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(華南師范大學數(shù)學科學學院，廣州510631)

華羅庚不等式在Hermite矩陣乘積的特征值估計中的應用

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(華南師范大學數(shù)學科學學院，廣州510631)

[摘要]基于華羅庚在研究多復變函數(shù)時發(fā)現(xiàn)的一個行列式不等式給出Hermite矩陣乘積的特征值的估計.

[關(guān)鍵詞]Hermite矩陣； 矩陣乘積； 特征值； 估計

1引言

設(shè)A是復數(shù)域上的n×n矩陣，這里用′表示A的共軛轉(zhuǎn)置，det(A)表示A的行列式.

2主要結(jié)果

當且僅當Z=W時，等號成立.

引理2設(shè)A是復數(shù)域上的n階方陣，λ1,λ2,…,λn是A的全部特征根(重根按重數(shù)計)，令f(x)是復數(shù)域上的次數(shù)大于1的多項式，則f(A)的全部特征根為f(λ1),f(λ2),…,f(λn).

引理3設(shè)A是復數(shù)域上的n階可逆方陣，其全部特征值為λ1,λ2,…,λn(重根按重數(shù)計)，則A-1的全部特征值為,,…,.

這里略去引理2和引理3的證明，因為讀者能在眾多的參考文獻中找到其證明.

由這幾個引理，我們可以得到本文的第一個主要結(jié)果.

定理1設(shè)A和B是n階可逆Hermite矩陣，設(shè)A的所有特征值為λ1,λ2,…,λn，B所有特征值為μ1,μ2,…,μn，記

則對AB任一特征值v，都有|v|∈[m1m2,M1M2].

證分兩步來證明這個定理.

(i) 設(shè)a是復數(shù)，且滿足|a|>M1M2，則存在復數(shù)s,t使得a=st且|s|>M1，|t|>M2.由引理2,Hermite矩陣

的所有特征值為

Hermite矩陣A的所有特征值λ1,λ2,…,λn都為實數(shù)，由假定，有

于是，矩陣

是正定Hermite矩陣.同理，矩陣

于是

|det(aI-AB)|2=|det(stI-AB)|2=s2nt2n|det(I-s-1t-1AB)|2≠0,

從而，矩陣aI-AB可逆，a不是AB的特征值.

(ii) 考慮矩陣A-1B-1.設(shè)a∈且滿足0<|a|

于是，轉(zhuǎn)化為(i)的情形，由(i)知|det(a-1I-A-1B-1)|2≠0，則

|det(AB-aI)|2=a2n|det(A)|2|det(a-1I-A-1B-1)|2|det(B)|2≠0,

從而矩陣AB-aI可逆，即aI-AB可逆，a不是AB的特征值.

綜合(i)和(ii)可知，對AB的任一特征值v，有|v|∈[m1m2,M1M2].

從定理1的證明過程，可直接得到定理2.

定理2設(shè)A和B都是n階Hermite矩陣，A或B不可逆.設(shè)A的所有特征值λ1,λ2,…,λn，B的所有特征值μ1,μ2,…,μn，記

則對AB的任一特征值v，都有|v|∈[0,M1M2].

在定理1和定理2中，AB的特征值v不一定是實數(shù)，有可能是虛數(shù).但如果我們把條件加強一些，能得到更好的結(jié)論.為此，先給出若干引理.

引理5A是n階半正定Hermite矩陣?存在半正定Hermite矩陣C，使得A=C2.

證先證必要性.存在酉矩陣U，使得

其中λi是A的特征根，都為實數(shù)且λi≥0，i=1,2,…,n.于是

記

則A=C2,C是半正定Hermite矩陣.

從而A是半正定Hermite矩陣.

下面是一個重要的引理.

引理6設(shè)A,B為復數(shù)域上的m階矩陣，則AB和BA有完全相同的特征根，且對應特征根的重數(shù)也相同.

證考慮矩陣

其中,Im是m階單位陣.下面我們總假定λ≠0，對等式

兩邊取行列式，得

同樣，對等式

兩邊取行列式，有

于是，λ≠0時，有det(λ2Im-BA)=det(λ2Im-AB)，即det(tIm-BA)=det(tIm-AB)對任意t>0都成立.從而AB和BA有相同的特征多項式，于是有相同的特征根，且對應特征根的重數(shù)也相同.

由上述引理即可證明比定理1和定理2更好的結(jié)論.

定理3若A,B都是半正定Hermite矩陣，則AB的所有特征根均為非負實數(shù).

結(jié)合定理1和定理3，有

定理4設(shè)A和B都是n階半正定Hermite矩陣，設(shè)A的所有特征值為λ1,λ2,…,λn，B的所有特征值為μ1,μ2,…,μn，記

則AB的所有特征值vi都是實數(shù)，且|v|∈[m1m2,M1M2]，i=1,2,…,n.

[參考文獻]

[1]華羅庚.一個關(guān)于行列式的不等式[J].數(shù)學學報，1955，5(4):463-470.

[2]許以超.線性代數(shù)與矩陣論[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[3]許以超.代數(shù)學引論[M].上海：上?？茖W技術(shù)出版社，1983.

[4]張賢科，許甫華.高等代數(shù)學[M].北京：清華大學出版社，2004.

TheApplicationsofHuaLoo-KengInequalityintheEstimationofEigenvaluesInvolvingtheProductofHermitianMatrices

ZHONG Wen-ti

(SchoolofMathematicalSciences,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)

Abstract:ThispapergivestheestimationoftheeigenvaluesofABwhichA,BareHermitianmatricesbasedonainequalitywhichHuaLoo-Kengprovedinthestudyofthefunctionsofseveralcomplexvariables.

Keywords:Hermitianmatrices;productofmatrices;eigenvalues；estimation

[中圖分類號]O151.21

[文獻標識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)04-0083-04