陳少磊，戴 睿，楊俊杰

(1.國網(wǎng)四川省電力公司 信息通信公司，成都 610041;2.上海電力學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，上海 200090)

1 引言

Shannon 信道編碼定理［1］指出，所有低于信道容量C 的信息傳輸速率R 均是可達(dá)的。由此可知，在研究實際通信系統(tǒng)或者設(shè)計具有實用價值的信道編譯碼方案時，為了保證數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽啃?，首先?yīng)確定信道容量。加性白高斯噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN)信道(以下簡稱高斯信道)是一種重要的通信信道模型，常用于模擬恒參信道，如光纖、同軸電纜、衛(wèi)星通信等。許多文獻(xiàn)研究了高斯信道的容量，如文獻(xiàn)［2］對傳統(tǒng)的點對點高斯信道、文獻(xiàn)［3］對多天線高斯認(rèn)知信道、文獻(xiàn)［4］對高斯中繼信道的容量進行了研究，但這些文獻(xiàn)考慮的均是當(dāng)信道輸入符號集為連續(xù)取值時的高斯信道容量。在實際通信系統(tǒng)中，輸入符號往往限制在特定的有限集上取值，且為了充分利用信道傳輸信息的能力，往往需要針對不同信噪比采用不同的調(diào)制方式。因此，研究采用不同調(diào)制方式的具有有限輸入符號集的高斯信道容量，具有非常重要的理論和實際意義。

本文結(jié)合Shannon 信息論的一些方法和結(jié)論，利用互信息與微分熵的相互關(guān)系，推導(dǎo)了不同調(diào)制方式下高斯信道傳輸信息量的理論最大值，并給出了計算信道容量的閉合表達(dá)式。筆者進一步將推導(dǎo)得到的結(jié)果應(yīng)用到一個實際通信場景——電力衛(wèi)星通信中。根據(jù)文獻(xiàn)［5－6］的結(jié)論，衛(wèi)星通信信道可以用高斯信道進行模擬。于是，筆者通過仿真一種新型的、適用于衛(wèi)星通信的信道編譯碼方法——無速率碼(Rateless Code)［7］結(jié)合不同調(diào)制方式進行數(shù)據(jù)傳輸，證明了所得到的信道容量理論極限值能夠為實際的衛(wèi)星通信信道編譯碼起到很好的理論指導(dǎo)作用。

2 連續(xù)信道容量的定義及高斯信道

2.1 連續(xù)信道容量的定義

通信信道編譯碼模型如圖1 所示。本文考慮連續(xù)信道，即時間離散、輸入和輸出取值為連續(xù)的信道，用隨機變量X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，Yn分別表示信道在不同時刻的輸入和輸出。當(dāng)信道輸入序列為x=(x1，x2，…，xn)，輸出序列為y=(y1，y2，…，yn)時，信道容量的定義為

式中，I(X1，X2，…，Xn;Y1，Y2，…，Yn)表示信道輸入和輸出隨機序列之間的互信息。對于平穩(wěn)無記憶連續(xù)信道，信道在不同時刻i(i=1，2，…，n)的輸入彼此獨立，輸入分布p(x)及信道轉(zhuǎn)移概率p(y|x)均與時刻i 無關(guān)，于是有:p(x)=p (x)n，p(y|x)=p(y|x)n。

由式(1)定義可知，平穩(wěn)無記憶連續(xù)信道的容量為

分析式(2)可知，互信息I(X;Y)是p(x)和p(y|x)的函數(shù)。文獻(xiàn)［2］已經(jīng)證明，當(dāng)p(y|x)確定時，存在一個最佳輸入分布p(x)使得I(X;Y)取得最大值，這個最大值就是信道容量。需要說明的是，本文余下部分所討論的信道類型都是平穩(wěn)無記憶的。

圖1 信道編譯碼模型Fig.1 The channel coding model

2.2 高斯信道

高斯信道是一類簡單且非常重要的信道，其噪聲假設(shè)在整個信道帶寬下的功率譜密度為常數(shù)，且幅值符合均值為0、方差為σ2的高斯分布。平穩(wěn)無記憶高斯信道模型如圖2 所示，輸出符號Y 為輸入符號X 和高斯噪聲N 之和:Y=X+N。

圖2 高斯信道模型Fig.2 The Gaussian channel model

由文獻(xiàn)［2］的結(jié)論可知，在輸入功率限制為P的情況下，高斯信道容量為

當(dāng)且僅當(dāng)X～N(0，P)時，即輸入也滿足高斯分布時，方能達(dá)到信道容量。

3 不同調(diào)制方式下高斯信道容量的推導(dǎo)

