楊 云，周 誠(chéng)，王 崴，2，彭勃宇

（1.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安710051；2.西安交通大學(xué) 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710049）

0 引 言

出于訓(xùn)練吊機(jī)操作手的需要，研發(fā)出基于虛擬現(xiàn)實(shí)的吊機(jī)訓(xùn)練系統(tǒng)。為校驗(yàn)路徑合理性、避免吊機(jī)振動(dòng)、延長(zhǎng)關(guān)節(jié)使用壽命，設(shè)計(jì)出吊機(jī)吊裝過(guò)程中最優(yōu)路徑，以便作為參考，加速操作手熟練掌握吊機(jī)操作要領(lǐng)。吊機(jī)吊裝路徑的優(yōu)化問(wèn)題，本質(zhì)上屬于機(jī)械臂軌跡優(yōu)化問(wèn)題。

針對(duì)軌跡規(guī)劃，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多獨(dú)到的見(jiàn)解。文獻(xiàn) ［1－3］考慮時(shí)間、能量等單一方面因素，忽略其它因素影響，在特定環(huán)境下具有優(yōu)勢(shì)，但是針對(duì)吊機(jī)工作環(huán)境產(chǎn)生的軌跡不能令人滿意；文獻(xiàn) ［4，5］分別以時(shí)間、脈動(dòng)和時(shí)間、能量最優(yōu)結(jié)合作為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)機(jī)械手關(guān)節(jié)進(jìn)行軌跡規(guī)劃，所求結(jié)果較單目標(biāo)優(yōu)化相比有所提升；文獻(xiàn)［6］運(yùn)用7次B樣條曲線確保了關(guān)節(jié)啟、止時(shí)刻速度、加速度、脈動(dòng)可設(shè)定，但是高階樣條曲線的運(yùn)用導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，求解困難；文獻(xiàn) ［4－6］處理約束化問(wèn)題采用加權(quán)系數(shù)將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題，這種方法若權(quán)重分配不合理，將會(huì)影響求解結(jié)果，同時(shí)無(wú)法獲得多組可行解，不能保證所得解為全局最優(yōu)解；文獻(xiàn) ［7］提出了采用改進(jìn)非支配排序遺傳算法對(duì)機(jī)械手軌跡進(jìn)行優(yōu)化，有效地實(shí)現(xiàn)了多目標(biāo)尋優(yōu)，得到了理想的Pareto分布，但算法效率還有提升空間；文獻(xiàn) ［8］提出了利用層次分析法 （AHP）的優(yōu)化算法，該方法首先通過(guò)最優(yōu)時(shí)間軌跡規(guī)劃得到最優(yōu)時(shí)間，然后在最小時(shí)間內(nèi)進(jìn)行最優(yōu)沖擊規(guī)劃，這種方法有一定可行性，但是算法求解范圍有限，易陷入局部最優(yōu)導(dǎo)致中斷現(xiàn)象。

本文充分考慮吊機(jī)工作環(huán)境中時(shí)間、能量、沖擊等因素，采用5次非均勻B 樣條曲線在關(guān)節(jié)空間插值保證軌跡平滑，提高軌跡平穩(wěn)性，改善沖擊，減小振動(dòng)。對(duì)于約束化問(wèn)題使用基于改進(jìn)帶精英策略的遺傳算法 （SUMTNSGA－II）進(jìn)行求解，從而規(guī)劃出滿足各約束條件的最優(yōu)軌跡，得到多組Pareto解，從中選取全局最優(yōu)解。

1 吊臂模型建立

吊機(jī)吊臂三維模型結(jié)構(gòu)如圖1 所示，它由基柱底座、大臂回轉(zhuǎn)軸、小臂回轉(zhuǎn)軸、伸縮臂、吊具擺動(dòng)軸和末端抓手構(gòu)成，具有6個(gè)自由度。D－H 坐標(biāo)系如圖2所示。

圖1 吊機(jī)三維模型

圖2 吊臂D－H 坐標(biāo)系

吊機(jī)工作時(shí)基柱底座可自由旋轉(zhuǎn)，大臂回轉(zhuǎn)軸帶動(dòng)小臂回轉(zhuǎn)軸完成俯仰聯(lián)動(dòng)，伸縮臂只能進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)，吊具末端抓手在回轉(zhuǎn)軸和吊具擺動(dòng)軸作用下完成旋轉(zhuǎn)和俯仰用以抓取集裝箱。

2 最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題描述

2.1 五次非均勻B樣條曲線軌跡規(guī)劃

由于吊機(jī)不需要設(shè)定啟停時(shí)刻各參數(shù)，故采用5次非均勻B樣條曲線在關(guān)節(jié)空間插值保證軌跡平滑，由非均勻B樣條曲線通式求解n＋1個(gè)5次非均勻B樣條曲線方程

