史崇升，安慧慧，湯全武，張忠旺

（1.中國(guó)電信股份有限公司寧夏分公司，寧夏 銀川750002；2.中國(guó)人壽保險(xiǎn)股份有限公司寧夏分公司，寧夏 銀川750002；3.寧夏大學(xué) 物理電氣信息學(xué)院，寧夏 銀川750021）

0 引 言

彩色圖像平滑濾波技術(shù)［1］主要可分為標(biāo)量濾波法和矢量濾波法，標(biāo)量濾波法在彩色圖像的每個(gè)通道上獨(dú)立地進(jìn)行濾波，而矢量濾波法把彩色圖像每個(gè)像素作為一個(gè)矢量［2］。在標(biāo)量濾波法方面，楊文兵等［3］基于HSI彩色空間對(duì)圖像進(jìn)行平滑，能夠有效消除圖像噪聲影響；張闖等［4］針對(duì)彩色圖像雙邊濾波去噪方法存在的不足，提出一種邊緣檢測(cè)與雙邊濾波相結(jié)合的彩色圖像去噪方法。在矢量濾波法方面，李雪威等［5］通過(guò)確定初始高斯模板和高斯權(quán)值矩陣，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的平滑；王晏等［6］根據(jù)圖像的顏色信息分布定義權(quán)重函數(shù)，求取自適應(yīng)空域帶寬，結(jié)合圖像顏色信息、評(píng)價(jià)圖像質(zhì)量的頻域結(jié)構(gòu)相似度，并且通過(guò)最小化局部方差和最大化圖像頻域結(jié)構(gòu)相似度確定了值域帶寬，采用Mean Shift算法克服了圖像過(guò)平滑問(wèn)題，取得了較好的結(jié)果；鄧廷權(quán)等［7］提出一種彩色圖像自適應(yīng)中心加權(quán)的矢量中值濾波方法，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法能有效去除彩色圖像的椒鹽噪聲；馬義德等［8］對(duì)污染嚴(yán)重的圖像，提出了自適應(yīng)彩色圖像SCM 去噪方法，結(jié)果表明去噪后的主觀視覺和客觀評(píng)價(jià)明顯有所改善；陳北京等［9］為了整體處理彩色圖像，提出了一種基于四元數(shù)的去除泊松噪聲的加權(quán)平均濾波器。

在上述彩色圖像平滑濾波方法中，主要涉及對(duì)彩色圖像的平滑或去噪，研究對(duì)象為被噪聲處理的彩色圖像，而本文提出的結(jié)合KL 變換與遞推最小二乘法RLS的平滑濾波算法是對(duì)模糊且添加噪聲的RGB 彩色圖像進(jìn)行平滑濾波。該算法利用離散KL變換將模糊加噪的RGB彩色圖像轉(zhuǎn)至新的彩色空間，并對(duì)各分量利用RLS平滑濾波，再將去噪的分量圖像合成并進(jìn)行離散KL 逆變換，得到平滑濾波圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法具有較好的抑制高斯噪聲和椒鹽噪聲的效果，能夠提高模糊圖像的質(zhì)量。

1 基于KL變換和RLS的彩色圖像平滑濾波

1.1 彩色圖像的KL變換

一幅彩色圖像就是彩色像素M×N×3的數(shù)組，其中每一個(gè)彩色像素點(diǎn)都是在特定空間位置的彩色圖像相對(duì)應(yīng)的3個(gè)分量，可以看成是一個(gè)由3幅灰度圖像形成的 “堆”，即R、G、B這3幅灰度圖像［10］。令向量X 表示該彩色圖像，則X 的表達(dá)式為

X 向量的協(xié)方差矩陣定義為

式中：E——求期望；T——求轉(zhuǎn)置；mf——平均向量，mf的定義式為

將式 （3）代入式 （2）可知Cf是一個(gè)3×3的實(shí)對(duì)稱矩陣，故可找到它的一組3個(gè)正交特征值。令λi（i＝1，2，3）是按遞減順序排列的協(xié)方差矩陣的特征值；ei（i＝1，2，3）是協(xié)方差矩陣的特征向量。則定義KL變換矩陣T 為

KL變換的表達(dá)式為

式中：X－mf——原始圖像向量X 減去平均值向量mf，稱為中心化圖像向量。此式表明，變換后的圖像向量Y 等于中心化圖像向量X－mf與變換矩陣T 相乘。變換后的圖像向量Y 的均值向量my＝0，則向量Y 的協(xié)方差矩陣Cy＝TCfTT，可證明協(xié)方差矩陣Cy是對(duì)角型矩陣，其對(duì)角線上的元素等于Cf的特征值λi（i＝1，2，3），即

