謝建華

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都610031)

Lagrange問題與平均運(yùn)動(dòng)

謝建華

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都610031)

[摘要]介紹了天體力學(xué)中的Lagrange問題，并結(jié)合三連桿機(jī)構(gòu)模型，討論了Weyl解決這個(gè)問題的基本思想和關(guān)于平均運(yùn)動(dòng)的主要結(jié)論.

[關(guān)鍵詞]天體力學(xué)； Lagrange問題； 平均運(yùn)動(dòng)； 遍歷性； Weyl

1引言

圖1　托勒密的本輪系統(tǒng)

在哥白尼(1473-1543)之前，人們以為地球是世界的中心，其它星體都圍繞著地球旋轉(zhuǎn).托勒密為解釋行星的視運(yùn)動(dòng)問題，提出所謂的本輪系統(tǒng).根據(jù)這個(gè)系統(tǒng)，行星沿著一個(gè)小圓作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這個(gè)小圓稱為本輪(epicycle)，本輪的圓心也沿著一個(gè)大圓的中心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這個(gè)大圓稱為均輪(deferent)(圖1(a)).為描述火星的運(yùn)動(dòng)，托勒密加了第二個(gè)本輪，火星在第二本輪上勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而第二個(gè)本輪的圓心又在第一個(gè)本輪上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圖1(b)).后來，隨著觀測精度的提高，為了使理論值與火星的觀測數(shù)據(jù)一致，本輪的數(shù)目也一再增加，到了十八世紀(jì)，本輪的數(shù)目竟達(dá)到了22個(gè)[1].

今天，托勒密本輪系統(tǒng)已成為了歷史，但是，與 其相關(guān)聯(lián)的所謂Lagrange問題卻在數(shù)學(xué)和力學(xué)發(fā)展史上占據(jù)了重要的地位.特別是Weyl[2，3]將遍歷理論、概率論和復(fù)變函數(shù)方法巧妙地結(jié)合，解決了Lagrange問題，得到了平均運(yùn)動(dòng)的一般性結(jié)論，成為了數(shù)學(xué)和力學(xué)完美結(jié)合一個(gè)范例，值得玩味和欣賞.可惜的是Weyl的工作所牽涉的數(shù)學(xué)概念和工具較多，而且原始文獻(xiàn)年代久遠(yuǎn)，不易獲得，這給一般的讀者帶了很多的不便.本文結(jié)合理論力學(xué)中的三連桿機(jī)構(gòu)模型，介紹了Weyl解決Lagrange問題的主要技巧和關(guān)于平均運(yùn)動(dòng)的主要結(jié)論.

2Lagrange問題

圖2　Lagrange問題的簡化模型

假設(shè)頻率ω1，ω2，ω3是非共振的[4，5]，即若整數(shù)k1，k2，k3，使

k1ω1+k2ω2+k2ω3=0，

則k1=k2=k3=0.

設(shè)

φ1=ω1t+α1，φ2=ω2t+α2，φ3=ω3t+α3，

及

θ1=φ1/2π，θ2=φ2/2π，θ3=φ3/2π，θ=φ/2π.

將z表示成

(1)

另一方面z=re2πiθ，對其關(guān)于t求導(dǎo)，得

(2)

用1/(2πiz)乘(2)式兩邊，利用

可得

(3)

將(1)代入(3)，得

(4)

其中λi=ωi/2π(i=1，2，3).由(4)

(5)

由于(θ1，θ2，θ3)∈T3(三維環(huán)面)，而且(5)中的被積函數(shù)Re(aie2πiθi/z)在T3上是Riemann可積的，根據(jù)平均值相等定理(Kronecker-Weyl定理)[5，6]

(6)

令θ=θ3，(6)可寫成

(7)

圖3　復(fù)平面上的積分環(huán)路

考慮積分(7)，對取定的θ1和θ2，如果

|a1e2πiθ1+a2e2πiθ2|

(8)

(7)最里層是沿以A2為中心、半徑為a3圓C上的積分，且z=0在此圓的內(nèi)部(圖3(a))，故

(9)

如果|a1e2πiθ1+a2e2πiθ2|>a3，則z=0在圓C的外部(圖3(b))，積分(9)為0.