式中：ti（u）、θi（u）——i段曲線的橫、縱坐標(biāo)。且B樣條曲線基函數(shù)系數(shù)陣N5、控制頂點(diǎn)陣Dj，i分別為

由德布爾遞推公式得到B 樣條曲線的一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)為

同理，關(guān)節(jié)第i段曲線的速度、加速度和脈動(dòng)函數(shù)

為了保證軌跡經(jīng)過(guò)特定的位置點(diǎn)，首先反求B 樣條插值軌跡曲線的控制頂點(diǎn)。聯(lián)立方程 （1）～方程 （3），可求解插值曲線的控制頂點(diǎn)，方程描述為

式中：Aj——系數(shù)陣，dj、pj滿足方程

再由式 （4）反解出關(guān)節(jié)控制頂點(diǎn)

2.2 目標(biāo)函數(shù)與約束條件

為提高吊臂作業(yè)效率、降低能耗、保護(hù)吊臂關(guān)節(jié)、減少關(guān)節(jié)振動(dòng)、延長(zhǎng)吊臂使用壽命。預(yù)設(shè)期望目標(biāo)吊臂工作時(shí)間最短、能耗最少、軌跡平滑性最好。目標(biāo)函數(shù)定義如下

式中：J1——吊臂時(shí)間目標(biāo)函數(shù)，為吊臂工作時(shí)間；J2——吊臂能量消耗目標(biāo)函數(shù)，τ——吊臂控制力矩；J3——關(guān)節(jié)沖擊［9］，Pj（t）——關(guān)節(jié)j在時(shí)刻t經(jīng)過(guò)位置pi的連續(xù)關(guān)節(jié)軌跡。

與關(guān)節(jié)m 的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn)約束滿足

聯(lián)立式 （6）～式 （7）可以得到非線性約束的標(biāo)準(zhǔn)形式為

3 SUMTNSGA－II算法描述

3.1 SUMTNSGA－II算法

文獻(xiàn) ［10］提出的基因環(huán)境雙演化免疫克隆算法采用了約束處理策略，在優(yōu)化過(guò)程中使用約束處理策略對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修正，弱化了由于約束限制而產(chǎn)生的可行解集的限制。其懲罰函數(shù)寫(xiě)為

式中：rg——懲罰系數(shù)，（x）——懲罰項(xiàng)。這種定義懲罰函數(shù)的方法存在不足之處。首先懲罰系數(shù)以及懲罰項(xiàng)形式的選取易受人為影響，如選取不適將影響尋優(yōu)過(guò)程，嚴(yán)重時(shí)將會(huì)漏掉某些非支配解集。其次，對(duì)于多目標(biāo)問(wèn)題，由于目標(biāo)輕重不同，每個(gè)目標(biāo)的懲罰項(xiàng)不都相同，常規(guī)懲罰函數(shù)無(wú)法面面俱到。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文采用基于修正帶精英策略的遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，在優(yōu)化過(guò)程中首先使用懲罰函數(shù)法 （SUMT）［11］對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修正，并從修正后的目標(biāo)函數(shù)值中選取一定解集作為父代，進(jìn)行進(jìn)化。同時(shí)，利用精英存儲(chǔ)策略預(yù)存一個(gè)精英種群，儲(chǔ)存雜交變異中非支配可行解。最后對(duì)群體進(jìn)行迭代操作，迭代過(guò)程一般包括3個(gè)主要步驟：選擇操作 （select operation）、雜交操作（crossover operation）、變異操作 （mutation operation），以便保持解集活性。此法優(yōu)點(diǎn)為：首先在解集選擇中，既保留了可行解，又保留了在約束之外，但偏離目標(biāo)函數(shù)值較小的非可行解；其次，針對(duì)不同層次目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)不同的懲罰代價(jià)，有效地改善解集的多樣性、均勻性。

3.1.1 計(jì)算懲罰函數(shù)

改進(jìn)后目標(biāo)函數(shù)為

式中：f（x）——原目標(biāo)函數(shù)，ri（x）——個(gè)體x 的第i 維目標(biāo)函數(shù)距離值，rg——加權(quán)因子，Ωi（x）——個(gè)體x 的第i維懲罰項(xiàng)，fi（x）——個(gè)體x 修正后第i 個(gè)目標(biāo)函數(shù)。具體計(jì)算過(guò)程為

（1）距離項(xiàng)計(jì)算

式中：C（x）——目標(biāo)函數(shù)約束偏離值，α——可行解在種群中所占比例，f ～i（x）——目標(biāo)函數(shù)歸一化值，參數(shù)計(jì)算過(guò)程為

