周美玲，張勝敏，李 征

（1.開封大學(xué) 軟件學(xué)院，河南 開封475000；2.河南大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南 開封475001）

0 引 言

差分進(jìn)化算法的性能主要由縮放因子和交叉率兩個(gè)控制參數(shù)決定［1－4］。其中縮放因子用于調(diào)整搜索步長，交叉率則控制新個(gè)體相較于父代個(gè)體變化的強(qiáng)度［5，6］。傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法依據(jù)問題本身的特性和調(diào)試經(jīng)驗(yàn)來取值，但這種方法的效果有限，不適于復(fù)雜優(yōu)化問題［7－10］。為了使得參數(shù)取值更好適應(yīng)算法的性能，一些學(xué)者提出了各自的參數(shù)自適應(yīng)差分進(jìn)化算法，其中最具代表性的算法有Brest等［11］設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)的jDE算法，以及Qin等［12］提出的自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)和變異算子的SaDE 算法。雖然這些參數(shù)自適應(yīng)差分進(jìn)化算法的種群中每一個(gè)新個(gè)體使用的縮放因子是動(dòng)態(tài)變化的，但對于個(gè)體中的每一維則是不變的，由于各維變量的尋優(yōu)程度以及它們之間的關(guān)聯(lián)性往往不同，賦予其同等的搜索尺度顯然是不合適的；且已有算法中縮放因子和交叉率的變化總是獨(dú)立進(jìn)行的，而差分進(jìn)化的公式表明交叉率決定著新個(gè)體的哪些維變量受縮放因子的影響，因此二者必然是非獨(dú)立的。為此，提出了一種基于雙模型的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法 （double－model－based self－adaptive differential evolution，DMSaDE），分布模型是在自適應(yīng)差分進(jìn)化算法SaDE 的基礎(chǔ)上，對每一維變量采用不同的縮放因子進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對構(gòu)成的縮放因子矩陣進(jìn)行主成分分析，在主元空間下進(jìn)行估計(jì)和采樣；關(guān)聯(lián)模型是將交叉率劃分為不同的取值區(qū)間，不同的縮放因子向量對應(yīng)于不同的交叉率區(qū)間，認(rèn)為交叉率和縮放因子之間的關(guān)系是非線性的，并通過學(xué)習(xí)機(jī)制和核支持矢量機(jī)建立。

1 相關(guān)描述

自適應(yīng)差分進(jìn)化算法SaDE［12］對進(jìn)化過程中參數(shù)取值和變異算子的選擇均進(jìn)行了自適應(yīng)的調(diào)整。其相比于jDE算法［11］，所采用的參數(shù)取值規(guī)則對經(jīng)驗(yàn)知識(shí)依賴更小，并且調(diào)整過程具有一定的學(xué)習(xí)能力。為此，采用和SaDE 算法類似的策略，在其基礎(chǔ)上來應(yīng)用所提出的兩個(gè)模型。

對于一個(gè)最小化優(yōu)化問題f（x），x＝ （x1，x2，…，xn），n為變量維數(shù)，x∈可行域S，SaDE 采用DE／rand／1、DE／rand－to－best／2、DE／rand／2 和DE／current－to－rand／1 這4種候選變異算子，它們具有不同的全局探索能力和局部搜索能力，SaDE在初始階段賦予它們同等的選中概率用于某一新個(gè)體的生成，然后一定代數(shù)LP內(nèi)不斷的進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，例如當(dāng)前為第t代，則統(tǒng)計(jì)t－1，t－2，…，t－LP代。統(tǒng)計(jì)內(nèi)容為各個(gè)策略所生成新個(gè)體優(yōu)于父代個(gè)體的數(shù)量以及差于父代個(gè)體的數(shù)量，再根據(jù)二者的比例調(diào)整各個(gè)變異算子的概率，如式 （1）所示

