邢曉辰，蔡遠(yuǎn)文，李 巖，姚靜波

(1.裝備學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，北京 101416;2.裝備學(xué)院 航天裝備系，北京 101416)

1 引言

由于知識(shí)獲取途徑的差異以及系統(tǒng)或傳感器自身測量誤差，導(dǎo)致多源信息之間常常存在冗余和矛盾。Dempster－Shafer 證據(jù)理論(簡稱證據(jù)理論)作為一種能夠有效融合沖突信息的不確定性處理方法，在解決由于知識(shí)的不準(zhǔn)確與不知道所引起的不確定性問題時(shí)，效果比較顯著。隨著證據(jù)理論研究與應(yīng)用的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)基于傳統(tǒng)Dempster 合成規(guī)則對(duì)多源信息進(jìn)行融合，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)明顯有悖于常理的結(jié)論。究其原因，主要是待融合的多源證據(jù)之間存在較大沖突［1］。針對(duì)沖突證據(jù)合成問題的研究，目前所提改進(jìn)方法主要分為兩大類，一類是修改合成規(guī)則法，另一類是修正證據(jù)法［2－3］。修改合成規(guī)則法認(rèn)為反直觀結(jié)果的出現(xiàn)是由于Dempster合成規(guī)則在處理證據(jù)沖突時(shí)采用丟棄式處理方式，修正證據(jù)法認(rèn)為Dempster 合成規(guī)則并無錯(cuò)誤，悖論的發(fā)生源于證據(jù)本身的錯(cuò)誤，在組合之前應(yīng)對(duì)證據(jù)進(jìn)行修改，以使結(jié)論從物理、數(shù)學(xué)、邏輯上更加合理。韓德強(qiáng)［3］指出，Dempster 合成規(guī)則具備交換律、結(jié)合律等良好的數(shù)學(xué)特性，修改合成規(guī)則通常會(huì)破壞這一數(shù)學(xué)特性。針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)健康監(jiān)測問題，部分傳感器故障或者傳輸錯(cuò)誤時(shí)會(huì)使得證據(jù)之間出現(xiàn)強(qiáng)沖突，將其歸咎于合成規(guī)則問題顯然不合常理，修正證據(jù)法更符合應(yīng)用實(shí)際。而絕大多數(shù)證據(jù)修正方法都是基于證據(jù)間沖突大小求得各證據(jù)權(quán)重值，因此準(zhǔn)確衡量證據(jù)沖突是采用修正證據(jù)法合成沖突證據(jù)的首要前提。本文對(duì)當(dāng)前證據(jù)沖突衡量方法進(jìn)行總結(jié)，在批判吸收前人研究成果的基礎(chǔ)上，提出一種綜合修正證據(jù)距離與合取沖突的改進(jìn)沖突衡量因子。通過典型算例進(jìn)行驗(yàn)證，表明所提改進(jìn)衡量因子能夠準(zhǔn)確衡量證據(jù)間沖突。

2 當(dāng)前沖突衡量方法研究歸納

在修正證據(jù)法中，文獻(xiàn)［4］提出將所有證據(jù)中相對(duì)應(yīng)焦元的mass 值進(jìn)行均分，而后基于Dempster規(guī)則對(duì)均分后的證據(jù)合成n－1 次(假設(shè)共有n 個(gè)證據(jù))，此種方法是將各證據(jù)視為等權(quán)重。實(shí)際問題中，由于信息源可靠性不同或者傳感器發(fā)生故障，常導(dǎo)致證據(jù)之間發(fā)生沖突。對(duì)存在沖突的證據(jù)進(jìn)行合成時(shí)，針對(duì)不同證據(jù)應(yīng)賦予不同權(quán)重值，首要前提即準(zhǔn)確衡量證據(jù)間沖突。

2.1 合取沖突k

最經(jīng)典的沖突衡量方法即文獻(xiàn)［5］提出的合取沖突k。k 將待合成證據(jù)間相交為空的焦元的基本概率分配(Basic Probability Assignment，BPA)乘積的和值作為沖突，表征證據(jù)間不同焦元之間的強(qiáng)非包含性［6］。當(dāng)兩焦元相交不為空集又非完全相同，k認(rèn)為此時(shí)焦元間無沖突，顯然不合常理，如例1 所示。因此，k 并非任何時(shí)候均能準(zhǔn)確衡量證據(jù)間沖突。

例1 設(shè)辨識(shí)框架為X={θ1，θ2，θ3，θ4}，兩個(gè)證據(jù)的BPA 分布如下:

