李成博,　胡志廣，　詹華英

(1.天津大學理學院數(shù)學系,天津 300072； 2.天津師范大學 數(shù)學科學學院，天津 300387；

3.天津理工大學 理學院數(shù)學系， 天津 300384)

非對稱實矩陣合同的條件

李成博1,胡志廣2，詹華英3

(1.天津大學理學院數(shù)學系,天津 300072； 2.天津師范大學 數(shù)學科學學院，天津 300387；

3.天津理工大學 理學院數(shù)學系， 天津 300384)

[摘要]在工科大學的線性代數(shù)課程的知識范疇內(nèi)，給出了一類非對稱實矩陣的合同的判定的一個充分條件,并舉例做具體說明；此項研究回答了工科大學生在學習矩陣合同理論時經(jīng)常提出的一個疑問,可以作為工科大學線性代數(shù)教學的一個合理的補充材料.

[關(guān)鍵詞]非對稱實矩陣; 合同; 正定實矩陣; 對角化

1引言

眾所周知，兩個同階實對稱矩陣實合同(以下簡稱合同)當且僅當它們的正負慣性指數(shù)分別相等，或者說當且僅當它們的正、負特征值的個數(shù)分別相等.在第一作者給天津大學的本科生講授線性代數(shù)課程的過程中，會經(jīng)常講到下面這個習題：

(A) 相似且合同(B) 相似但不合同(C) 不相似但合同(D) 不相似且不合同

兩個矩陣的特征值相同，容易錯用實對稱矩陣合同的判定條件得到A與B合同(一個實對稱矩陣不能合同與一個非對稱實矩陣).由此，學生經(jīng)常提問：合同關(guān)系是否只存在于兩個實對稱矩陣之間？兩個非對稱實矩陣是否可以合同？如何判定？

為了回答以上問題，本文在工科線性代數(shù)的知識范疇內(nèi)，給出了對稱部分是正定矩陣的兩個非對稱實矩陣合同的一個充分條件，并舉例做具體說明.

2合同的一個必要條件

設n階實方陣A,B都是非對稱的，即A≠AT,B≠BT，其中上標T表示方陣的轉(zhuǎn)置.并記As，Aas為矩陣A的對稱和反對稱部分，即

類似的，也用Bs,Bas表示矩陣B的對稱和反對稱部分.為了敘述簡單，用記號A?B表示矩陣A與B合同.

定理1若A?B,則As?Bs.

這個定理可以用來判定兩個非對稱實矩陣不合同.

下面的例子說明定理1的逆命題不成立.

3兩個非對稱實矩陣合同的一個判定定理

如前，設A,B都是非對稱的n階實矩陣并進一步假設As是正定的.若A?B,則由定理1得Bs正定.由此，不妨也假設Bs正定.下面討論A?B成立的充分條件.為此，需要用到下面的定理.

定理2[1]設M是n階實正定矩陣，N是n階實對稱矩陣則存在可逆矩陣P滿足

PTMP=En，PTNP=diag(λ1,λ2,…,λn)，

其中λ1,λ2,…,λn是實數(shù).

定理3設可逆矩陣P滿足

PTAsP=En，PTBsP=diag(λ1,λ2,…,λn)，

其中每個λi>0.若

則

A?B.

證綜合已知條件，有

=diag(λ1,λ2,…,λn)+PTBasP=PTBsP+PTBasP=PTBP.

這就證明定理的結(jié)論.

為方便起見，給出應用定理3來判斷非對稱實矩陣合同的主要步驟(其合理性請參看后面的定理4).

第一步求解一元n次方程組|Bs-λAs|=0，得到n個正實根λ1,λ2,…,λn.

第二步對每一個λi(相同的λi只計算一次即可)，求解線性方程組(Bs-λiAs)X=0，得到通解的表達式.