該算法假設(shè)合適的交叉率參數(shù)CR 和縮放因子F 取值均分別服從某一高斯分布模型，但二者模型的構(gòu)建方法有所不同。SaDE在周期LP內(nèi)采用與變異算子相同的標(biāo)準(zhǔn)處理交叉率參數(shù)CR，即對于每一個(gè)變異算子記錄各自生成更優(yōu)個(gè)體時(shí)的CR 取值。然后計(jì)算各自的CR 序列的中間值，以該中間值作為高斯分布模型的均值，再賦予設(shè)定的方差取值。而對于縮放因子F，SaDE則只建立了一個(gè)針對所有變異算子的高斯分布模型，并且均值和方差的取值均是依據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定的。在這兩個(gè)高斯分布模型的基礎(chǔ)上，每個(gè)個(gè)體所需的參數(shù)取值均通過模型采用來完成。

2 雙模型自適應(yīng)差分進(jìn)化算法的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)的差分進(jìn)化算法DMSaDE 采用DE／rand／1、DE／rand－to－best／1、DE／best／1這3種變異算子，如式 （2）～式 （4）所示，以及二元交叉算子，如式 （5）所示

其中，xi為父代個(gè)體，xb為當(dāng)前所得最優(yōu)個(gè)體，xr1、xr2、xr3為互不相同且不同于xi和xb，從當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇的3個(gè)個(gè)體，j0為隨機(jī)選中的一維變量，用以保證子代個(gè)體不同于父代個(gè)體。

2.1 縮放因子分布模型的設(shè)計(jì)

DMSaDE與SaDE相比，將縮放因子也納入了自學(xué)習(xí)調(diào)整的范疇，并且針對不同變異算子建立了獨(dú)立的基于分布模型的學(xué)習(xí)策略?？s放因子分布模型的具體操作步驟如下：

（1）初始狀態(tài)下每一個(gè)體的每一維獨(dú)立的在區(qū)間［0.1，0.95］內(nèi)隨機(jī)生成縮放因子，構(gòu)成縮放因子向量，若生成的新個(gè)體優(yōu)于父代個(gè)體則記錄該向量。在LP代后第k個(gè)變異算子可以得到nk個(gè)縮放因子向量，i＝1，2，…，nk，用這些向量構(gòu)成一個(gè)n×nk維的矩陣Mk；

（2）計(jì)算矩陣Mk每一行的均值，得到均值向量，然后按照式 （6）計(jì)算協(xié)方差矩陣Ck

（3）求取Ck的特征值以及特征向量，，…，，并使得特征值≥≥…≥，再按照貢獻(xiàn)率大于85%的準(zhǔn)則確定主元數(shù)量為p，即對應(yīng)前p 個(gè)特征值；

（4）將矩陣Mk中各個(gè)縮放因子向量按照式 （7）投影到前p 個(gè)主元方向上，并據(jù)此計(jì)算所有向量在各個(gè)主元上的上邊界和下邊界

（5）按照式 （8）確定一個(gè)n維超立方體Hk，即為對進(jìn)化起促進(jìn)作用的縮放因子向量所在的分布空間，再按照式（9）計(jì)算原始向量與投影向量之間的殘差Ek，該殘差用于修正噪聲環(huán)境下分布空間Hk的誤差。此后每隔g 代，利用最近的LP 代結(jié)果構(gòu)建矩陣Mk，并計(jì)算分布空間Hk和殘差Ek

其中，α為上下界的修正因子，設(shè)置為0.05。

當(dāng)變量維數(shù)n 過高時(shí)，若每一維均獨(dú)立考慮則所得矩陣過于龐大而難以計(jì)算。故在每次計(jì)算時(shí)，將n 維變量隨機(jī)的劃分為等長度的c 類，每一類對應(yīng)一個(gè)縮放因子元素，即得到c×nk維的矩陣Mk。這樣Fk的第i 個(gè)元素 （i＝1，2，…，c）即用于第i類中所有維變量使用?；谏鲜龇植寄Ｐ?，新個(gè)體所用縮放因子的產(chǎn)生方法為：設(shè)當(dāng)前選中的是第k個(gè)變異算子，在分布空間Hk所限定范圍內(nèi)通過均勻隨機(jī)采樣得到向量Yk，再將殘差Ek設(shè)定為零均值高斯分布的方差向量，即gauss（0，Ek），并用其產(chǎn)生誤差ek，按照式 （10）即得到最終的縮放因子向量

