葉素娣,徐敬華

(1．蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241006； 2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)系，浙江 杭州 310027)

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插床六桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)分析

葉素娣1,徐敬華2

(1．蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241006； 2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)系，浙江 杭州 310027)

摘要：插床中插刀的上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)直接關(guān)系到工件切削的效率.建立插床六桿機(jī)構(gòu)的矢量模型，用Matlab/Simulink中的積分模塊建立仿真框圖，設(shè)置合理的初始條件，將插刀的位移、速度和加速度曲線規(guī)律可視化.對(duì)機(jī)構(gòu)作計(jì)及摩擦力的靜力分析，通過(guò)摩擦圓和相對(duì)角速度判斷運(yùn)動(dòng)副所受摩擦總反力的方向，依次求解各個(gè)構(gòu)件的靜力平衡方程式，得出主動(dòng)件上所能克服的等效阻力矩，并用Matlab軟件得出等效阻力矩隨時(shí)間變化的規(guī)律.

關(guān)鍵詞：插床六桿機(jī)構(gòu);運(yùn)動(dòng)學(xué);積分模塊法;靜力學(xué)；摩擦圓

插床是一種應(yīng)用廣泛的普通機(jī)床，利用插刀的上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)完成對(duì)鍵槽和型孔的插削工作，尤其適用于加工不通孔或有障礙臺(tái)肩的內(nèi)孔鍵槽.插床中的六桿機(jī)構(gòu)是以雙曲柄機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)擴(kuò)展而成的，可以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的運(yùn)動(dòng)規(guī)律并與插刀相連，實(shí)現(xiàn)切削主運(yùn)動(dòng).文獻(xiàn)[1-7]介紹了用PRO/E和Matlab工具箱中的Simulink構(gòu)建曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)、曲柄搖桿機(jī)構(gòu)和曲柄滑塊機(jī)構(gòu)等平面機(jī)構(gòu)的仿真模型，或進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析，或進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，但鮮有文獻(xiàn)對(duì)機(jī)構(gòu)作計(jì)及摩擦力的靜力學(xué)分析，而靜力分析對(duì)計(jì)算機(jī)構(gòu)各零件的強(qiáng)度、確定機(jī)械效率及機(jī)械工作時(shí)能克服的阻力矩等因素具有非常重要的作用.

本研究抽象出插床六桿機(jī)構(gòu)的矢量模型，建立數(shù)學(xué)模型，使用Matlab/Simulink中的積分模塊對(duì)插刀進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，將插刀的位移、速度和加速度曲線可視化，以便直觀地表達(dá)插刀的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.計(jì)及摩擦力的機(jī)構(gòu)靜力分析，借助摩擦圓和相對(duì)角速度的轉(zhuǎn)向獲得各構(gòu)件的摩擦總反力方向，求解各構(gòu)件的靜力平衡方程，在工作阻力已知的情況下確定主動(dòng)件上的平衡力矩隨時(shí)間變化的規(guī)律.

1插床六桿機(jī)構(gòu)的矢量模型

圖1　插床六桿機(jī)構(gòu)Fig.1　Slotting machine six bar linkage

插床六桿機(jī)構(gòu)如圖1所示，ABCD為雙曲柄機(jī)構(gòu)，主動(dòng)件AB和從動(dòng)件CD作整周運(yùn)動(dòng)，BC為連桿,ADT為機(jī)架，DST為曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，滑塊T為插床的插刀.對(duì)機(jī)構(gòu)中的各個(gè)構(gòu)件用帶箭頭的直線表示為位移矢量，位移矢量的大小即構(gòu)件的長(zhǎng)度, 矢量與x軸正向所夾的角即為構(gòu)件的夾角(逆時(shí)針為正).將雙曲柄機(jī)構(gòu)ABCD和曲柄滑塊機(jī)構(gòu)DST看成封閉矢量多邊形，由復(fù)數(shù)矢量法可知

AB+BC=AD+DC,

(1)

DS+ST=DT.