由2.2 節(jié)的討論可知，高斯信道在輸入符號的取值為連續(xù)且滿足高斯分布時，能達(dá)到信息傳輸?shù)睦碚摌O限值。但在實際的數(shù)字通信系統(tǒng)中，輸入符號一般不可能為滿足高斯分布的連續(xù)隨機變量，而是在有限集上取值。例如，在采用電力衛(wèi)星進行“基建施工現(xiàn)場－后方指揮中心”雙向通信，或是利用電力衛(wèi)星第一時間回傳自然災(zāi)害現(xiàn)場圖像時，往往需要采用信道編碼聯(lián)合高階調(diào)制的方式對數(shù)據(jù)進行傳輸，一方面對傳輸?shù)臄?shù)據(jù)進行差錯控制，另一方面充分利用頻譜資源，從而提高工程建設(shè)效率和應(yīng)急救援保障能力。很明顯，采用不同調(diào)制方式時，信道的輸入符號在有限集上取值且滿足特定的分布，此時的信道容量等于給定輸入符號集合和輸入分布，保證無誤碼情況下信道所能傳送的最大信息量，并不能按照2.2 節(jié)的方法來進行計算。圖3 列出了幾種常用的數(shù)字調(diào)制方式的星座圖，接下來分別討論采用這幾種調(diào)制方式傳輸數(shù)據(jù)時高斯信道容量的計算方法。

圖3 幾種常用的數(shù)字調(diào)制方式的星座圖Fig.3 The constellations of several commonly used digital modulation schemes

3.1 二元輸入高斯信道的容量

在實際數(shù)字通信(如電力衛(wèi)星通信)中，信源信息通常為等概率取值的0、1 比特。當(dāng)采用BPSK 調(diào)制時，如圖3(a)所示，信道的輸入符號集為等概率取值的{+1，－1}，這樣的信道稱為二元輸入(Binary－Input)高斯信道，簡稱BI－AWGN 信道。

定理1:當(dāng)信道輸入符號集為等概率分布，且N～N(0，σ2)時，BI－AWGN 信道的容量為

可以利用式(2)中給出的互信息的定義，直接計算得到BI－AWGN 信道的容量。需要注意的是，計算時輸入符號X 取等概率分布，即p(x=+1)=p(x=－1)=1/2。通過定義直接計算的過程本文不再詳細(xì)敘述。

3.2 其他幾種二維高階調(diào)制方式下高斯信道的容量

圖3(b)～(d)分別列出了QPSK、16QAM 和64QAM 調(diào)制方式的星座圖。這幾種高階調(diào)制方式將信源信息比特映射為二維平面中的一個復(fù)數(shù)點X=Xr+jXi，并將其作為信道的輸入符號。數(shù)據(jù)傳輸時X 的實、虛部分別經(jīng)過I、Q 兩路獨立發(fā)送，信道的輸出符號為Y=Yr+jYi=(Xr+Nr)+j(Xi+Ni)，其中N=Nr+jNi為復(fù)高斯噪聲。需要說明的是，當(dāng)輸入符號的實部取值集合Xr={xr，1，xr，2，…，xr，K}與虛部取值集合Xi={xi，1，xi，2，…，xi，K}完全相同，即xr，k=xi，k(k=1，2，…，K)時，我們稱輸入符號滿足實、虛部取值集合一致。

定理2:當(dāng)信道輸入符號滿足等概率分布且滿足實、虛部取值集合一致，且N～CN(0，2σ2)時，二維高階調(diào)制高斯信道的容量為

由于在二維高階調(diào)制方式下，輸入符號的實、虛部取值集合中元素較多，例如采用64QAM 時，Xr和Xi中各含有8 個元素，如果采用和定理1 相同的證明方法，即利用互信息的定義在輸入分布給定的情況下直接計算信道容量，將會非常繁瑣。因此，在這里我們采用一種更為簡單的方法，即利用互信息與微分熵之間的相互關(guān)系來推導(dǎo)并證明定理2。

證明:復(fù)高斯噪聲N 滿足圓對稱高斯分布CN(0，2σ2)，則其實部Nr和虛部Ni為獨立同分布，滿足均值為0、方差為σ2的高斯隨機變量。由于輸入符號的實、虛部分別經(jīng)I、Q 兩路獨立發(fā)送，而I、Q兩路均為噪聲滿足N(0，σ2)的實AWGN 信道，因此我們所要求解的二維高階調(diào)制高斯信道容量即為這兩個獨立同分布的實AWGN 信道容量之和。又因為輸入符號滿足實、虛部取值集合一致，我們可以進一步得到