(1)情形1:m1(θ1，θ2)=0.8，m1(θ3，θ4)=0.2，m2(θ1，θ3)=0.8，m2(θ2，θ4)=0.2;

(2)情形2:m1(θ1)=0.4，m1(θ2)=0.3，m1(θ3)=0.3，m2(θ1)=0.4，m2(θ2)=0.3，m2(θ3)=0.3，m3(θ1)=0.4，m3(θ2)=0.6。

采用k 對(duì)例1 中證據(jù)間沖突進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如下:情形1 中，兩證據(jù)k 值為0，但兩證據(jù)顯然存在沖突，k 表征不準(zhǔn)確;情形2 中，k12=k13=0.66(kij為第i 個(gè)與第j 個(gè)證據(jù)的合取沖突)，但第2 個(gè)證據(jù)與第3 個(gè)證據(jù)明顯不同，k 表征不準(zhǔn)確。

2.2 Jousselme 距離

Jousselme 距離［7］(記為dBPA)本意用來求解證據(jù)融合后生成的決策與真實(shí)結(jié)果之間的差異度，后來多被研究者用以衡量證據(jù)間沖突［8－10］。但應(yīng)注意，此處的沖突實(shí)質(zhì)是指證據(jù)間的差異性，與合取沖突所表征的證據(jù)間非包含性不完全相同，本文也采用差異性沖突(簡稱沖突)這一概念。通常認(rèn)為dBPA值越大，證據(jù)間沖突越大。

鄧勇［8］、劉準(zhǔn)釓［9］等均采用dBPA計(jì)算證據(jù)間沖突，但文獻(xiàn)［10］指出，dBPA在衡量某種形式的證據(jù)間沖突時(shí)存在不足:針對(duì)兩組完全不相同的非類別證據(jù)，證據(jù)間完全沖突但dBPA不為最大值1。實(shí)際上，證據(jù)BPA 值分散程度越大，兩證據(jù)dBPA越小。宋亞飛［11］在dBPA基礎(chǔ)上提出基于相關(guān)系數(shù)cor 度量證據(jù)沖突，認(rèn)為相關(guān)系數(shù)與證據(jù)間沖突呈反比。cor 描述證據(jù)相似性，由其定義可知其在衡量證據(jù)差異性沖突時(shí)與dBPA相似，此處不再單獨(dú)列出。因此，采用dBPA無法準(zhǔn)確衡量證據(jù)間沖突。

2.3 綜合dBPA與k

文獻(xiàn)［10］指出，k 表征了證據(jù)合成時(shí)不相容焦元(交集為空)融合時(shí)產(chǎn)生的矛盾大小，而dBPA表征了證據(jù)間相容焦元BPA 分布的差異程度，兩者具有一定的互補(bǔ)性。因此，設(shè)計(jì)了二元組＜k，dBPA＞來描述證據(jù)間沖突，但并未給出一個(gè)具體的證據(jù)沖突計(jì)算方法，僅指出當(dāng)二元參數(shù)均取值很大時(shí)，證據(jù)間沖突嚴(yán)重，不適宜采用合取規(guī)則對(duì)證據(jù)進(jìn)行合成。劉準(zhǔn)釓［12］提出采用兩者乘積的幾何均值來衡量證據(jù)間沖突。李博［13］指出，當(dāng)證據(jù)間差異較小時(shí)，基于衡量證據(jù)間沖突相比于(k·d)形式其沖突值增長過快，容易產(chǎn)生誤判。但當(dāng)(k·dBPA)n中的n 取值過大時(shí)，會(huì)使得沖突計(jì)算值對(duì)證據(jù)間實(shí)際沖突程度不敏感，容易產(chǎn)生漏檢。因此，李博選用k·dBPA作為證據(jù)沖突衡量因子。

文獻(xiàn)［12－13］均采用k 與dBPA乘積的形式衡量證據(jù)間沖突，區(qū)別僅在于(k·dBPA)n中n 的取值不同。文獻(xiàn)［13］指出，當(dāng)兩個(gè)證據(jù)間的BPA 值改變時(shí)，k 與dBPA并無直接相關(guān)性。因此，對(duì)兩個(gè)參數(shù)采用乘性規(guī)則時(shí)，當(dāng)某一個(gè)參數(shù)數(shù)值為0，不管另一個(gè)參數(shù)取值多少，依然會(huì)判定兩證據(jù)間無沖突，而事實(shí)上并非全都如此，如例2 所示。