第三步對第二步中的每一個線性方程組，可以選取合適的基礎解系并把這些基礎解系中的向量作為列向量組成一個n階方陣P，使得

PTAP=En，PTBP=diag(λ1,λ2,...,λn).

第四步驗證

是否成立.如果成立，則得到A?B.

解寫出兩個矩陣的對稱和反對稱部分

和

最后，容易驗證

所以，由定理3得矩陣A與B相合.

4注釋與延伸

(i) 兩個非對稱實矩陣A,B合同的一個等價刻畫是它們的對稱部分As,Bs和反對稱部分Aas,Bas同步合同,即存在(同一個)可逆矩陣P,使得

PTAsP=Bs,PTAasP=Bas.

這個問題不同于實對稱矩陣的合同，難度大，還沒有十分滿意的結(jié)果.本文的目的不是給出非對稱矩陣合同的深入完整的研究，而是像本文開始提到的那樣，在工科大學的線性代數(shù)課程的知識范疇內(nèi)，給出相對容易的一個合同的判定定理并舉出實例，希望可以作為工科大學生學習實對稱矩陣合同理論的一個補充材料.

(ii) 當對稱部分As,Bs都正定時，可以分別做滿秩線性替換X=P1Y，X=P2Y，使得

不妨從一開始就假設As=Bs=En,也就是說，

A=En+Aas，B=En+Bas.

所以，理論上來說，判斷A,B合同的問題化為了Aas,Bas(正交)合同的問題.而由正規(guī)實矩陣的結(jié)論，兩個反對稱矩陣(正交)合同當且僅當特征多項式相同[2].

(iii) 下面這個定理保證了前面提到的應用定理3來判斷非對稱矩陣合同的步驟中第一步和第三步總是可以實施的.

定理4設A是正定矩陣，B是實對稱矩陣，則存在可逆矩陣P=[X1,X2,…,Xn]滿足

BXi=λiAXi，

其中λ1,λ2,…,λn是實數(shù)，且PTAP=En,PTBP=diag(λ1,λ2,…,λn).

證設A=STS，則

|B-λA|=|A|·|(ST)-1BS-1-λEn|，

因為實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，得到|B-λA|=0有n個實根，設為λ1,λ2,…,λn.對于任一個λi，考慮其對應的線性方程組(B-λiA)X=0，由實二次型理論(或者用施密特正交化方法)可以選取一個基礎解系Xi1,Xi2,…,Xik，滿足

而對于兩個不同的λi,λj，任取X,Y分別為線性方程組

(B-λiA)X=0，(B-λjA)X=0

的解，則

λiXTAY=XTBY=YTBX=λjYTAX=λjXTAY=0.

這樣取得的解向量組成矩陣P，即是定理中要求的矩陣.

[參考文獻]

[1]天津大學數(shù)學系代數(shù)教研組.線性代數(shù)及其應用[M].北京：科學出版社，2010:253-254.

[2]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何(下)[M].北京:科學出版社,2010.

ConditionsontheCongruenceofNon-symmetricRealMatrices

LI Cheng-bo1，HU Zhi-guang2，ZHAN Hua-ying3

(1.DepartmentofMathematics,SchoolofScience,TianjinUniversity,Tianjin300072China;

2.SchoolofMathematicalScience,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China;

3.DepartmentofMathematics,SchoolofScience,TianjinUniversityofTechnology,Tianjin300384,China)

Abstract:InthescopeofknowledgeofengineeringLinearAlgebracourses,asufficientconditionisgiventodeterminethecongruenceofaclassofnon-symmetricrealmatricesandanconcreteexampleisalsogiven;ThisresearchprovidesananswertoaquestionforengineeringundergraduateswhentheystudythetheoryofcongruenceofmatricesandcanbetakenasareasonableadditionalmaterialfortheLinearAlgebrateachinginengineeringuniversities.

Keywords:non-symmetricrealmatrices;congruence;positivedefiniterealmatrices;diagonalization

[中圖分類號]O13

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)04-0079-04