其中，rj為0.1和0.95之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

2.2 關(guān)聯(lián)模型的設(shè)計(jì)

縮放因子通過影響搜索方向和搜索步長最終產(chǎn)生一個(gè)臨時(shí)變異個(gè)體，但最終的子代個(gè)體則是利用交叉率控制變異個(gè)體的保留程度而獲得的?？梢娮哟鷤€(gè)體的質(zhì)量是在兩方面參數(shù)的復(fù)雜作用下決定的，并且兩參數(shù)之間存在著復(fù)雜的聯(lián)系。關(guān)聯(lián)性模型認(rèn)為這一聯(lián)系是非線性的，并采用核支持矢量機(jī)進(jìn)行描述，更適于處理小樣本問題，還能避免維數(shù)爆炸的問題［13］。此處采用的核函數(shù)為高斯核函數(shù)，如式 （11）所示

關(guān)聯(lián)模型的具體操作步驟如下：

（1）與分布模型相同，在初始的LP代內(nèi)，交叉率CR在 ［0，1）范圍內(nèi)隨機(jī)取值，在關(guān)聯(lián)模型建立起來后則以縮放因子向量為輸入，用模型來預(yù)測交叉率，關(guān)聯(lián)模型每隔g 代更新一次；

（2）記錄子代個(gè)體優(yōu)于父代個(gè)體時(shí)對應(yīng)的縮放因子向量和交叉率，每個(gè)變異算子分開記錄，這樣LP代后得到縮放因子矩陣Mk和交叉率向量CRk；

（3）將交叉率的取值范圍 ［0，1）劃分為l個(gè)等長區(qū)間，再將不同區(qū)間的交叉率依次標(biāo)記為1，2，…，l，由此向量CRk轉(zhuǎn)換為標(biāo)記向量Lk；

（5）在預(yù)測階段，對于一個(gè)屬于第k 個(gè)變異算子的縮放因子向量，依次用l個(gè)分類器進(jìn)行分類，當(dāng)在第m 個(gè)分類器上決策函數(shù)輸出為1時(shí)，即判定交叉率取值屬于第m個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)隨機(jī)生成一個(gè)值作為預(yù)測所得的交叉率；

（6）預(yù)測中可能存在所有分類器結(jié)果顯示輸入向量不屬于任何一類的情況，此時(shí)若某些區(qū)間尚無訓(xùn)練樣本，則優(yōu)先在這些區(qū)間隨機(jī)生成CR，否則在 ［0，1）內(nèi)隨機(jī)生成。

2.3 算法流程描述

基于上述兩模型的改進(jìn)，DMSaDE 的算法的具體流程如下：

（1）在t＝0代，先將問題的解可行域歸一化，然后隨機(jī)生成種群A，其中每個(gè)個(gè)體的每一維在 ［0，1］之間隨機(jī)生成，求取每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，并存儲(chǔ)當(dāng)前最優(yōu)結(jié)果f（x＊）；

（2）當(dāng)t＜LP 時(shí)，等概率選取變異算子，隨機(jī)生成所需的縮放因子向量和交叉率；

（3）當(dāng)t＝LP ＋i＊g 時(shí)，i＝0，1，2，…，采用SaDE算法中的策略更新變異算子的選擇概率，用前述方法建立或更新分布模型和關(guān)聯(lián)模型，并用所得分布空間Hk和殘差Ek求取縮放因子向量，以及用核支持矢量機(jī)預(yù)測交叉率；

（4）當(dāng)t＞LP且t≠LP＋i＊g 時(shí)，采用SaDE算法中的策略更新變異算子的選擇概率，并用當(dāng)前的分布模型和關(guān)聯(lián)模型來生成差分進(jìn)化所需的參數(shù)；