例2 設(shè)辨識(shí)框架為X={θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6}，各個(gè)證據(jù)的BPA 分別為

(1)情形1:m1(θ1，θ2，θ3，θ4)=1，m2(θ4，θ5)=0.8，m2(θ3，θ6)=0.2;

(2)情形2:m1(θ1)=0.99，m1(θ2)=0.01，m2(θ1，θ2)=0.01，m2(θ1，θ2，θ3)=0.99，m3(θ1)=0.9，m3(θ2)=0.1。

采用k、dBPA以及dBPA·k 對(duì)例1 與例2 中多種情形下各證據(jù)間沖突進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表1 所示。

表1 證據(jù)間k、dBPA及dBPA·k 值Table 1 The evidence conflict based on k，dBPAor dBPA·k

對(duì)表1 中計(jì)算結(jié)果進(jìn)行綜合分析，可以得出:

(1)由于具備不確定性的證據(jù)本身即存在自沖突［3］，在例1 的情形1 與情形2 中，證據(jù)m1與m2存在沖突，dBPA·k 將證據(jù)沖突判定為0，判斷錯(cuò)誤;

(2)例2 中情形2，證據(jù)m1與m3均顯著支持θ1，證據(jù)m2顯著支持(θ1，θ2，θ3)，按照常規(guī)分析可以得出證據(jù)m1與m3之間沖突小于m1與m2，但實(shí)際計(jì)算結(jié)果顯示(dBPA·k)1，2值小于(dBPA·k)1，3，與分析相悖。另外，證據(jù)m1、m2之間沖突程度與證據(jù)m2、m3之間沖突顯然并不相同，采用dBPA·k的沖突衡量方式判定兩組證據(jù)在各自組內(nèi)沒有沖突，判斷錯(cuò)誤。

綜上，當(dāng)前證據(jù)沖突衡量方法均不能很好的衡量證據(jù)間沖突，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行改進(jìn)。

3 沖突衡量方法改進(jìn)

3.1 基于修正證據(jù)距離mdBPA的沖突衡量

為克服dBPA對(duì)證據(jù)相似性度量不準(zhǔn)的問題，彭穎［14］提出修正證據(jù)距離mdBPA。若單獨(dú)使用mdBPA衡量證據(jù)沖突，仍然存在判斷錯(cuò)誤的情形，例2 中情形1 可對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證。

例2 情形1 中，證據(jù)m1判斷決策屬于(θ1，θ2，θ3，θ4)中某一個(gè)元素，證據(jù)m2判斷決策80%的可能性屬于(θ4，θ5)中的某一個(gè)元素，兩個(gè)決策的焦元間存在交集θ4，顯然兩證據(jù)并非強(qiáng)烈沖突，而此時(shí)mdBPA值為0.872 9，判斷兩證據(jù)為嚴(yán)重沖突，判斷錯(cuò)誤。

3.2 基于mdBPA·k 的沖突衡量

仿照dBPA·k 的形式，采用mdBPA·k 仍不能準(zhǔn)確衡量證據(jù)間沖突?；趍dBPA、mdBPA·k 對(duì)例1與例2 中各情形證據(jù)間沖突進(jìn)行衡量，結(jié)果如表2所示。

表2 各證據(jù)間mdBPA與mdBPA·k 值Table 2 The evidence conflict based on mdBPAor mdBPA·k

例2 中情形1 可擴(kuò)展為一般形式，如例3 所示。

例3 設(shè)辨識(shí)框架為X={θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6}，兩個(gè)證據(jù)的BPA 分別為

(1)情形1:m1(θ1，θ2，θ3，θ4)=1，m2(θ4，θ5)=a，m2(θ3，θ6)=1－a，a∈［0，1］;

(2)情形2:m1(θ1，θ2，θ3，θ4)=1，m2(θ3，θ4，θ5)=a，m2(θ4，θ5，θ6)=1－a，a∈［0，1］。

例3 情形1 與情形2 中，兩證據(jù)m1和m2的合取沖突k 值均為0，修正證據(jù)距離mdBPA值分別為((a2－a+0.6)/(a2－a+1))1/2和((a2－22a/15 +5/3)/(a2－a+2))1/2。隨著a 值的改變，情形1 與情形2 中mdBPA值分別在［0.856 3，0.894 4］和［0.774 6，0.912 9］范圍內(nèi)變化，如圖1 所示。

圖1 例3 情形1 與情形2 中兩證據(jù)mdBPA值隨a 值變化情況Fig.1 The change of mdBPAfollowing the change of a in Case 1 and Case 2 of Example 3

