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        實(shí)伴隨矩陣的原矩陣

        2015-12-21 06:24:08黃艷寧胡志廣
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年4期

        黃艷寧, 胡志廣

        (天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津300387)

        實(shí)伴隨矩陣的原矩陣

        黃艷寧,胡志廣

        (天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津300387)

        [摘要]給出實(shí)數(shù)域上關(guān)于伴隨矩陣方程X*=A解的討論.

        [關(guān)鍵詞]伴隨矩陣; 原矩陣; 實(shí)矩陣

        1引言

        伴隨矩陣是由方陣構(gòu)造出的一類矩陣,在矩陣?yán)碚撗芯恐姓加休^為重要的地位,而且關(guān)于伴隨矩陣的內(nèi)容非常豐富,可參考文獻(xiàn)[2].作為一個(gè)自然的問(wèn)題,就是伴隨矩陣的原矩陣的存在性問(wèn)題.文獻(xiàn)[3]討論了復(fù)數(shù)域上原矩陣的存在性及原矩陣存在時(shí)一般表達(dá)問(wèn)題.本文將在實(shí)數(shù)域上討論這個(gè)問(wèn)題.

        本文中A表示n階方陣,E表示n階單位矩陣,而A*表示A的伴隨矩陣,r(A)表示矩陣A的秩,|A|表示A的行列式,其中n是大于1的正整數(shù).

        2基礎(chǔ)知識(shí)

        引理1AA*=A*A=|A|E,且在A可逆時(shí),有A*=|A|A-1.

        引理2|A*|=|A|n-1.

        引理4設(shè)k為非零常數(shù),則(kA)*=kn-1A*.

        引理5設(shè)B為n階方陣,則(AB)*=B*A*.

        引理6矩陣方程X*=diag(1,0,…,0)的解為

        其中B為行列式為1的n-1階方陣.

        證顯然X不可逆.在方程兩邊左乘X,據(jù)引理1有

        XX*=Xdiag(1,0,…,0)=O.

        于是X的第一列全為零.同樣考慮右乘X,得X的第一行全為零.從而有

        由伴隨矩陣的定義,B為行列式為1的n-1階方陣.反之顯然.

        3主要結(jié)果

        引理7設(shè)r(A)=1時(shí),則在實(shí)數(shù)域上存在行列式為正的矩陣P,Q,使得

        A=Pdiag(1,0,…,0)Q.

        (*)

        證由矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形理論,存在n階實(shí)可逆陣P,Q,使得

        A=Pdiag(1,0,…,0)Q.

        可以假定P,Q的行列式均為正,否則可用Pdiag(1,…,1,-1),diag(1,…,1,-1)Q代替上面的P,Q即可,引理得證.

        定理1設(shè)A為n≥3階的實(shí)矩陣,則實(shí)數(shù)域上矩陣方程X*=A解的情況為

        (i) 當(dāng)1

        (ii) 當(dāng)r(A)=n時(shí),

        (iii) 當(dāng)r(A)=1時(shí),方程有無(wú)窮解,且當(dāng)A有分解式(*)時(shí),方程的解為

        其中B為行列式為1的任意n-1階實(shí)方陣.

        (iv) 當(dāng)r(A)=0時(shí),方程有無(wú)窮個(gè)解,且任意秩小于n-1的矩陣都是解.

        證(i),(iv)顯然.

        (ii) 因A=X*=|X|X-1,故X=|X|A-1.又由引理2知,|A|=|X*|=|X|n-1.下面對(duì)n的奇偶性做討論:

        (iii) 當(dāng)r(A)=1時(shí),A有分解式(*).于是

        P-1X*Q-1=diag(1,0,…,0).

        由(ii)知

        從而由引理5,得

        再由引理7,易得方程解所具有的形式,且易驗(yàn)證就是所有的解.顯然這樣的矩陣X有無(wú)窮多個(gè).

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京: 高等教育出版社, 2003:177-193.

        [2]韓成茂. 伴隨矩陣性質(zhì)研究[D]. 濟(jì)南: 山東大學(xué), 2008.

        [3]王新哲. 伴隨矩陣的反問(wèn)題[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 1994, (5), 36-38.

        [4]柯鏵,柯科. 伴隨矩陣的原矩陣[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013,38(6): 4-7.

        OriginalMatrixofaRealAdjointMatrix

        HUANG Yan-ning,HU Zhi-guang

        (CollegeofMathematicsandScience,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China)

        Abstract:ThispaperdiscussesthesolutionsoftheadjointmatrixequationX*=Aintherealfield.

        Keywords:adjoinmatrix;originalmatrix;realmatrix

        [中圖分類號(hào)]O151.21

        [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

        [文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0087-03

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