謝錦彪，歐毓毅，凌 捷

（廣東工業(yè)大學(xué) 計算機學(xué)院，廣東 廣州510006）

0 引 言

GM（1，1）模型［1－3］本身的預(yù)測公式存在局限性［4］，且對于高增長序列的預(yù)測精度不高，有許多學(xué)者對其進行了改進［5－9］，這些改進主要是單一地改進模型的背景值或初始（值）條件，或者同時改進模型的背景值和初始條件。近幾年研究的重點逐步偏向于同時改進背景值和初始條件，但是模型的模擬精度和預(yù)測精度還有待進一步提高。

本文在文獻 ［10］優(yōu)化傳統(tǒng)GM（1，1）模型的背景值構(gòu)造公式的基礎(chǔ)上，進一步優(yōu)化背景值的計算公式，并基于最小二乘法原理對預(yù)測初始條件進行改進，將背景值的改進和最優(yōu)初始條件的選擇結(jié)合在一起，以文獻 ［5，10］共同使用的低增長序列x（0）（k）＝e－ak（k＝1，2，3，4，5）以及文獻 ［10］中高增長序列為例進行模擬分析實驗，提出的預(yù)測模型比文獻 ［5，10］具有更高的模擬精度以及預(yù)測精度。

1 經(jīng)典GM（1，1）預(yù)測模型及缺陷分析

1.1 經(jīng)典GM（1，1）模型

設(shè)非負序列X（0）＝ ｛x（0）（k），k＝1，2，3…n｝為原始序列。

（1）對原始序列X（0）作一次累加生成序列X（1）＝ （x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n））。即：X（1）（k）＝（i）（k＝1，2，…，n）；

（2）建模。由X（1）得到GM（1，1）模型的背景值Z（1）＝ ｛z（1）（k），k＝1，2，3…n｝，其中Z（1）（k）＝μ （x（1）（k）＋x（1）（k－1））（k＝2，3，…，n），一般μ取0.5。將白化方程＋ax（1）＝b 離散化，由微分變差分，得到GM（1，1）的灰微分方程如下所示

（3）求解發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b。按照最小二乘法原理解式 （1）可得參數(shù)a和b。其中則可得式 （2）

（4）建立預(yù)測公式。累加序列X（1）的預(yù)測公式為：（k＋1）＝＊e－ak＋，其中k＝0，1，…，n－1；令C ＝則x.（1）（k ＋1）＝Ce－ak＋，其中C 為待定常數(shù)；由初始條件（1）＝x（1）（1）＝x（0）（1），有C ＝x（0）（1）－，故

根據(jù)式 （3）累減可得原始序列X（0）的預(yù)測值：（k＋1）＝（x（0）（1）－）（1－ea）e－ak，（k＝1，2，…，n－1），且（1）＝x（0）（1）。

1.2 GM（1，1）模型的缺陷分析

GM（1，1）模型對白化方程的兩邊在 ［k－1，k］對t積分，化簡可得再由式 （1）可得（1，1）模型背景值的構(gòu)造誤差［11］主要因為用Z（1）（k）＝0.5（x（1）（k）＋x（1）（k－1））代替了即用圖1中的梯形abcd面積代替了X（1）（t）在區(qū)間 ［k－1，k］與t軸圍成的面積，從而導(dǎo)致了誤差△S。當(dāng)數(shù)據(jù)為高增長序列時，誤差就比較大。再者，GM（1，1）模型解白化方程時，其假設(shè)條件是原始數(shù)據(jù)序列的第一點值等于預(yù)測數(shù)據(jù)序列的第一點值，即（1）＝x（0）（1），得到的擬合曲線必定經(jīng)過 （1，x（0）（1））。但是按照最小二乘法原理可知，擬合的曲線未必經(jīng)過原始數(shù)列的第一點。

圖1 背景值構(gòu)造公式誤差

2 背景值的優(yōu)化

從模型的預(yù)測公式可以看出，模擬和預(yù)測的精度取決于發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b，而a，b的求解取決于背景值。文獻 ［10］在對背景值的優(yōu)化過程中，在區(qū)間 ［k－1，k］上對白化方程兩邊求積分，設(shè)x（1）（t）＝BeAt，并記但是對比假設(shè)的x（1）（t）的表達式和GM（1，1）的一般過程中的x.（1）（k ＋1）＝Ce－ak＋表達式可以發(fā)現(xiàn)文獻 ［10］在假設(shè)過程中做了簡化，忽略了常數(shù)項，這在一定程度上影響了背景值的逼近效果，從而影響模型的模擬和預(yù)測精度。為了避免由此引起的誤差，在其假設(shè)的基礎(chǔ)上設(shè)x（1）（t）＝BeAt＋p，x（0）（t）＝beAt。