(2)

將式(1)和式(2)中各矢量分別向x軸和y軸投影，得到投影方程為

(3)

2用積分模塊法建立仿真模型

分別對(duì)式(3)的4個(gè)方程求導(dǎo)，得到速度方程組：

(4)

將方程組(4)寫成矩陣形式：

(5)

對(duì)式(5)求導(dǎo)，得到加速度方程組的矩陣表達(dá)式：

.　(6)

對(duì)插床六桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真分析時(shí)，初始條件必須滿足相容性，設(shè)主動(dòng)曲柄的初始位置為0 rad，角速度為1 rad/s，其他構(gòu)件的位移和速度初始值可根據(jù)公式(4)和(5)求得，見(jiàn)表1.

設(shè)六桿機(jī)構(gòu)中l(wèi)1=90 mm，l2=120 mm，l3=140 mm，l4=200 mm，l0=60 mm，主動(dòng)曲柄的初始位置θ1=0 rad，角速度ω1=1 rad/s(6.28 s為1個(gè)周期)，仿真時(shí)間為10 s.

求解加速度方程需要編寫Matlab函數(shù)myfun_sixbar，該函數(shù)的輸入?yún)?shù)為各個(gè)構(gòu)件的位移和速度，輸出參數(shù)為各個(gè)構(gòu)件的加速度.利用Simulink積分模塊，通過(guò)加速度計(jì)算速度和位移，過(guò)程如圖2所示.

圖2　積分模塊法表示的插床六桿機(jī)構(gòu)的仿真模型Fig.2　Simulation model of slotting machine six bar linkage used integral module method

為了觀察插刀的位移、速度和加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在模型的相關(guān)位置分別安裝示波器，以實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的可視化，見(jiàn)圖3至圖5.

圖3　插床六桿機(jī)構(gòu)中插刀的位移曲線Fig.3　Displacement curve of slotting tool in slotting machine

圖4　插床六桿機(jī)構(gòu)中插刀的速度曲線Fig.4　Speed curve of slotting tool in slotting machine

圖5　插床六桿機(jī)構(gòu)中插刀的加速度曲線　　Fig.5　Acceleration curve of slotting tool　　　in slotting machine

從圖3可知，插刀一個(gè)周期的用時(shí)約6.2 s，行程約260 mm，工作行程用時(shí)約3.9 s，而返回行程用時(shí)僅約2.3 s,這說(shuō)明插床六桿機(jī)構(gòu)具有急回運(yùn)動(dòng).從圖4和圖5可知，插刀的工作行程近似符合等加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而在返回行程的初始階段,速度顯著增大，隨后又急劇變小，致使加速度有較大的峰值，說(shuō)明此時(shí)構(gòu)件受到了較大的慣性沖擊力，為類似的機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了改進(jìn)的方向.

3計(jì)及摩擦力時(shí)的機(jī)構(gòu)靜力分析

插刀5上作用有工作阻力F，假設(shè)最大工作阻力F=1 000 N，摩擦系數(shù)為f=0.1 ，則摩擦角φ=arctanf.各鉸鏈的銷釘半徑r=10 mm，當(dāng)量摩擦系數(shù)為fv時(shí)，摩擦圓半徑ρ=fvr.Fij表示第j個(gè)構(gòu)件受到第i個(gè)構(gòu)件的摩擦總反力，方向與摩擦圓相切，指向與相對(duì)角速度的轉(zhuǎn)向相反，如圖6所示.

插刀5受到了三力作用，如圖6 (a)所示，三力匯交于一點(diǎn)，F(xiàn)是已知的工作阻力，由力的三角形可得

(5)

式中,γ4=arcsin(2ρ/l4).

由圖6 (b)的受力分析可知，F(xiàn)23和F43對(duì)F63的作用點(diǎn)取力矩，得到

(6)

式中,γ2=arcsin(2ρ/l2).