Cy非對(duì)角線上的元素為0，說(shuō)明變換后向量Y 的像素是不相關(guān)的。將RGB圖像利用KL 變換后，原彩色圖像X 將轉(zhuǎn)化為圖像Y ，向量Y 3個(gè)分量 （J、K、L），即RGB彩色空間轉(zhuǎn)為JKL 彩色空間。向量Y 的表達(dá)式為

KL逆變換的表達(dá)式為

1.2 自適應(yīng)RLS濾波算法

遞推最小二乘法 （recursive of least square，RLS）是FIR 維納濾波器的一種時(shí)間遞歸算法。RLS 的基本思想：新的估計(jì)值在老的估計(jì)值基礎(chǔ)上修正而成的［11］。

根據(jù)參考文獻(xiàn) ［12］，設(shè)θ為一向量，且θ僅與當(dāng)前觀測(cè)值有關(guān)，則新的估計(jì)值＝老的估計(jì)值＋修正項(xiàng)，推導(dǎo)可得最小二乘遞推算法的形式為

遞推最小二乘的另一種形式為

式中：p（k）、q（k）——定義的中間變量；z（k）——k 時(shí)刻期望信號(hào)；a（k）——k時(shí)刻輸入信號(hào)。

式 （10）只適用于一維信號(hào)的處理，若要對(duì)式 （7）的J、K、L分量進(jìn)行濾波，就必須在濾波算法程序設(shè)計(jì)過(guò)程當(dāng)中設(shè)計(jì)兩層嵌套循環(huán)，對(duì)二維圖像J、K、L 各分量分別逐行掃描或逐列掃描，以實(shí)現(xiàn)用RLS算法對(duì)J、K、L 三分量的濾波去噪。

2 KL－RLS平滑濾波算法

2.1 算法的基本思想

該算法首先對(duì)待平滑的彩色圖像進(jìn)行離散KL 變換，去除R、G、B各分量間的相關(guān)性，將其RGB 空間轉(zhuǎn)換為JKL空間 （J、K、L 分量均值為零，互不相關(guān)，并且方差依次增大）。然后分別對(duì)J、K、L分量分別采用遞推最小二乘濾波算法RLS濾波，并將濾波的分量圖像合成為JKL 空間圖像。最后將合成的圖像進(jìn)行離散KL 逆變換，得到最終的平滑濾波圖像。為了敘述的方便，將本文對(duì)彩色圖像的濾波算法稱為KL－RLS平滑濾波算法，具體實(shí)現(xiàn)算法的流程如圖1所示。

圖1 KL－RLS平滑濾波流程

2.2 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

本文采用均方誤差 （MSE）、峰值信噪比（PSNR）值和相關(guān)測(cè)度K［13］作為彩色圖像平滑濾波結(jié)果的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

均方誤差MSE用來(lái)表示平滑濾波圖像與原始圖像之差平方的期望值，其離散形式為

式中：f（x，y）、g（x，y）——原始圖像的分量、平滑濾波圖像的分量在點(diǎn)（x，y）上的灰度值，M、N——x 方向、y 方向圖像像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

峰值信噪比PSNR 反映平滑濾波圖像的失真程度，一般它的值越大就表示平滑濾波圖像的質(zhì)量越好，其定義為

式中：L——平滑濾波圖像分量的灰度取值范圍。

相關(guān)測(cè)度K 值即表示平滑濾波圖像的分量和原始圖像分量的相似程度，其定義為

整幅圖像的均方誤差MSE、峰值信噪比PSNR 值和相關(guān)測(cè)度K 值取R、G、B三通道的均值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)安排

實(shí)驗(yàn)選用的圖像特征為8 位無(wú)符號(hào)整形Lena 圖像，PNG 格式，尺寸256x256，如圖2 （a）所示。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容分為兩部分：①對(duì)輸入的RGB圖像模糊且加入不同的噪聲類型，包括高斯噪聲和椒鹽噪聲，采用KL－RLS平滑濾波算法進(jìn)行濾波，并利用均方誤差MSE、峰值信噪比PSNR 值和相關(guān)測(cè)度K 值對(duì)本文算法客觀的分析評(píng)價(jià)；②采用常數(shù)比率的維納濾波、自相關(guān)函數(shù)的維納濾波對(duì)模糊加噪的Lena進(jìn)行濾波，并與KL－RLS平滑濾波的效果相比較。其流程如圖3所示。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