如果取定θ2和θ3，而讓θ=θ1變化，或取定θ1和θ3，而讓θ=θ2變化，關(guān)于W1和W2的積分也有相同的結(jié)果(圖3(c)，(d)).

如果用P(|a1e2πiθ1+a2e2πiθ2|

W3=P(|a1e2πiθ1+a2e2πiθ2|

(10)

同理

W1=P(|a2e2πiθ2+a3e2πiθ3|

(11)

于是，由(5)，得

(12)

(13)

如果ω1=ω2=ω3=ω0，顯然ω=ω0，由(13)可得

W1+W2+W3=1.

(14)

例假設(shè)a1>a2+a3，那么對任何(θ1，θ2，θ3)∈T3，有

|a2e2πiθ2+a3e2πiθ3|

于是W1=1，從而W2=W3=0，由(13)，ω=ω1.

上例中的特殊情況稱為Lagrange情形，對三桿能構(gòu)成一個(gè)三角形的非Lagrange情形，Bohr給出一般的解答：πWi是三角形邊ai對應(yīng)角的角度[2，5].

3結(jié)論語

Lagrange問題起源于關(guān)于太陽系的穩(wěn)定性研究：由于太陽系中各行星的軌道幾乎在同一個(gè)平面內(nèi)，并近似為圓形軌道，Lagrange考慮了連接太陽和行星的向量(Laplace向量)，在攝動(dòng)一次近似理論之下，Laplace向量受行星相互引力作用的影響，其運(yùn)動(dòng)如同勻速旋轉(zhuǎn)的向量.Lagrange計(jì)算了太陽系中各行星的頻率ωk和振幅ak，除地球和金星以外(非Lagrange情形)，計(jì)算出了其余各行星近日點(diǎn)的平均運(yùn)動(dòng)[5].研究表明行星軌道的離心率在原點(diǎn)附近作很小的周期性振蕩，因此太陽系是穩(wěn)定的；地球軌道離心率的振蕩周期性是與地球上冰期的變化規(guī)律密切相關(guān)的[5]；另外，關(guān)于Lagrange問題和平均運(yùn)動(dòng)的研究也促進(jìn)了擬周期函數(shù)和遍歷理論的發(fā)展[6]；在對Lagrange問題研究中還發(fā)現(xiàn)了一些十分有趣的流形的拓?fù)鋵W(xué)問題[2]，因此Lagrange問題研究的理論和應(yīng)用意義都是很大的.

[參考文獻(xiàn)]

[1]劉步林.數(shù)學(xué)在天文學(xué)中的運(yùn)用[M].北京:科學(xué)出版社，1979.

[2]Weyl H. Mean motion[J]. Amer. J. of Math.， 1938，60:889-896.

[3]Weyl H. Mean motion(II)[J]. Amer. J. of Math.， 1939，61:143-148.

[4]Sternberg S . Celestial Mechanics[M]. New York:W.A.Benjamin，Inc.，1969.

[5]阿諾爾德B N.常微分方程續(xù)論—常微分方程的幾何理論[M]. 齊民友譯.北京:科學(xué)出版社，1989.

[6]Arnold V I， Avez A. Ergodic Problems of Classical Mechanics[M]. New York:W.A.Benjamin，Inc.，1968.

Lagrangian Problem and Mean Motion

XIEJian-hua

(School of Mechanics and Engineering， Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)

Abstract:This paper has introduced the Lagrangian problem in celestial mechanics ， and by using the three bar’s model ， we discussed Weyl’s idea to solve this problem and his key results for mean motion.

Key words:celestial mechanics; Lagrangian problem; mean motion; ergodicity; Weyl

[中圖分類號(hào)]O312.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0123-04