（5）在每一代中，根據(jù)當(dāng)前獲取的參數(shù)取值和變異算子生成新的個(gè)體，若新個(gè)體優(yōu)于父代個(gè)體，則存儲(chǔ)相應(yīng)的參數(shù)取值，記錄被使用的變異算子；

（6）將每代中新生成的個(gè)體集合記為B，混合集合A和B，將所有個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值升序排列，選取前A 個(gè)個(gè)體組成下一代種群，用排序在第一個(gè)的個(gè)體更新當(dāng)前最優(yōu)結(jié)果f（x＊）；

（7）當(dāng)最大函數(shù)調(diào)用次數(shù)時(shí)，則去執(zhí)行步驟 （2）～步驟 （6），否者輸出f（x＊）。

3 性能驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證提出的算法性能，使用了2008 年CEC 大尺度全局優(yōu)化問題競賽［14］上采用的4 個(gè)函數(shù)Shifted Schwefel’s Problem 2.21、Shifted Rosenbrock’s Function、Shifted Rastrigin’s Function、Shifted Griewank’s Function，以及提出SaDE 算法的文獻(xiàn) ［12］所采用的Shifted Schwefel’s Problem 1.2with noise和Shifted noncontinuous Rastrigin’s function 共計(jì)6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)函數(shù) （對應(yīng)標(biāo)記Fun1～Fun6）進(jìn)行測試，它們的變量維數(shù)均有兩種情況，分別為30和100維。依據(jù)文獻(xiàn) ［14］中的標(biāo)準(zhǔn)，算法在每個(gè)目標(biāo)函數(shù)上均獨(dú)立運(yùn)行25次，算法的停止條件為達(dá)到最大函數(shù)調(diào)用次數(shù)，30和100維的調(diào)用次數(shù)分別為1.5×105和5×105。DMSaDE 的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：種群A 為100，參數(shù)LP為50，代數(shù)間隔g 為20，變量維數(shù)劃分?jǐn)?shù)量c在30維時(shí)為30，100維時(shí)為25，交叉率的區(qū)間數(shù)目l為10，高斯核函數(shù)的方差σ為1。

3.1 算法對比測試

對所提算法DMSaDE 和SaDE 算法進(jìn)行了對比測試，結(jié)果如表1和表2。其中SaDE 的相關(guān)參數(shù)按照文獻(xiàn) ［12］所述進(jìn)行設(shè)置。為了更好的說明測試結(jié)果，統(tǒng)計(jì)了兩項(xiàng)指標(biāo)，分別為25次測試所得最優(yōu)值的均值和t檢驗(yàn)。其中t檢驗(yàn)的結(jié)果為 “＋”表示DMSaDE 所得結(jié)果優(yōu)于SaDE 的置信區(qū)間為95%，而 “－”則表示二者所得結(jié)果來至于同一個(gè)分布，在統(tǒng)計(jì)上無差異。

表1 DMSaDE和SaDE在30維時(shí)的測試結(jié)果

表2 DMSaDE和SaDE在100維時(shí)的測試結(jié)果

表中的結(jié)果可知，DMSaDE 在整體性能上優(yōu)于SaDE，其在30維時(shí)有3 個(gè)目標(biāo)函數(shù)所得最優(yōu)值均值是顯著小于SaDE的 （即t檢驗(yàn)結(jié)果為 “＋”），而在100維時(shí)達(dá)到了5個(gè)。且在其余的目標(biāo)函數(shù)上二者也是在統(tǒng)計(jì)上無差異的，處于同一優(yōu)化水平，未出現(xiàn)SaDE 結(jié)果顯著優(yōu)于DMSaDE的情況，故提出的兩個(gè)模型顯著提高了原有SaDE 算法的性能。

