鐘鳴華，　那仁滿都拉，　斯仁道爾吉

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,呼和浩特010022)

三個(gè)五階非線性方程的精確解

鐘鳴華，那仁滿都拉，斯仁道爾吉

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,呼和浩特010022)

[摘要]為了得到三個(gè)五階非線性方程的精確解，本文通過(guò)假設(shè)行波解將三個(gè)五階非線性方程化為常微分方程并借助輔助方程法和Mathematica軟件對(duì)其求解,最終獲得了一系列精確解.

[關(guān)鍵詞]五階非線性方程; 輔助方程法; 精確解

1引言

非線性偏微分方程在現(xiàn)實(shí)生活以及生物、物理等鄰域中有著重要而廣泛的應(yīng)用,因此非線性偏微分方程的求解問(wèn)題就成為非線性科學(xué)的前沿研究課題之一.到目前為止，數(shù)學(xué)和物理工作者在求解非線性偏微分方程的領(lǐng)域積累了大量的經(jīng)驗(yàn)并先后提出了一系列求解方法,這些方法在許多具體的方程上都得到了應(yīng)用,如Jacobi橢圓函數(shù)法[1]、齊次平衡法[2]、完全近似法[3]、試探函數(shù)法[4]、雙曲函數(shù)展開(kāi)法[5]、約化攝動(dòng)法[6]、F-展開(kāi)法[7]、Exp函數(shù)法[8]、輔助方程法[9]等都在具體的文獻(xiàn)中被引用,并作為主要求解方法.本文運(yùn)用輔助方程法精確求解文獻(xiàn)[10]中提出的如下三個(gè)方程

(1)

(2)

(3)

并且得到一些新的精確解.

2方法介紹

考慮如下形式的非線性偏微分方程

N(t,x,u,ut,ux,uxx,…)=0,

(4)

假設(shè)其行波解為

u(x,t)=u(ξ),ξ=kx-vt，

(5)

其中k和v是待定常數(shù),則方程(4)可轉(zhuǎn)化為下面形式的常微分方程

F(u,u′,u″,u?,…)=0,

(6)

其中“′”是函數(shù)u關(guān)于ξ的導(dǎo)數(shù).

設(shè)方程(6)有如下形式的解

(7)

其中φ(ξ)滿足輔助方程

φ′(ξ)2=b0+b1φ(ξ)+b2φ(ξ)2+b3φ(ξ)3+b4φ(ξ)4,

(8)

這里n是根據(jù)方程中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最高次冪的非線性項(xiàng)平衡得到的ai,bj,j=0,1,2,3,4是待定常數(shù).

把(7),(8)帶入到(6),令φ(ξ)的各次冪的系數(shù)為零而得到一個(gè)非線性代數(shù)方程組并求解可得到待定的系數(shù)ai,bj.

由文獻(xiàn)[11]和[12]知,輔助方程(8)有如下幾種解:

解(一)當(dāng)b0=b1=b3時(shí),(8)具有鐘狀孤子解、三角函數(shù)解和有理解:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

解(三)當(dāng)b0=b1=0,(8)具有如下幾種解:

(15)

(16)

(17)

(18)

解(四)當(dāng)b0=b1=b4=0時(shí),(8)具有如下鐘狀孤子解、三角函數(shù)周期解和有理解:

(19)

(20)

(21)

解(五)當(dāng)b4=0,b3>0時(shí),(8)具有Weierstrass橢圓函數(shù)解:

(22)

3方程(1)的精確解

假設(shè)方程(1)的行波解為

代入方程,積分兩次并取積分常數(shù)均為零,則有如下常微分方程

v2u′(ξ)-k4u?(ξ)-6k3u′(ξ)2=0.

(23)

設(shè)u′(ξ)=w(ξ),則以上方程變?yōu)?/p>

v2w(ξ)-k4w″(ξ)-6k3w(ξ)2=0.

