鐘文體
(華南師范大學數(shù)學科學學院,廣州510631)
華羅庚不等式在Hermite矩陣乘積的特征值估計中的應用
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(華南師范大學數(shù)學科學學院,廣州510631)
[摘要]基于華羅庚在研究多復變函數(shù)時發(fā)現(xiàn)的一個行列式不等式給出Hermite矩陣乘積的特征值的估計.
[關(guān)鍵詞]Hermite矩陣; 矩陣乘積; 特征值; 估計
1引言
設(shè)A是復數(shù)域上的n×n矩陣,這里用′表示A的共軛轉(zhuǎn)置,det(A)表示A的行列式.
2主要結(jié)果
當且僅當Z=W時,等號成立.
引理2設(shè)A是復數(shù)域上的n階方陣,λ1,λ2,…,λn是A的全部特征根(重根按重數(shù)計),令f(x)是復數(shù)域上的次數(shù)大于1的多項式,則f(A)的全部特征根為f(λ1),f(λ2),…,f(λn).
引理3設(shè)A是復數(shù)域上的n階可逆方陣,其全部特征值為λ1,λ2,…,λn(重根按重數(shù)計),則A-1的全部特征值為,,…,.
這里略去引理2和引理3的證明,因為讀者能在眾多的參考文獻中找到其證明.
由這幾個引理,我們可以得到本文的第一個主要結(jié)果.
定理1設(shè)A和B是n階可逆Hermite矩陣,設(shè)A的所有特征值為λ1,λ2,…,λn,B所有特征值為μ1,μ2,…,μn,記
則對AB任一特征值v,都有|v|∈[m1m2,M1M2].
證分兩步來證明這個定理.
(i) 設(shè)a是復數(shù),且滿足|a|>M1M2,則存在復數(shù)s,t使得a=st且|s|>M1,|t|>M2.由引理2,Hermite矩陣
的所有特征值為
Hermite矩陣A的所有特征值λ1,λ2,…,λn都為實數(shù),由假定,有
于是,矩陣
是正定Hermite矩陣.同理,矩陣
于是
|det(aI-AB)|2=|det(stI-AB)|2=s2nt2n|det(I-s-1t-1AB)|2≠0,
從而,矩陣aI-AB可逆,a不是AB的特征值.
(ii) 考慮矩陣A-1B-1.設(shè)a∈且滿足0<|a| 于是,轉(zhuǎn)化為(i)的情形,由(i)知|det(a-1I-A-1B-1)|2≠0,則 |det(AB-aI)|2=a2n|det(A)|2|det(a-1I-A-1B-1)|2|det(B)|2≠0, 從而矩陣AB-aI可逆,即aI-AB可逆,a不是AB的特征值. 綜合(i)和(ii)可知,對AB的任一特征值v,有|v|∈[m1m2,M1M2]. 從定理1的證明過程,可直接得到定理2. 定理2設(shè)A和B都是n階Hermite矩陣,A或B不可逆.設(shè)A的所有特征值λ1,λ2,…,λn,B的所有特征值μ1,μ2,…,μn,記 則對AB的任一特征值v,都有|v|∈[0,M1M2]. 在定理1和定理2中,AB的特征值v不一定是實數(shù),有可能是虛數(shù).但如果我們把條件加強一些,能得到更好的結(jié)論.為此,先給出若干引理. 引理5A是n階半正定Hermite矩陣?存在半正定Hermite矩陣C,使得A=C2. 證先證必要性.存在酉矩陣U,使得 其中λi是A的特征根,都為實數(shù)且λi≥0,i=1,2,…,n.于是 記 則A=C2,C是半正定Hermite矩陣. 從而A是半正定Hermite矩陣. 下面是一個重要的引理. 引理6設(shè)A,B為復數(shù)域上的m階矩陣,則AB和BA有完全相同的特征根,且對應特征根的重數(shù)也相同. 證考慮矩陣 其中,Im是m階單位陣.下面我們總假定λ≠0,對等式 兩邊取行列式,得 同樣,對等式 兩邊取行列式,有 于是,λ≠0時,有det(λ2Im-BA)=det(λ2Im-AB),即det(tIm-BA)=det(tIm-AB)對任意t>0都成立.從而AB和BA有相同的特征多項式,于是有相同的特征根,且對應特征根的重數(shù)也相同. 由上述引理即可證明比定理1和定理2更好的結(jié)論. 定理3若A,B都是半正定Hermite矩陣,則AB的所有特征根均為非負實數(shù). 結(jié)合定理1和定理3,有 定理4設(shè)A和B都是n階半正定Hermite矩陣,設(shè)A的所有特征值為λ1,λ2,…,λn,B的所有特征值為μ1,μ2,…,μn,記 則AB的所有特征值vi都是實數(shù),且|v|∈[m1m2,M1M2],i=1,2,…,n. [參考文獻] [1]華羅庚.一個關(guān)于行列式的不等式[J].數(shù)學學報,1955,5(4):463-470. [2]許以超.線性代數(shù)與矩陣論[M]. 北京:高等教育出版社,2008. [3]許以超.代數(shù)學引論[M].上海:上??茖W技術(shù)出版社,1983. [4]張賢科,許甫華.高等代數(shù)學[M].北京:清華大學出版社,2004. TheApplicationsofHuaLoo-KengInequalityintheEstimationofEigenvaluesInvolvingtheProductofHermitianMatrices ZHONG Wen-ti (SchoolofMathematicalSciences,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China) Abstract:ThispapergivestheestimationoftheeigenvaluesofABwhichA,BareHermitianmatricesbasedonainequalitywhichHuaLoo-Kengprovedinthestudyofthefunctionsofseveralcomplexvariables. Keywords:Hermitianmatrices;productofmatrices;eigenvalues;estimation [中圖分類號]O151.21 [文獻標識碼]A [文章編號]1672-1454(2015)04-0083-04