3.2 算法自身分析

分布模型和關(guān)聯(lián)模型是DMSaDE 的主要改進(jìn)內(nèi)容。在分布模型中，縮放因子向量是在主元空間下進(jìn)行分布估計(jì)的，而變量維數(shù)也被劃分為c類。在關(guān)聯(lián)模型中，非線性映射采用了高斯核函數(shù)的支持矢量機(jī)，而交叉率輸出也被劃分為了l個(gè)區(qū)間。為分析模型中上述步驟對算法性能的影響，設(shè)計(jì)了一系列對比算法。對比算法Algorithm1將分布模型中的主元空間映射步驟取消，直接求取各維上縮放因子的均值和方差，再建立多維高斯分布模型。當(dāng)變量為100 維時(shí)，DMSaDE 和Algorithm1 在函數(shù)Fun1、Fun2、Fun5上的測試結(jié)果見表3。

表3 主元空間映射對算法性能的影響

從表3可知，DMSaDE 的性能更佳，說明直接建立分布模型的Algorithm1受變量維之間耦合的影響，并不能有效揭示高質(zhì)量縮放因子的分布情況。

對比算法Algorithm2和Algorithm3則分別采用多項(xiàng)式核的支持矢量機(jī)和線性支持矢量機(jī)來表述縮放因子與交叉率之間的關(guān)聯(lián)性。同樣對100維變量下的函數(shù)Fun1、Fun2和Fun5進(jìn)行測試，結(jié)果見表4。

表4 支持矢量機(jī)對算法性能的影響

測試結(jié)果顯示，采用核函數(shù)的支持矢量機(jī)的測試結(jié)果明顯好于線性支持矢量機(jī)的測試結(jié)果，而高斯核的測試結(jié)果又略優(yōu)于多項(xiàng)式核的結(jié)果，證實(shí)了縮放因子與交叉率之間的關(guān)系是非線性的。

對于兩個(gè)劃分類數(shù)c和區(qū)間數(shù)l，以100維的函數(shù)Fun3為測試對象，取類數(shù)c為2、5、10、20和50，取區(qū)間數(shù)l為2、5、10、15和20。類數(shù)c和區(qū)間數(shù)l 的盒圖測試結(jié)果分別如圖1和圖2所示。

從圖1可以看出，當(dāng)類數(shù)c過小時(shí)，各維之間的縮放因子并未得到有效的區(qū)分，從而導(dǎo)致算法的性能較差；從圖2中可知，對于區(qū)間數(shù)l，其取值過小時(shí)，交叉率近似于在整個(gè)范圍內(nèi)均勻隨機(jī)選取，即不同縮放因子對應(yīng)的交叉率取值是隨機(jī)的，交叉率和縮放因子之間并未建立正真的聯(lián)系；當(dāng)l的取值過大時(shí)，區(qū)間被劃分的過于細(xì)小，縮放因子所映射的類數(shù)過多，使得支持矢量機(jī)的準(zhǔn)確性和泛化能力有所下降。

圖1 類數(shù)c對算法性能影響的測試結(jié)果

圖2 區(qū)間數(shù)l對算法性能影響的測試結(jié)果

4 結(jié)束語

設(shè)計(jì)的兩個(gè)模型進(jìn)一步提高自適應(yīng)差分進(jìn)化算法的性能。其中提出的縮放因子分布模型將各維的縮放因子取值獨(dú)立考慮，反映了變量中各維之間的差異性；提出的交叉率關(guān)聯(lián)模型相比于已有算法，不再獨(dú)立的進(jìn)行調(diào)整，而是建立了縮放因子向量與交叉率之間的非線性關(guān)系。6 組標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的測試結(jié)果表明了提出算法的改進(jìn)是有效的，在多數(shù)函數(shù)上獲得了更好的結(jié)果，而其余函數(shù)的測試結(jié)果也保持在了同等水平上；基于主成分分析技術(shù)的主元空間建模是分布模型的重要環(huán)節(jié)，而核函數(shù)下的支持矢量機(jī)能更好反映參數(shù)之間的復(fù)雜關(guān)系。

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