(24)

根據(jù)平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最高冪次的非線性項(xiàng),得到n=2,所以,設(shè)方程(24)有如下形式的解

w(ξ)=a0+a1φ(ξ)+a2φ(ξ)2，

(25)

其中φ(ξ)滿足方程(8).把(8)和(25)代入到(24),化簡(jiǎn)后,令φ(ξ)n的系數(shù)為零,得到如下關(guān)于a2,a0,a1,b2,b0,b1,b3,b4,k,v的超定代數(shù)方程組

利用Mathematica軟件,解方程組,得如下兩組解:

把(Ⅰ)代入到解(四)有

①b2>0時(shí),

則代入到(25)可得w(ξ),對(duì)w(ξ)求不定積分,即得

②b2<0時(shí),

則代入到(25)可得w(ξ),對(duì)w(ξ)求不定積分,即得

把(Ⅰ)代入到解(五)有:b4=0且b3>0時(shí),

則代入到(25)可得w(ξ),對(duì)w(ξ)求不定積分即可得原方程的解u(ξ).

把(Ⅱ)代入到解(一)有

①b2>0,b4<0時(shí),

②b2<0,b4>0時(shí),

③b2=0,b4>0時(shí),

代入到(25)可得w(ξ),對(duì)w(ξ)求不定積分,即得

把(Ⅱ)代入到解(二)有

①b2<0, b4>0時(shí),

u(ξ)=(a0-kC2)ξ+Cktanh(Cξ)+c21.

②b2>0, b4>0時(shí),

u(ξ)=(a0+kD2)ξ-Dktan(Dξ)+c22.

情形1:b3=0,則代入(Ⅱ)可得

由b0=0可得

代入(Ⅱ)有

由于(Ⅱ)中b4≠0,所以不把(Ⅱ)代入到解(四)和解(五)研究.

4方程(2)的精確解

同第一個(gè)方程的精確解的求法一樣, (2)經(jīng)行波變換后化為

(v2-k2)w(ξ)-k4w″(ξ)-6k3w(ξ)2=0.

(26)

利用Mathematica軟件,解平衡后得到的方程組,得如下兩組解:

把(Ⅰ)代入到解(四)有:由b1=0可得

①b2>0時(shí),

則有

②b2<0時(shí),

則有

③b2=0時(shí),可得

把(Ⅰ)代入到解(五)有:b4=0且b3<0時(shí),則有

則

對(duì)w(ξ)求不定積分即可得原方程的解u(ξ).

把(Ⅱ)代入到解(一)有

①b2>0, b4<0時(shí),

②b2<0, b4>0時(shí),

①b2<0, b4>0時(shí),

u(ξ)=(a0-kC2)ξ+kCtanh(Cξ)+c21.

②b2>0,b4>0時(shí),

u(ξ)=(a0+kD2)ξ-Dktan(Dξ)+c22.

把(Ⅱ)代入到解(三)有:由b1=0可得

情形1:a1=0,則代入(Ⅱ)且由b0=0得

① 當(dāng)b2<0,b4>0時(shí),則

② 當(dāng)b2>0,b4<0時(shí),則

③ 當(dāng)b2>0,b4>0時(shí),則

由于(Ⅱ)中b4≠0,所以不把(Ⅱ)代入到解(四)和解(五)研究.

5方程(3)的精確解

方法同上,解不定方程組可得下面兩組解:

把(Ⅰ)和(Ⅱ)分別代入解(一)、解(二)、解(三)、解(四)、解(五),可得如下解:

本文用行波變換后把三個(gè)五階非線性方程轉(zhuǎn)化為常微分方程,再利用輔助方程法得到了這三個(gè)方程的一系列精確解,并且這些解都是首次給出的.

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ExactSolutionsforThreeFifthOrderNonlinearEquations

ZHONG Ming-hua，Narenmandula，Sirendaoerji

(MathematicalScienceCollege,InnerMongoliaNormalUniversity,Huhhot, 010022,China)

Abstract:Inordertoobtainthethreefifth-ordernonlinearequationexactsolution.Inthispaper,byassumingthetravellingwavesolutionsofthreefifth-ordernonlinearequationsintoordinarydifferentialequationandwiththeaidoftheauxiliaryequationmethodandMathematicasoftwaretosolvethem.Finallyweobtainaseriesofexactsolutions.

Keywords:fifth-ordernonlinearequation;auxiliaryequationmethod;exactsolution

[中圖分類(lèi)號(hào)]O175.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0070-09