式中：fmini、fmaxi——目標(biāo)函數(shù)i的最小值和最大值，g（x）——約束。

（2）懲罰項(xiàng)計(jì)算

式中：C′（x）——約束偏離度修正值，表示為

聯(lián)立式 （10）～式 （13），當(dāng)α為零時(shí)，即種群中無(wú)可行解，由式 （12）可知Ω（x）為0，此時(shí)僅依靠r（x）對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，即種群中非可行解所占比例較高，則罰函數(shù)Ω（x）對(duì)于約束懲罰較重，有利于解集進(jìn)化；當(dāng)α＞0.5 時(shí)，即種群中可行解所占比例較大，則r（x）對(duì)目標(biāo)函數(shù)懲罰較重，有利于個(gè)體向最優(yōu)解進(jìn)化。

3.1.2 選擇操作

（1）可行非支配解選?。菏紫冗x取子代種群中可行解集，然后將父代非支配解集中的可行非支配解復(fù)制到子代可行解集中。根據(jù)每個(gè)個(gè)體目標(biāo)函數(shù)值在可行解集內(nèi)選取可行非支配解集。

（2）罰函數(shù)非支配解選?。号c可行非支配解集選取相似，只是將目標(biāo)函數(shù)變?yōu)樾拚竽繕?biāo)函數(shù)—罰函數(shù)。

（3）復(fù)制非支配解集：復(fù)制非支配解集是保持種群多樣性的重要環(huán)節(jié)，計(jì)算方式為將父代非支配解集進(jìn)行n 次復(fù)制。此法與NSGA－II相比，有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）略去了群體中非支配排序和擁擠度計(jì)算，降低計(jì)算復(fù)雜度。

2）由于對(duì)可行非支配解集的復(fù)制會(huì)導(dǎo)致解集規(guī)模大幅度擴(kuò)大，加重選擇操作負(fù)擔(dān)。于是僅對(duì)非支配解集進(jìn)行n倍復(fù)制操作，這樣減少選擇耗時(shí)，加快算法求解效率。

3.2 算法描述

步驟1 初始化種群，設(shè)置進(jìn)化代數(shù)計(jì)數(shù)器G＝0；采用全局隨機(jī)取樣機(jī)制產(chǎn)生各子群體的第一代初始種群，規(guī)模為n；

步驟2 計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值、約束偏離度值；

步驟3 計(jì)算修正后目標(biāo)函數(shù)值；

步驟4 選取可行非支配解集；

步驟5 選取非可行解集；

步驟6 交叉、變異；

步驟7 判斷是否為第一代種群，如果是執(zhí)行步驟8，如果不是跳轉(zhuǎn)步驟4；

步驟8 父、子代解集合并；

步驟9 復(fù)制非支配解集；

步驟10 判斷是否為新一代種群，如果是執(zhí)行步驟11，如果不是跳轉(zhuǎn)步驟9；

步驟11 選擇、雜交、變異；

步驟12 判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，如果是，輸出結(jié)果，如否，迭代次數(shù)加1，跳轉(zhuǎn)步驟10。

4 仿真結(jié)果

SUMTNSGA－II算法參數(shù)包括：種群總大小N ＝300，交叉概率為0.9，交叉分布指數(shù)為15，變異概率為0.1，變異分布指數(shù)為20，最大的可行非支配解集大小為150，修正的非支配解集大小為150。

吊機(jī)工作時(shí)各關(guān)節(jié)速度、加速度、二次加速度、力矩約束見(jiàn)表1。

表1 各關(guān)節(jié)約束

由表2可以得知，SUMTNSGA－II算法在一次運(yùn)行中能夠得到多組Pareto解，充分驗(yàn)證了該算法的多樣性、均勻性及較快的收斂速度。為獲得相對(duì)最滿意的解，考慮到吊臂模型目標(biāo)函數(shù)重要程度，以時(shí)間重要性最高，能耗次之，關(guān)節(jié)沖擊最低，選取序號(hào)9作為本次實(shí)驗(yàn)最滿意解。

對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，解集多樣性較文獻(xiàn) ［3－5］明顯提高，能夠得到任意權(quán)值下多組有效解集。同序列二次規(guī)劃 （SQP）［6］相比最優(yōu)時(shí)間優(yōu)勢(shì)不明顯，但是耗能更少，沖擊更小，更有利于保護(hù)關(guān)節(jié)，避免損傷；與INSGA－II算法［7］最優(yōu)時(shí)間減少3.0334s；與層次分析法 （AHP）［8］相比時(shí)間、能量?jī)?yōu)化不明顯，但關(guān)節(jié)沖擊明顯減少。

表2 吊臂多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

圖3為序號(hào)9條件下各個(gè)關(guān)節(jié)速度、加速度、二次加速度優(yōu)化結(jié)果。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用五次B樣條曲線對(duì)吊機(jī)工作運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃，改善吊臂速度、加速度、二次加速度，使運(yùn)動(dòng)更加平緩。綜合考慮運(yùn)動(dòng)過(guò)程中時(shí)間、能量和沖擊等因素，針對(duì)約束化問(wèn)題采用一種改進(jìn)的SUMTNSGA－II算法求解，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性，能夠得到多組Pareto分布，求得最優(yōu)解。

