夏 云

（連云港財經(jīng)高等職業(yè)技術學校，江蘇 連云港222003）

設f 是空間X,Y 之間的可微映射，x0∈X 若在處存在x0的開鄰域U 和f（x0）的開鄰域V，使得f（U）=V 且f／U：U→V 是全局微分同胚，則稱f 是局部微分同胚.全局微分同胚是指f 是1-1 的且其逆映射也是可微的。 但是f在每一點處都是局部微分同胚并不能保證單射或滿射，更不用說全局微分同胚，一個典型的例子就是映射：

非線性分析中一個重要的問題就是尋找保證局部微分同胚成為全局微分同胚的條件，利用路徑提升為工具，我們在巴拿赫空間探討了這個問題，其基本前提條件是巴拿赫空間X,Y 之間的一個C1映射f:X→Y：f＇（x）∈Isom（X，Y），∨x∈X.

由反函數(shù)定理可知f 在每一點都是局部微分同胚.

設X、Y 是Banach 空間， 非線性映射,fDcX→Y 其中D 是X 中開集，考慮非線性方程f（x）＝0，連續(xù)性的思想就是根據(jù)考慮的問題引入?yún)?shù)t 構造一簇連續(xù)映射H(x,t)，使得t 為某一特定值，例如t=1 時，H(x,t)就是映射f（x）＝0，而當t=0 時，H(x,t)就是映射f0（x），并使f0（x）＝0 的解x0已知或容易求出。于是f（x）＝0 的問題就轉化為求參數(shù)方程H（x，t）＝0 的解x（t），這里x：〔0.1〕→X 依賴于t，它表示X 中的一條細線， 其中一端表示給定的點x0＝x（0），而另一端點是f（x）＝0 的解x＊＝x（1），這種方法一般稱作路徑提升，下面給出一些相關的概念定義如下：

定義1 (范數(shù)強制）： 映射F：DCR→Rn在一個開集D0CD 上是范數(shù)強制的，如果對任何r＞0，存在一個閉的有界集合DrCD0，使得對所有x∈D0：Dr‖F(xiàn)X‖＞r。

如何保證H（x，t）＝0 存在唯一性的連續(xù)解曲線x（t），就成了連續(xù)法可行性的關鍵。 范數(shù)強制性定理給出了這個問題的一個解答。

引理2：假定F:Rn→Rn在整個上是連續(xù)可微的，又設F'（x）對所有x∈Rn 是非奇異的.那么，當且僅當時，F(xiàn) 是將Rn映上Rn的同胚。

定理3（ 范數(shù)強制性定理）：設D 是開的和道路連通的，又假定 在D 的每一點是一個局部同胚。 那么，當且僅當F 在D 上是范數(shù)強制的時，它是一個將D映上Rn的同胚。

引理4： 假設 在開集D 的每一點是一個局部同胚，如果對所有線性函數(shù)q（t）＝（1－t）y0＋ty1，t∈[0.1]，其中y0、y1∈R 是任意的，F(xiàn) 具有延拓性，那么，F(xiàn)D=Rn。

筆者在參考文獻1 中曾對范數(shù)強制定理做過推廣，并對推廣定理的實際應用作了簡單的探討，推廣定理表述如下：

定理5（推廣定理）：假定F：Rn→Rn在Rn上是連續(xù)可微的，又設對所有x∈Rn，.那么，‖F(xiàn)＇（x）－1‖＜r＜＋∞那么，F(xiàn) 是一個將Rn映上Rn的同胚.

由于全局性的同胚條件要求較高，一般很難實現(xiàn)，對于一些條件比較壞的方程， 我們可以在小范圍局部同胚的條件下實現(xiàn)推廣定理的應用，即：定理6（應用定理）：設F：DCRn→Rn在D 上連續(xù)可微，又假定有一個開球S＝S（x0，r）cD，使得對x∈S 及r＞r‖F(xiàn)x0‖，有‖F(xiàn)＇（x）－1‖＜r.那么，F(xiàn)x＝0 在S 內有解。

本文在以上內容的基礎上， 利用路徑提升吸引盆的方法，對范數(shù)強制定理再次進行推廣，首先假設X,Y 是巴拿赫空間，D 是一個連通開集，且Φ≠D∈X,f:D→Y 是一個局部微分同胚的C1映射.為了方便證明結論，我們

再給出幾個引理.