圖2 KL－RLS平滑濾波算法的濾波效果

圖3 實(shí)驗(yàn)流程

圖像模糊是由場(chǎng)景和傳感器兩者產(chǎn)生的，或者是在圖像獲取時(shí)傳感器和場(chǎng)景之間的均勻線性運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生，為了模擬這種情況，可以使用IPT 函數(shù)fspecial（參數(shù)選擇motion、len、theta，參數(shù)theta以度為單位，以順時(shí)針?lè)较驅(qū)φ捷S度量），近似于由有著len個(gè)像素的攝像機(jī)的線性移動(dòng)的效果，并通過(guò)添加適當(dāng)?shù)脑肼晫?duì)圖像模糊建模。對(duì)圖2 （a）使用fspecial函數(shù)模糊，其參數(shù)len為7，theta為45度。當(dāng)加入均值為0，方差為0.01的高斯噪聲，效果如圖2 （b）所示，并采用KL－RLS平滑濾波，平滑結(jié)果如圖2 （c）所示；對(duì)圖2 （a）加入噪聲密度為0.05 的椒鹽噪聲，效果如圖2 （d）所示，同樣也采用KL－RLS平滑濾波，平滑結(jié)果如圖2 （e）所示。

從圖2可以看出：使用KL－RLS平滑濾波算法對(duì)模糊加噪的Lena圖像濾波，對(duì)高斯噪聲和椒鹽噪聲均具有良好的抑制作用，達(dá)到了較好的濾波效果，其濾波結(jié)果均能較為清晰的看到Lena圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息，但會(huì)產(chǎn)生一定的顏色失真。

圖4 （a）～圖4 （c）是對(duì)模糊的Lena圖像添加高斯噪聲，并經(jīng)過(guò)離散KL 正變換后的J、K、L 分量圖像，從中可看到J分量圖像完全被淹沒(méi)在噪聲之中；K 分量圖像可看到Lena的邊緣和輪廓；L分量圖像明顯要比J分量和K分量清晰。圖4 （d）～圖4 （f）是對(duì)J、K、L 各分量濾波后的圖像，與經(jīng)過(guò)離散KL正變換的分量圖像相比，J分量依然看不清圖像的輪廓，可Lena右側(cè)的背景輪廓大致可以看到；K 分量和L分量圖像明顯的消除了噪聲的影響。因此，說(shuō)明采用自適應(yīng)RLS濾波算法對(duì)經(jīng)過(guò)離散KL正變換后的J、K、L分量濾波，可獲得了較好的平滑濾波效果。表1計(jì)算的MSE、PSNR、K值可進(jìn)一步說(shuō)明這一直觀判斷。

圖4 J、K、L分量濾波前后的圖像

表1 J、K、L分量濾波前后的MSE、PSNR、K值

從表1可看出，經(jīng)過(guò)離散KL 正變換的各分量與模糊且添加高斯噪聲R、G、B 各分量之間的MSE、PSNR、K值相比，對(duì)J、K、L 分量采用RLS濾波之后，J－R、K－R、L－B的PSNR、K 值較大且MSE 值較小，說(shuō)明對(duì)KL 變換的分量圖像采用自適應(yīng)RLS濾波算法后，提高了J、K、L各分量圖像的質(zhì)量。對(duì)模糊的Lena圖像添加椒鹽噪聲，也可得到相同的結(jié)果。

采用常數(shù)比率的維納濾波、自相關(guān)函數(shù)的維納濾波對(duì)添加高斯噪聲、椒鹽噪聲的Lena模糊圖像進(jìn)行濾波，結(jié)果如圖5 （a）～圖5 （d）所示。

將圖2 （c）、圖2 （e）與圖5相比較可知：①采用KLRLS平滑濾波算法，可以提高圖像的視覺效果和圖像的質(zhì)量，而采用常數(shù)比率維納濾波、自相關(guān)函數(shù)維納濾波算法雖然可以較為清晰的看到Lena的邊緣和輪廓等細(xì)節(jié)信息，但圖像的噪聲依然很大，并且存在顏色失真；②與采用常數(shù)比率維納濾波算法相比，自相關(guān)函數(shù)維納濾波對(duì)模糊加噪圖像的濾波效果較為明顯。表2、表3、表4是各濾波算法的MSE、PSNR、K 值。