對(duì)表2 中計(jì)算結(jié)果進(jìn)行綜合分析，可以得出:

(1)例1 中情形1 與情形2，證據(jù)m1和m2間存在沖突，mdBPA·k 衡量證據(jù)沖突為0，判斷錯(cuò)誤;

(2)如例2 中情形2，針對(duì)存在多個(gè)(以3 個(gè)為例)證據(jù)源的情況，若某兩個(gè)不相同證據(jù)與第三個(gè)證據(jù)間所有焦元均分別存在交集，此時(shí)該兩證據(jù)與第三個(gè)證據(jù)沖突因子k 均為0，但該兩證據(jù)與第三個(gè)證據(jù)間沖突并不相等，采用mdBPA·k 值的判斷方法，無法準(zhǔn)確判斷;

(3)例3 中，當(dāng)兩個(gè)證據(jù)中的所有焦元均存在交集時(shí)(交集不為Φ)，兩證據(jù)沖突因子k 始終為0，修正證據(jù)距離mdBPA取值可以在［0，1)范圍內(nèi)有較大變動(dòng)。但此種情況下，證據(jù)間并非一定沒有沖突，mdBPA·k 值在k 的作用下始終為0，判斷證據(jù)間無沖突，判斷錯(cuò)誤。

3.3 基于Mconf 的沖突衡量

蔣雯［15］提出采用dBPA與k 加性方法衡量證據(jù)沖突，但由于dBPA在衡量證據(jù)差異性上存在局限，導(dǎo)致其所提沖突衡量因子同樣存在局限性。綜合3.1節(jié)與3.2 節(jié)分析，結(jié)合前人研究成果，現(xiàn)提出一種改進(jìn)的證據(jù)沖突衡量因子Mconf，其表達(dá)式如公式(1)所示:

由公式(1)可知，Mconf 主要依托于k 與mdBPA，摒棄文獻(xiàn)［12－13］對(duì)mdBPA與k 取乘積的方式，而是將兩者視為等權(quán)重取加權(quán)求和。為了保證Mconf取值在［0，1］之間，需對(duì)其進(jìn)行歸一化，由于k 與mdBPA的取值范圍均為［0，1］，因此分母取2。

基于Mconf 衡量證據(jù)間沖突，具有以下幾個(gè)特性:

(1)Mconf(m1，m2)∈［0，1］;

(2)Mconf(m1，m2)=0，當(dāng)且僅當(dāng)m1=m2且Ai∩Bj≠Φ，i∈［1，n］，j∈［1，n］，其中Ai和Bj分別為m1與m2的焦元;

(3)Mconf(m1，m2)=1，當(dāng)且僅當(dāng)(∪Ai)∩(∪Bj)=Φ，其中Ai和Bj分別為m1與m2的焦元。

實(shí)際應(yīng)用中，基于Mconf 對(duì)證據(jù)進(jìn)行沖突衡量，應(yīng)當(dāng)結(jié)合實(shí)際情況設(shè)定一個(gè)判斷的閾值ε。當(dāng)Mconf 值大于閾值ε 時(shí)，判定證據(jù)間存在強(qiáng)沖突。基于常理與經(jīng)驗(yàn)判斷，本文將閾值ε 大小定為0.7。

采用Mconf 對(duì)例1、例2 多種情形下的各證據(jù)進(jìn)行沖突衡量，結(jié)果見表3。基于Mconf 對(duì)例3 中各情形證據(jù)進(jìn)行沖突衡量，Mconf 值分別在［0.428 2，0.447 2］和［0.387 3，0.456 5］范圍內(nèi)變化，如圖2 所示。

表3 各證據(jù)間(k+mdBPA)/2 值Table 3 The evidence conflict based on (k+mdBPA)/2

圖2 例3 情形1 與情形2 中兩證據(jù)Mconf 值隨a 值變化情況Fig.2 The change of Mconf following the change of a in Case 1 and Case 2 of Example 3

對(duì)表3 中計(jì)算結(jié)果及圖2 進(jìn)行綜合分析，可以得出:

(1)例1 中情形1，兩證據(jù)m1與m2顯然存在沖突，但由于兩證據(jù)中概率較大的結(jié)論間有部分重合，因此證據(jù)間沖突較小，Mconf(m1，m2)=0.357，判斷準(zhǔn)確。例2 情形1 情況與之類似;