引理7：假設x0∈D，那么對于任意x∈D，路徑提升問題

存在唯一的定義在最大開區(qū)間Ix=（tx－，tx＋），－∞＜tx－＜0＜＋∞的連續(xù)解t→rx（t）.并且集合是中的開集，映射是連續(xù)映射且具有性質

定義8 在引理7 的假設條件下，的吸應盆是指集合

A＝｛x∈D：tx＋＝＋∞｝.

引理9：在引理7 的假設條件下，的吸應盆是X 中的開集，且：

（1）f 在A 上的限制f｜A 是1-1 映射；

（2）f 是以y0：＝f（x0）為中心的星狀形態(tài)；

（3）A 是包含x0且具有性質（1）和（2）的D 中的最大的連通開子集.

定義10 （L 條件） 連續(xù)映射f：D∩X→Y 滿足 （L 條件），是指對任意的連續(xù)函數(shù)q：［0.1］→D（其中q（0）∩f（D））和每一個x0∩f←（q（0）），都存在一個連續(xù)函數(shù)，p：［0，b］→D 其中p（0）＝x0，使得f（p（t））＝q（t），0＜t＜b，且存在一個序列，當時，有 存在且在D 中.

現(xiàn)在考慮柯西問題

它等價于

L 條件則可以替換為“x（t）定義在［0，＋∞］區(qū)間上”.x0的吸引盆A 是指所有定義在［0，＋∞］區(qū)間上的x（t）所對應的x 的集合，也就是當t→＋∞時，x 點會沿著x（t）被吸引到x0點.那么f 在A 上的限制f｜A是1-1 的，局部微分同胚轉化為全局微分同胚的條件則是當且僅當對所有的x∈D，x（t）定義在R 區(qū)間上.

引理11 假設X,Y 是巴拿赫空間，D 是一個連通開集且Φ≠X，f∶D→Y 是一個局部微分同胚的C1映射.那么f 是到Y 上的全局微分同胚當且僅當rx（t）對所有的x∈D 都定義在R 上.

定理12 在引理11 的假設條件下，f 是到Y 上的全局微分同胚當且僅當rx （t） 對所有的x∈A 都定義在R上，也就是說：rx（t）也可以延伸到－∞.

證明 首先假設對所有的x∈Arx（t）都定義在R 上.若存在x1∈D 的rx1（t）不是都定義在R 上，那么令y1：＝f（x1），則有ε＞0，使得y0＋ε（y1－y0）∈f（A）.又因為f 在A 上是全局微分同胚，設x＝f｜A（y0＋ε（y1－y0））－1，則

于是有rx（lnε）＝rx1（0），從(1)式，可以得到rx1（t）也是定義在R 上的.

引理13 設X 是巴拿赫空間，a，b∈R，P：[a,b]→X 是[a,b]上的C1映射，那么‖P（t）‖幾乎處處具有導數(shù)‖P（t）‖＇且對a＜t＜b｜‖＇｜＜‖p＇（t）‖.

證明因為函數(shù)x→‖x‖是Lipschitz 連續(xù)且P （t）∈C1［a，b］，所以t→‖P（t）‖局部絕對連續(xù)且?guī)缀跆幪幘哂袑?shù)，并且

推廣定理： 假設X,Y 是巴拿赫空間，，f∈C1（X，Y），f＇（x）∈lsnm（X，Y），x∈X.f 從X 到Y 上的全局微分同胚的條件是存在一個連續(xù)遞增的函數(shù)ω∶R+→R+/0,使得

對于是上述條件的特例.

證明 對于x∈X 我們考慮柯西問題那么解x（t）就是rx（t）并且f（rx（t））－f（x0）＝e－t（f（x））－f（x0））.

下面證明在給定條件下，rx（t）對每一個都定義在R上.用反證法假設rx（t）定義在（a，＋∞）且－∞＜a＜0，，從(3)式可知

對于推廣定理的一些相關推論及應用，將在以后的文章中繼續(xù)探討，這里不再多述。

[1]夏云，王文相.范數(shù)強制性定理及其推廣[J].牡丹江教育學院學報,2014

[2]雷晉干，陳銘俊，匡蛟勛，沈祖和.數(shù)值分析的泛函方法[M].高等教育出版社，1996