圖5 常數(shù)比率維納濾波、自相關(guān)函數(shù)維納濾波算法的濾波效果

表2 KL－RLS平滑濾波算法的MSE、PSNR、K 值 （模糊高斯噪聲）

表3 KL－RLS平滑濾波算法的MSE、PSNR、K 值 （模糊椒鹽噪聲）

表4 常數(shù)比率維納濾波、自相關(guān)函數(shù)維納濾波算法的MSE、PSNR、K 值

從表2和表3可以看出：①同RGB圖像與其模糊加噪圖像之間的MSE、PSNR、K 值相比，原始Lena圖像與直接經(jīng)過(guò)KL變換的重構(gòu)圖像之間的PSNR、K 值均較小且MSE值較大，說(shuō)明模糊加噪的RGB圖像直接采用KL變換得到重構(gòu)圖像，沒(méi)有提高RGB 圖像的質(zhì)量；②同RGB 圖像與其模糊加噪圖像之間的MSE、PSNR、K 值相比，對(duì)添加高斯噪聲或椒鹽噪聲的模糊Lena圖像經(jīng)過(guò)KL－RLS平滑濾波后，R－J對(duì)應(yīng)的PSNR、K 值較小且MSE 大，而GK、B－L對(duì)應(yīng)的PSNR、K 值較大且MSE 較小，說(shuō)明影響本文算法的因素主要在于對(duì)J分量的濾波，而整幅圖像的MSE、PSNR、K 值的結(jié)果均較大，說(shuō)明采用KL－RLS平滑濾波算法對(duì)圖像進(jìn)行平滑，其過(guò)程付出了一定的細(xì)節(jié)模糊代價(jià)；③同RGB圖像與直接經(jīng)過(guò)KL 變換的重構(gòu)圖像之間的MSE、PSNR、K 值相比，RGB 圖像與KL－RLS平滑濾波圖像之間各性能指標(biāo)的結(jié)果與②相同。

從表4可看出，無(wú)論是對(duì)模糊的Lena圖像添加高斯噪聲，還是添加椒鹽噪聲，使用自相關(guān)函數(shù)的維納濾波的PSNR、K值均較大且MSE值較小，說(shuō)明對(duì)模糊噪聲圖像進(jìn)行濾波，自相關(guān)函數(shù)的維納濾波算法優(yōu)于常數(shù)比率維納濾波。

對(duì)比表2、表3、表4 可以看出，與常數(shù)比率維納濾波、自相關(guān)函數(shù)維納濾波算法，采用KL－RLS平滑濾波算法對(duì)模糊加噪的Lena圖像進(jìn)行平滑濾波，其PSNR、K 值均較大且MSE值較小，說(shuō)明該彩色圖像平滑濾波算法優(yōu)于使用常數(shù)比率維納濾波和自相關(guān)函數(shù)維納濾波算法。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)彩色圖像的平滑濾波問(wèn)題，利用運(yùn)動(dòng)退化模型對(duì)Lena圖像進(jìn)行模糊，同時(shí)對(duì)其模糊圖像添加高斯噪聲和椒鹽噪聲，并采用常數(shù)比率維納濾波、自相關(guān)函數(shù)維納濾波、KL－RLS平滑濾波算法對(duì)模糊加噪的彩色圖像進(jìn)行濾波。仿真結(jié)果表明，與采用常數(shù)比率維納濾波和自相關(guān)函數(shù)維納濾波算法對(duì)彩色圖像進(jìn)行濾波相比較，結(jié)合KL變換和遞推最小二乘法RLS對(duì)模糊加噪的RGB 圖像具有良好的噪聲抑制作用，可取得良好的濾波效果。從對(duì)模糊加噪的彩色圖像的濾波結(jié)果來(lái)看，沒(méi)有考慮彩色圖像通道之間的內(nèi)在聯(lián)系，產(chǎn)生了原圖像所沒(méi)有的新顏色而造成圖像失真。同時(shí)，經(jīng)過(guò)離散KL變換的J分量來(lái)分析，其濾波效果不明顯，而且與K 分量和L 分量的均方誤差、峰值信噪比和相關(guān)測(cè)度值相比均較小，說(shuō)明該算法還具有很大的改進(jìn)和提升的空間，下一步將在這些方面進(jìn)行研究改進(jìn)。

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