記

又因為

得

且

將式 （6）、式 （7）代入式 （5）可得

由式 （4）及假設(shè)條件x（1）（t）＝BeAt＋p 可得z（1）（k）＝［x（1）（k）－x（1）（k－1）］＋p，由于一次累加序列X（1）累減后有x（0）（k）＝x（1）（k）－x（1）（k－1），故

將式 （7）、式 （9）代入式 （10）可得新的背景值計算公式

其中 （k＝2，3，…，n）。

3 預(yù)測初值的優(yōu)化

由以上公式并根據(jù)實際意義可知，離差平方和S最小時，其對G 的導(dǎo)數(shù)為零，故可以解得

4 實驗與結(jié)果分析

根據(jù)以上改進的結(jié)果，由式 （2）、式 （11）、式 （12）、式 （13）即可得到本文提出的GM（1，1）模型，記為新模型。記文獻 ［5］改進的模型為模型1；記文獻 ［10］改進的模型為模型2。本文實驗仍然采用文獻 ［5，10］共同使用的例子，以x（0）（k）＝e－ak（k＝1，2，3，4，5）并分別取－a＝0.1、0.2、0.4、0.5、0.6、0.8、1.0、1.5、2.0、2.1、2.5、3.0，得到原始序列如下所示：

以上各式，k＝1，2，…，6。

為更清楚表示改進后的結(jié)果，新模型得出的數(shù)據(jù)小數(shù)點后保留的位數(shù)以文獻 ［5，10］中相應(yīng)的數(shù)據(jù)小數(shù)點后保留的位數(shù)為參考。

實驗1：按照模型1 使用的數(shù)據(jù)，?。璦＝0.1、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0、1.5、2.0、2.5、3.0。比較模型1與新模型取不同發(fā)展系數(shù)時模擬數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的平均相對誤差和平均絕對誤差。兩種模型的模擬精度對比結(jié)果見表1。

從表1可以看出，－a從0.1到0.4，新模型的平均相對誤差整體在增加，－a＞0.6以后，相對誤差在逐漸減小，但是新模型的平均絕對誤差以及平均相對誤差都要小于模型1，從表1對比的結(jié)果可以得出新模型比模型1具有更好的模擬效果。

表1 新模型與模型1模擬精度比較

實驗2：按照模型2 使用的數(shù)據(jù)，取－a＝0.1，0.5，1.0，2.1。比較模型2與新模型取不同發(fā)展系數(shù)時模擬數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的平均相對誤差S以及k＝6時的預(yù)測精度。兩種模型的模擬精度對比結(jié)果見表2。k＝6時，模型2和新模型得出的模擬值序列以及對應(yīng)的相對誤差分別為X模型2，X新，S模型2，S新，兩種模型的預(yù)測精度對比結(jié)果見表3。

表2 新模型與模型2模擬精度比較

表3 新模型與模型2預(yù)測精度比較

通過表2的數(shù)據(jù)可以看出，無論是發(fā)展系數(shù)小還是發(fā)展系數(shù)比較大時，新模型的模擬精度始終高于模型2的模擬精度，而且隨著模擬精度的提高，新模型的預(yù)測精度也同樣高于模型2的預(yù)測精度，兩種模型預(yù)測精度的對比結(jié)果見表3。

實驗3：取模型1的高增長序列的前5個數(shù)據(jù)預(yù)測后2個數(shù)據(jù)。原始序列 X（0）＝ （2.718，7.389，20.086，54.598，148.41，403.43，1096.6）。由序列的前5個數(shù)據(jù)并結(jié)合本文提出的改進模型，得到時間響應(yīng)函數(shù)如下

模型1和新模型關(guān)于此高增長序列的模擬精度以及預(yù)測精度對比結(jié)果見表4，其中S為平均相對誤差。

由表4可以清晰地看出，對于高增長的序列，新模型的模擬和預(yù)測精度都比模型1有顯著的提高。

表4 高增長序列模擬精度及預(yù)測精度比較

5 結(jié)束語

本文提出了一種改進的GM（1，1）預(yù)測模型，進一步地優(yōu)化了預(yù)測模型的背景值構(gòu)造公式并改進了模型初始值參數(shù)的選取策略。分別以低增長序列和高增長序列為例進行了模擬分析實驗，實驗結(jié)果表明，改進的模型同時適用于低增長序列和高增長序列建模，不管是在發(fā)展系數(shù)較小時還是當(dāng)發(fā)展系數(shù)超過經(jīng)典GM（1，1）方法的適用范圍（－2，2）時，都具有很高的模擬精度和預(yù)測精度。

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