式(5)中最后一個等式成立的原因為Xr和Nr相互獨立。由微分熵的定義可知，

而根據(jù)文獻(xiàn)［2］的結(jié)論可知，當(dāng)Nr～N(0，σ2)時，

將式(5)～(7)代入式(4)即可證得定理2。

(1)對于圖3(b)所示的QPSK 調(diào)制方式，每兩個信息比特映射為星座圖中的1 個復(fù)數(shù)點，不妨設(shè)信息比特(S1，S2)映射為X=Xr+jXi。由映射規(guī)則可知，S1、S2分別決定實部Xr和虛部Xi的取值，在這種調(diào)制方式下K=2，Xr=Xi={－1，+1};

(2)對于圖3(c)所示的16QAM 調(diào)制方式，每4個信息比特映射為星座圖中的1 個復(fù)數(shù)點，不妨設(shè)信息比特(S1，S2，S3，S4)映射為信道的輸入符號X=Xr+jXi。由映射規(guī)則可知，S1、S2決定實部Xr的取值，S3、S4決定虛部Xi的取值，在這種調(diào)制方式下K=4，Xr=Xi={－3，－1，+1，+3};

(3)對于圖3(d)所示的64QAM 調(diào)制方式，每6個信息比特映射為星座圖中的1 個復(fù)數(shù)點，不妨設(shè)信息比特(S1，S2，S3，S4，S5，S6)映射為信道的輸入符號X=Xr+jXi。由映射規(guī)則可知，S1、S2、S3決定實部Xr的取值，S4、S5、S6決定虛部Xi的取值，在這種調(diào)制方式下K=8，Xr=Xi={－7，－5，－3，－1，+1，+3，+5，+7}。

采用以上三種二維高階調(diào)制方式時，均可通過將對應(yīng)的K 值和取值集合Xr代入定理2 所給出的閉合表達(dá)式，計算得到相應(yīng)的高斯信道容量。相對于直接利用互信息的定義進行計算，使用我們提出的方法，即利用互信息與微分熵之間的相互關(guān)系來推導(dǎo)二維高階調(diào)制方式下的高斯信道容量要簡便得多。

圖4 給出了BI－ AWGN、QPSK－ AWGN、16QAM－AWGN 和64QAM－AWGN 信道容量隨傳輸信噪比(SNR)變化的曲線。對于BI－AWGN 信道，SNR=10lg(1/σ2)dB;對于另外三種高階調(diào)制方式，SNR=dB，其中xm(m=1，2，…，K2)為調(diào)制映射得到的一個復(fù)數(shù)點。從圖中可以看出，在SNR 較低的情況下，采用BPSK 調(diào)制方式就能有效地利用信道傳輸信息的能力，而隨著SNR 的增大，能逐漸逼近其信道極限容量1 b/symbol;在SNR 較高的情況下，為了充分利用信道傳輸信息的能力，應(yīng)當(dāng)使用高階調(diào)制方式。對于QPSK、16QAM 和64QAM，隨著SNR 的增大，能分別逐漸逼近其各自的信道極限容量2 b/symbol、4 b/symbol 和6 b/symbol。由此可知，在信道條件較好的情況下，應(yīng)該盡可能地選用合適的高階調(diào)制方式來進行數(shù)字通信，以充分利用信道傳輸信息的能力。

圖4 采用不同調(diào)制方式的高斯信道容量曲線Fig.4 The capacity of Gaussian channel withdifferent modulation schemes

4 數(shù)值仿真

在本節(jié)中，我們將以上推導(dǎo)得到的不同調(diào)制方式下高斯信道容量的理論結(jié)果應(yīng)用到一個實際通信場景——電力衛(wèi)星通信中，通過數(shù)值仿真證明其正確性與實用性。根據(jù)文獻(xiàn)［5－6］的結(jié)論，衛(wèi)星通信信道可以用高斯信道進行模擬，我們通過利用信道編碼結(jié)合不同調(diào)制方式傳輸數(shù)據(jù)對衛(wèi)星通信進行了仿真與性能分析。需要說明的是，在仿真中我們采用一種新型的信道編碼方式，即無速率碼［7－8］。與諸如Turbo、LDPC 等傳統(tǒng)的碼率固定的編碼方式不同，無速率碼在發(fā)送端并不設(shè)定固定的編碼速率，而是在對原始數(shù)據(jù)進行編碼后，將源源不斷產(chǎn)生的編碼比特經(jīng)過調(diào)制后送入信道傳輸，而接收端在收到一定數(shù)量的編碼符號后嘗試譯碼，如果譯碼失敗，則再多接收一些編碼符號繼續(xù)嘗試譯碼，直到譯碼成功為止。因此，無速率碼的實際碼率取決于其成功譯碼時接收到的編碼符號數(shù)目，并不在數(shù)據(jù)傳輸前固定，是一種具有自適應(yīng)鏈路速率適配特性的信道編碼方式，已在衛(wèi)星通信傳輸中得到應(yīng)用［9］。