圖6　考慮摩擦?xí)r機(jī)構(gòu)的受力分析Fig.6　Force analysis considering the friction mechanism

構(gòu)件1受摩擦總反力F21,F61和驅(qū)動(dòng)力矩Mq的作用，由F21和F61構(gòu)成的一對(duì)力偶與驅(qū)動(dòng)力矩Mq平衡.

由圖6 (c)的受力分析可知,主動(dòng)件上等效阻力矩

Mq=F21(2ρ+l1sin(θ1+θ2-γ2)).

(7)

根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，得到F45=-F54=F34=-F43，F(xiàn)23=-F32=F12=-F21.

將式(5)和式(6)代入式(7)中，得到主動(dòng)件上等效阻力矩的計(jì)算公式:

圖7　主動(dòng)件上等效阻力矩隨時(shí)間變化的曲線Fig.7　Equivalent resistance torquecurve over time in the active piece

編寫Matlab程序myfun_mq，以θ1,θ2,θ3,θ4為輸入?yún)?shù)，Mq為輸出參數(shù)，將myfun_mq嵌入仿真模型中通過(guò)示波器將Mq的變化規(guī)律可視化，如圖7所示.

主動(dòng)件上的等效阻力矩以6.28 s為周期變化，由于返回行程時(shí)F=0，故應(yīng)將橫坐標(biāo)3.7~5.8 s的等效阻力矩設(shè)定為0 Nmm，從而等效阻力矩的最大值為1.7×105Nmm，并且出現(xiàn)在工作行程即將結(jié)束時(shí).

4結(jié)語(yǔ)

本研究用Matlab/Simulink中的積分模塊實(shí)現(xiàn)了插床六桿機(jī)構(gòu)中插刀的位移、速度與加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律的可視化.提出了計(jì)及摩擦力的機(jī)構(gòu)靜力學(xué)分析，借助摩擦圓和相對(duì)角速度的轉(zhuǎn)向得到了各構(gòu)件運(yùn)動(dòng)副上摩擦總反力的方向，通過(guò)靜力平衡方程求得摩擦總反力的大小，并獲得了主動(dòng)件上所能克服的等效阻力矩隨時(shí)間變化的規(guī)律.

參考文獻(xiàn)：

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跟蹤精度和響應(yīng)速度.采用Lyapunov穩(wěn)定定義分析了所提滑模結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，保證了系統(tǒng)狀態(tài)量向平衡點(diǎn)有效收斂.引入飽和函數(shù)方法，降低了滑?？刂频亩墩駟?wèn)題，最后以Matlab仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方案的有效性.

Kinematics and statics analysis for six bar linkage in slotting machine

YE Sudi1, XU Jinghua2

(1.InstituteofElectricalEngineering，WuhuInstituteofTechnology，Wuhu241006,China;

2.DepartmentofMechanicalEngineering,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)

Abstract:In the slotting machine the slotting tool moved up and down which is directly related to the cutting efficiency for workpiece. The vector model of slotting machine six bar linkage is established, matlab/simulink integral module method is used to establish the simulation diagram, reasonable initial conditions are set up to visualize displacement, velocity and acceleration curve. The friction force is always tangent to the friction circle, and its moment to hinge center is contrary to the relative angular velocity, the static equilibrium equations are solved of each components. Ultimately the active parts should be applied to the driving moment on the law of the change over time.

Key words:slotting machine six bar linkage; kinematics; integral module method; statics; friction circle

作者簡(jiǎn)介：葉素娣(1969-)，女，浙江上虞人，副教授，主要研究方向?yàn)镃AD/CAM.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金青年-面上連續(xù)資助項(xiàng)目(51005204，51375012);浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Y13E050014)

收稿日期：2014-09-21

中圖分類號(hào)：TH112.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-330X(2015)01-0039-05