管立芬

數(shù)學題目對解題思路的“誤導”一般有四種情況：

一、題型的“誤導”

例1 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，BA1與對角面BB1D1D所成的角為（ ）.

A.30° B.45° C.60° D.90°

分析 這道題經(jīng)常出現(xiàn)在各種資料中，而且某市還將它作為一道高中畢業(yè)會考題.給出的標準答案是A，許多考生也選A，實際上這是一道錯題，角不確定，沒有答案.為什么命題人和不少考生沒有發(fā)現(xiàn)問題都選A呢？這就是“選擇題”這一題型的“誤導”.平時學習中得到經(jīng)驗：選擇題可以通過取特例找到正確選項.由于正方體是長方體的特例，故此題把長方體看成正方體也應成立，從而選得A.

由此也說明，選擇題是可以用特例排除選擇支，但一定要注意，特例不成立時一定是錯誤的，成立時卻不一定正確.

二、圖形的“誤導”

例2 如圖1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，則點A到平面A1BC的距離是 .

分析 由于求點到平面的距離一般有兩種方法，一是直接做出點到面的垂線，再構(gòu)造三角形求垂線段的長；二是利用棱錐體積變化來求解.此題圖是直三棱柱，許多學生想到用方法二：設點A到平面A1BC的距離是h，即三棱錐A-A1BC的高為h，由VA-A1BC=VA1-ABC，即 1 3 S△A1BC·h= 1 3 S△ABC·AA1，求h.

設BC=b，則S△A1BC= 1 2 BC·A1C= 2 2 ab，

S△ABC= 1 2 ab，∴h= 2 2 a.

做完后發(fā)現(xiàn)結(jié)果與BC長無關，且有一定的計算量，可能這不是最佳方法.確實，從以上解法也看出，過A做AH⊥A1C于H，∵A1A⊥BC，AC⊥BC，∴BC⊥面A1C，∴面A1BC⊥面A1C，∴AH⊥面A1BC，故AH即A到面A1BC的距離.

在Rt△A1AC中，AH= AC·A1A A1C = a2 2 a = 2 2 a.

出現(xiàn)以上“小題大作”的原因，一是解題心理作怪，總認為間接法，有技巧性的思維方法總是先進些，快捷些；二是圖的“誤導”，“誤導”我們的思路進入第二種方法的樊籬.

圖1 圖2

例3 某汽車運輸公司，購買一批毫華大客車投入客運.據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤y（十萬元）與營運年數(shù)x（x∈ N ）的二次函數(shù)關系如圖2所示，據(jù)此分析可判斷，欲使每輛客車其營運的年平均利潤最大，則每輛客車應營運的年數(shù)是（ ）.

A.4 B.5 C.6 D.7

分析 不少學生受圖2的“誤導”，圖2是一個拋物線，有最大值，而題目問的也是最大值，故選C.

事實上C是錯誤的.圖2中的最大值和題目中問的最大值是兩個截然不同的值.從圖2可得函數(shù)關系式，設y=a（x-6）2+11（a<0）.將x=4代入得7=a（4-6）2+11，求得a=-1.

故y=-x2+12x-25，從而年平均利潤

W= y x =-x- 25 x +12≤-10+12=2.

即年平均利潤的最大值為20萬元.

此時x= 25 x ，x=5，故選B.

對有圖形的問題，一定要讀懂題意和圖意，充分利用圖形所給的信息來解題，不要被圖形所“誤導”.同時也告訴我們在解有關圖形問題時，沒有給出圖形的話，一定要先正確畫好圖形，畫出一個直觀的圖形等于解決了問題的一半，若圖形畫得不正確，或不直觀，則不僅難以讀懂題意，而且還容易被錯圖誤導思路.

三、設問的“誤導”

例4

圖3

如圖3，已知BB1、CC1是Rt△ABC所在平面同側(cè)的兩條相等且平行的斜線段，它們與平面ABC所成的角均為60°，線段BB1的端點B1在平面ABC上的射影M恰為BC的中點.已知BC=2 cm，∠ACB=90°.求異面直線AB1與BC1所成的角.

分析 許多學生一看到求異面直線間的夾角，就想到平移法.將BC1平移，使B落在B1？落在A？或平移AB1，使得A落在B？落在C1？都難以得到一個很直觀易懂的圖形，更難以構(gòu)造出一個可解的三角形.于是望而卻步，難以求解.