(2)例1 中情形2，證據(jù)m1與m2盡管完全一致，但證據(jù)存在自沖突，Mconf(m1，m2)=0.33，判斷準(zhǔn)確。證據(jù)m1與m2主要支持θ1，而證據(jù)m3主要支持θ2，顯然證據(jù)m1與m2之間沖突小于證據(jù)m1與m3。Mconf(m1，m3)=0.558 8，判斷準(zhǔn)確;

(3)例2 中情形2，證據(jù)m1與m2、m1與m3、m2與m3間均存在沖突，Mconf 判斷正確。證據(jù)m1對(duì)θ1具有0.99 的支持度，而證據(jù)m3對(duì)θ1具有0.9 的支持度，即證據(jù)m1對(duì)θ1更肯定。而證據(jù)m2以0.99 的支持度支持(θ1，θ2，θ3)，但不能確定是3 個(gè)焦元中的哪一個(gè)，顯然證據(jù)m1與m2之間的沖突大于證據(jù)m3與m2。Mconf(m1，m2)=0.406 4，Mconf(m3，m2)=0.357，判斷準(zhǔn)確;

(4)例3 中情形1，不論a 值如何改變，證據(jù)m1所支持的焦元與m2所支持的焦元總有交集，因此沖突較小。由于證據(jù)m2中兩個(gè)焦元與m1中唯一焦元均存在交集且相交元素個(gè)數(shù)均為1，所以Mconf 值以a=0.5 為軸中心對(duì)稱分布，當(dāng)且僅當(dāng)a=0.5 時(shí)，兩證據(jù)具有最小沖突，沖突值為0.428 2;

(5)例3 中，情形2 與情形1 相似，不論a 值如何改變，證據(jù)m1所支持的焦元與m2所支持的焦元總有交集，因此沖突較小。但由于證據(jù)m2中第一個(gè)焦元與證據(jù)m1中唯一焦元相交元素個(gè)數(shù)為2，第二個(gè)焦元與m1中唯一焦元相交元素個(gè)數(shù)為1，因此兩證據(jù)Mconf 值隨著a 值的增大單調(diào)遞減，當(dāng)且僅當(dāng)a 值為1 時(shí)取得最小值0.387 3。兩種情形中，Mconf值均能準(zhǔn)確衡量證據(jù)間沖突。

另外，為驗(yàn)證Mconf 在衡量證據(jù)沖突時(shí)的普適性，對(duì)文獻(xiàn)［11］中的典型算例進(jìn)行分析，如例4。

例4 設(shè)辨識(shí)框架為X={θ1，θ2，…，θ20}，兩個(gè)證據(jù)的BPA 分別為

式中，A 的變換規(guī)律為 { θ1}，{θ1，θ2}，{θ1，θ2，θ3}，…，{θ1，θ2，…，θ20}。

當(dāng)A 不斷改變時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩證據(jù)間Mconf 值如表4 所示，Mconf 值的變化曲線如圖3 所示。對(duì)例4中兩證據(jù)進(jìn)行分析，顯然當(dāng)A 中元素與證據(jù)m2中相同時(shí)，兩證據(jù)間沖突最小。其余情況下，隨著A 中元素與證據(jù)m2中差異性的增大，證據(jù)間沖突也越來越大。由圖4 可以看出，Mconf 能夠準(zhǔn)確衡量證據(jù)間沖突。

表4 證據(jù)m1中A 不斷改變時(shí)對(duì)應(yīng)的兩證據(jù)Mconf 值Table 4 The change of Mconf following the change of A in evidence m1

圖3 A 中元素改變時(shí)Mconf 值變化曲線Fig.3 The change of Mconf following the change of A

綜合例1、例2、例3 及例4 可以得出，改進(jìn)的沖突衡量因子Mconf 能夠準(zhǔn)確衡量證據(jù)間沖突。

4 結(jié)論

本文對(duì)證據(jù)理論中基于合取沖突k、Jousselme距離dBPA以及兩者綜合的證據(jù)沖突衡量方法進(jìn)行詳細(xì)研究與分析，指出上述幾種方法在衡量證據(jù)間沖突時(shí)存在的問題;基于前人研究成果，提出了基于修正證據(jù)距離mdBPA、基于mdBPA·k 以及基于Mconf的沖突衡量方法;采用具有普適性的一般算例與典型算例，對(duì)提出的3 種證據(jù)沖突衡量改進(jìn)方法進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明mdBPA與mdBPA·k 在衡量證據(jù)沖突時(shí)同樣存在局限性，基于Mconf 能夠準(zhǔn)確衡量證據(jù)沖突。

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