由以上描述可知，使用無速率碼進行數(shù)據(jù)傳輸時，接收端源源不斷地接收編碼符號，并在接收到的編碼符號達(dá)到一定數(shù)量后開始嘗試第一次譯碼，這個啟動譯碼的編碼符號數(shù)目可以由信道容量進行估算。設(shè)編碼前的信源信息比特長度為k，編碼后碼字長度為n，進行調(diào)制時每t 個碼字比特映射成一個編碼符號，由Shannon 信道編碼定理可知，保證信息可靠傳輸?shù)臈l件為＜C，因此可以得到啟動譯碼時碼字長度需滿足

式中，t 是由不同調(diào)制方式所決定的常數(shù)，而信道容量C 則可以通過定理1 或定理2 計算得到。

我們對實際電力衛(wèi)星通信中最常用的兩種調(diào)制方式QPSK 和16QAM 進行了仿真。將電力衛(wèi)星通信信道建模為高斯信道，結(jié)合實際電力衛(wèi)星通信應(yīng)急演練、抗震救災(zāi)通信保障的經(jīng)驗可知，考慮到自由空間損耗、大氣損耗、雨衰等因素，采用QPSK 時衛(wèi)星信道的傳輸信噪比一般設(shè)置為6 dB，而采用16QAM 時衛(wèi)星信道的傳輸信噪比一般設(shè)置為8 dB。仿真時采用了兩種常用的無速率編碼方式:Raptor碼［10］和AR 碼［11］，其中Raptor 碼由一個碼率為0.95的LDPC 碼和一個度數(shù)分布為

的LT 碼級聯(lián)而成，其中參數(shù)μ=0.058 642，D=40;AR 碼則采用校驗節(jié)點度數(shù)分布dc=4 的規(guī)則系統(tǒng)碼。根據(jù)定理2，采用QPSK 調(diào)制方式且傳輸信噪比為6 dB時，可以計算得到此時的信道容量C≈1.82，由式(8)可知，啟動譯碼的碼字長度需滿足n ＞(t/C)k=(2/1.82)k ≈1.1k。同理可計算采用16QAM 調(diào)制方式且傳輸信噪比為8 dB時的信道容量C≈2.76，啟動譯碼的碼字長度需滿足n ＞(t/C)k=(4/2.76)k≈1.45k。

圖5 和圖6 分別給出了使用蒙特卡洛仿真(仿真次數(shù)設(shè)為100 000次)，k 為128、256、512 和1024時，采用QPSK 和16QAM 調(diào)制方式的Raptor 碼和AR 碼的譯碼誤比特率(Bit Error Rate，BER)隨n/k變化的曲線圖。

圖5 采用QPSK 調(diào)制方式的Raptor 碼和AR 碼譯碼誤比特率曲線圖Fig.5 The BER performance comparison between Raptor code and AR code with QPSK modulation

圖6 采用16QAM 調(diào)制方式的Raptor 碼和AR 碼譯碼誤比特率曲線圖Fig.6 The BER performance comparison between Raptor code and AR code with 16QAM modulation

