysis of mixed chaos in electronic circuits［J］.Electronic Letters，2008，44(2):248－250.

［10］Yang X S.Nature－ inspired metaheuristic algorithms［M］.［S.l.］:Luniver Press，2008:83－96.

［11］Yu X C，Hu D，Xu J D.Blind source separation:theory and applications［M］.Beijing:Wiley，2013.

［12］張銀雪，田學(xué)民，鄧曉剛.基于改進(jìn)人工蜂群算法的盲源分離方法［J］.電子學(xué)報(bào)，2012，40(10):2026－2030.ZHANG Yinxue，TIAN Xuemin，DENG Xiaogang.Blind source separation based on modified artificial bee colony algorithm［J］.Acta Electronica Sinica，2012，40(10):2026－2030.(in Chinese)

［13］Ebrahimzadeh A，Mavaddati S.A novel technique for blind source separation using bees colony algorithm and efficient cost functions［J］.Swarm and Evolutionary Computation，2014，14(2):15－20.

［14］Schaub H，Tsiotras P.Principal rotation representations of proper NxN orthogonal matrices［J］.International Journal of Engineering Science，1995，33(15):2277－2295.

［15］唐波，程水英，張浩.基于多通道陣列處理的二次雷達(dá)混擾信號(hào)分選［J］.電訊技術(shù)，2014，54(5):534－540.TANG Bo，CHENG Shuiying，ZHANG Hao.Separation of garbled secondary surveillance radar signal based on multichannel array processing［J］.Telecommunication Engineering，2014，54(5):534－540.(in Chinese)

［16］楊朝陽，楊霄鵬，李騰，等.基于遺傳算法的OFDM 高精度盲頻偏估計(jì)器［J］.電訊技術(shù)，2014，54(11):1522－1527.YANG Chaoyang，YANG Xiaopeng，LI Teng，et al.High accuracy blind carrier frequency offset estimator based on genetic algorithm for OFDM systems［J］.Telecommunication Engineering，2014，54(11):1522－1527.(in Chinese)