下一步研究工作是將提出的最優(yōu)軌跡應(yīng)用于虛擬吊機(jī)訓(xùn)練系統(tǒng)，將最優(yōu)路徑作為參考標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)操作員吊裝路徑，加速操作員訓(xùn)練過(guò)程。

［1］WANG Panfeng，MEI Jiangping，HUANG Tian.Time optimal path planning of a 2－D of high－speed parallel robot ［J］.Journal of Tianjin University，2007，40 （10）：1139－1145 （in Chinese）.［王攀峰，梅江平，黃田.高速并聯(lián)機(jī)械手抓放操作時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃 ［J］.天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，40 （10）：1139－1145.］

［2］LI Dongjie，QIU Jiangyan，YOU Bo.Optimal algorithm for trajectory planning of the robot ［J］.Electric Machines and Control，2009，13 （1）：123－127 （in Chinese）.［李東潔，邱江艷，尤波.一種機(jī)器人軌跡規(guī)劃的優(yōu)化算法 ［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2009，13 （1）：123－127.］

圖3 最優(yōu)軌跡仿真

［3］Pérez Bailón W，Barrera Cardiel E，Juárez Campos I.Mechanical energy optimization in trajectory planning for six DOF robot manipulators based on eighth－degree polynomial functions and a genetic algorithm ［C］／／7th International Conference on Electrical Engineering，Computing Science and Automatic Control，2010：8－10.

［4］Liu Huashan，Lai Xiaobo，Wu Wenxiang.Time－optimal and jerk－continuous trajectory planning for robot manipulators with kinematic constraints ［J］.Robotics and Computer－Integrated Manufacturing，2013，29 （2）：309－317.

［5］Gasparetto A，Zanotto V.Optimal trajectory planning for industrial robots［J］.Advances in Engineering Software，2010，41 （4）：548－556.

［6］ZHU Shiqiang，LIU Songguo，WANG Xuanyin，et al.Timeoptimal and jerk－continuous trajectory planning algorithm for manipulators［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010，46 （3）：47－52 （in Chinese）.［朱世強(qiáng)，劉松國(guó)，王宣銀，等.機(jī)械手時(shí)間最優(yōu)脈動(dòng)連續(xù)軌跡規(guī)劃算法 ［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46 （3）：47－52.］

［7］WANG Huifang，ZHU Shiqiang，WU Wenxiang.INSGA－Ⅱbased multi－objective trajectory planning for manipulators ［J］.Journal of Zhejiang University （Engineering Science），2012，46 （4）：622－628 （in Chinese）. ［王會(huì)方，朱世強(qiáng)，吳文祥.基于INSGA－Ⅱ算法的機(jī)械手多目標(biāo)軌跡規(guī)劃 ［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào) （工學(xué)版），2012，46 （4）：622－628.］

［8］YU Yang，LIN Ming，LIN Yongcai.Optimal trajectory planning for industry robot based on hybrid genetic algorithm ［J］.Computer Engineering and Design，2012，33 （4）：1574－1580 （in Chinese）.［余陽(yáng)，林明，林永才.基于混合遺傳算法的工業(yè)機(jī)器人最優(yōu)軌跡規(guī)劃［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2012，33 （4）：1574－1580.］

［9］CAO Zhongyi，WANG He，WU Wanrong，et al.Time－jerk optimal trajectory planning of shotcrete manipulators［J］.Jour－nal of Central South University （Science and Technology），2013，44 （1）：114－121 （in Chinese）. ［曹中一，王鶴，吳萬(wàn)榮，等.噴漿機(jī)械手時(shí)間最優(yōu)與脈動(dòng)最優(yōu)軌跡規(guī)劃 ［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版），2013，44 （1）：114－121.］

［10］XU Haili，XIE Xiangrong，ZHUANG Jian，et al.Global time－energy optimal planning of industrial robot trajectories［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010，46 （9）：19－25 （in Chinese）.［徐海黎，解祥榮，莊健，等.工業(yè)機(jī)器人的最優(yōu)時(shí)間與最優(yōu)能量軌跡規(guī)劃 ［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46 （9）：19－25.］

［11］BAO Jianghong.Solution multiple－choice knapsack problem using penalty function method implemented by genetic algorithm ［J］.Computer Engineering and Design，2008，29（17）：4518－4524 （in Chinese）. ［鮑江宏.用遺傳算法實(shí)現(xiàn)罰函數(shù)法解多選擇背包問(wèn)題 ［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2008，29 （17）：4518－4524.］