從圖5 可以看到，采用QPSK 調(diào)制方式，無論Raptor 碼還是AR 碼，接收端在碼字長度達(dá)到n=1.15k ＞1.1k 時啟動譯碼，隨著n 的增大，BER 呈“瀑布式”的下降，這符合無速率碼隨著接收端收集到的編碼符號數(shù)目逐漸增多譯碼性能逐漸變好的特性。而k 越大，編碼性能越好，如Raptor 碼，當(dāng)k=128 時需要n=1.9k 方能使BER 降至10－6以下;當(dāng)k=1024 時達(dá)到n=1.5k 就能使BER 降至10－6以下;AR 碼也能得到同樣的結(jié)論，這符合Shannon 信道編碼定理中使用長碼以逼近信道容量的結(jié)論。從圖6 可以看到，采用16QAM 調(diào)制方式，無論Raptor碼還是AR 碼，接收端在碼字長度達(dá)到n=1.5k ＞1.45k 時啟動譯碼，同樣可以觀察到，隨著n 的增大BER 呈“瀑布式”的下降，且隨著信息比特長度k 的增大，編碼性能越好。從仿真結(jié)果可以看到，在進行電力衛(wèi)星通信傳輸時，可以首先根據(jù)所使用的調(diào)制方式及傳輸信噪比計算出相應(yīng)的信道容量，再據(jù)此進一步確定實際編譯碼的譯碼啟動條件及達(dá)到譯碼誤比特率要求的編碼速率，且在硬件條件允許的情況下，應(yīng)盡可能使用較大的信息比特長度k 以獲得更好的譯碼性能。我們的理論結(jié)果確實能為實際衛(wèi)星通信應(yīng)用起到很好的理論指導(dǎo)作用。

5 結(jié)束語

本文研究了采用不同調(diào)制方式、具有有限輸入符號集的高斯信道容量問題。首先從平穩(wěn)無記憶信道容量的定義出發(fā)，計算得到了BI－AWGN 信道的容量;接著提出使用一種更簡單的方法，即利用互信息與微分熵的相互關(guān)系，推導(dǎo)得到了適用于QPSK、16QAM、64QAM 不同調(diào)制方式下高斯信道容量的閉合計算表達(dá)式，并闡明了在不同傳輸信噪比下，應(yīng)采用相應(yīng)的調(diào)制方式以充分利用信道傳輸信息的能力。將理論結(jié)果應(yīng)用到電力衛(wèi)星通信的實際場景，利用無速率信道編碼結(jié)合衛(wèi)星通信常用的兩種不同調(diào)制方式進行了數(shù)值仿真與性能分析。仿真與分析結(jié)果顯示，計算信道容量能對實際編譯碼的譯碼啟動條件、編碼速率的確定起到很好的理論指導(dǎo)，從而證明了理論結(jié)果的正確性與實用性。本文主要考慮的是不同調(diào)制方式下點對點高斯信道容量的計算，在將來的研究中，可以進一步考慮中繼信道、多點接入信道容量等問題。

［1］SHANNON C E.A mathematical theory of communication［J］.The Bell System Technical Journal，1948，27(3):379－423.

［2］LUBBE J C.Information Theory［M］.London:Cambridge University Press，1997.

［3］RINI S，GOLDSMITH A.On the Capacity of the multiantenna Gaussian cognitive interference channel［J］.IEEE Journal on Selected Areas in Communications，2014，32(11):2252－2267.

［4］鄧志祥，王保云，郎非，等.一類高斯臟紙正交中繼信道的容量［J］.南京郵電大學(xué)學(xué)報，2014，34(1):41－46.DENG Zhixiang，WANG Baoyun，LANG Fei，et al.Capacity of a class of Gaussian dirty－paper orthogonal relay channel［J］.Journal of Nanjing University of Posts and Telecommunications，2014，34(1):41－46.(in Chinese)

［5］MASSEY L.Deep space communication and coding［M］.Berling:Springer－ Verlag，1992.

［6］BURSALIOGLU O，CAIRE G，DIVSALAR D.Joint source－channel coding for deep－space image transmission using rateless codes［J］.IEEE Transactions on Communications，2013，61(8):3448－3461.

［7］MACKAY D J C.Fountain codes［J］.IEE Proceedings on Communications，2005，152(6):1062－1068.

［8］于國海，王呈貴，張哲.采用噴泉碼的無線協(xié)同多跳信息累積廣播協(xié)議［J］.電訊技術(shù)，2011，51(3):84－88.YU Guohai，WANG Chenggui，ZHANG Zhe.Cooperative Multi－h(huán)op Broadcast Protocols Using Fountain Codes for Wireless Networks［J］.Telecommunication Engineering，2011，51(3):84－88.(in Chinese)

［9］李暉，姚文頂，張乃通.深空通信中的噴泉編譯碼技術(shù)［J］.電訊技術(shù)，2008，48(4):8－12.LI Hui，YAO Wending，ZHANG Naitong.Fountain Codes in Deep Space Communication［J］.Telecommunication Engineering，2008，48(4):8－12.(in Chinese)

［10］SHOKROLLAHI A.Raptor codes［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(6):2551－2567.

［11］CHEN S L，ZHANG Z Y，ZHU L L，et al.Accumulate rateless codes and their performances over AWGN channel［J］.IET Communications，2013，7(4):372－381.