事實上由B1M⊥面ABC，得∠B1BC=60°，∴BC=BB1，故四邊形BB1C1C為菱形，

BC1⊥B1C，又AC⊥BC，B1M⊥AC，所以AC⊥面BB1C1C，從而AC⊥BC1，BC1⊥面AB1C，BC1⊥AB1.故異面直線AB1與BC1所成的角為90°.

顯然這是一個借助線面垂直證明線線垂直，以求得兩異面直線之間的夾角的問題. 為什么會出現(xiàn)前面的思維壁壘呢？一是由于頭腦中思維定勢的影響，求異面直線的夾角就只想到平移→構(gòu)造三角形→解三角形這一常規(guī)方法；二是設問的“誤導”， 若此問改為“求證BC1⊥AB1”或“證明異面直線AB1與BC1所成的角為90°”就可能不會出現(xiàn)思維壁壘了.

例5 已知函數(shù)f（x）=log2（1+x）+alog2（1-x）（a∈ R ）.

函數(shù)f（x）的圖象關于原點中心對稱的充要條件是什么？證明你的結(jié)論.

分析 首先想到該題是求中心對稱的問題.設（x0，y0）是f（x）圖象上任一點，即y0=log2（1+x0）+alog2（1-x0），若圖象關于原點對稱，即點（-x0，-y0）也在圖象上，也就是-y0=log2（1-x0）+alog2（1+x0），∴l(xiāng)og2（1+x0）+alog2（1-x0）=-log2（1-x0）-alog2（1+x0），∴（a+1）[log2（1+x0）+log2（1-x0）]=0.

由x0的任意性（x0∈（-1，1））得a+1=0，∴a=-1.

再證明f（x）=log2（1+x）-log2（1-x）的圖象關于原點對稱.

事實上，f（x）的圖象關于原點中心對稱的充要條件是f（x）為奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x）.

故只要令f（-x）=-f（x），求得a=-1.

出現(xiàn)以上“繁解”的原因是由于概念不清，不會等價轉(zhuǎn)化.從而被設問“誤導”所致.

四、條件的“誤導”

例6 若實數(shù)m，n，x，y滿足x2+y2=a，m2+n2=b（a≠b），則mx+ny的最大值為（ ）.

A. ab B. a+b 2 C. a2+b2 2 D. ab a+b

分析 由x2，y2，m2，n2，mx，ny，就想到均值不等式：x2+m2≥2mx，y2+n2≥2ny，相加得a+b≥2（mx+ny）.∴mx+ny≤ a+b 2 .故選B.

事實上以上解法是錯誤的，這個最大值 a+b 2 取不到，因為若要取到必須前兩個不等式都取等號，即m=x，n=y，這樣就有a=b.與已知矛盾，出現(xiàn)這一錯誤解法是由于已知條件與學過的知識相類似，從而“誤導”出現(xiàn)的.

此題可用三角代換來解，有興趣的可以試一試.

例7 首項是 1 25 ，從第10項開始，每一項都比1大，則該等差數(shù)列的公差的取值范圍是 .

分析 由等差數(shù)列的通項公式an= 1 25 +（n-1）d，得a10= 1 25 +9d>1.

解得d> 8 75 .許多學生做到這里就完成了，填上d> 8 75 萬事大吉.

其實這個結(jié)論只對了一半，題目說“從第10項開始，每一項都比1大”，言下之意還指出前9項都不超過1，即 1 25 +（n-1）d≤1（n≤9，n∈ N +），也就是d≤ 24 25（n-1） ，令n=9得d≤ 3 25 ，所以正確結(jié)果應是： 8 75

例8 平面內(nèi)一動點到定直線的距離與它到定點的距離之比等于log32，那么動點的軌跡是（ ）.

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓

分析 由于到定直線的距離與它到定點的距離之比就想到圓錐曲線的第二定義，由0

選A是錯誤的，應選B.利用圓錐曲線的第二定義，一定要注意比的順序，即到定點與到定直線的距離之比為常數(shù)e，題中的log32= 1 e ，由01，應是雙曲線.

所以，審題一定要仔細，不要被個別詞語、式子的特點、數(shù)字的特征等表面現(xiàn)象“誤導”，要深挖已知條件和隱含條件.

從以上的分析看出，題目給予我們解題思路的“誤導”，過不在題意，有時可能還是命題者設的一個“陷阱”，其過在于我們自己，在于固有的知識，經(jīng)驗和思維定勢的影響，以致沒能充分理解題意.所以在平時訓練時，一定要加強思維靈活性的訓練，充分理解題意，發(fā)掘出題中的隱含條件，避免“誤解”題意，陷入命題者所設埋伏圈中.