王曉靜，　崔景安，　葉　萌，　許傳青

(北京建筑大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，北京100044)

一類(lèi)非線(xiàn)性二維自治系統(tǒng)的兩個(gè)重合著的極限環(huán)

王曉靜，崔景安，葉萌，許傳青

(北京建筑大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，北京100044)

[摘要]利用《微分積分法軟件》和微分方程定性理論研究了一類(lèi)二維非線(xiàn)性自治系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).探討了五個(gè)平衡點(diǎn)的存在性、穩(wěn)定性和極限集等一些幾何性質(zhì)，并通過(guò)描繪系統(tǒng)的圖像解，得到兩個(gè)重合的橫置的葫蘆形極限環(huán).在解題的過(guò)程中首次發(fā)現(xiàn)了一個(gè)反常的現(xiàn)象：此系統(tǒng)所描述的周期性運(yùn)動(dòng)其周期的大小隨自變量的微分的減小而增大.

[關(guān)鍵詞]平衡點(diǎn)； 穩(wěn)定性； 周期解； 極限環(huán)

1引言

常微分方程定性理論的基本思想是由方程直接研究和判斷解的性質(zhì)，它在常微分方程的研究中往往有其獨(dú)到的功能[1].文獻(xiàn)[2]中的微分積分法是以圖像的方式給出微分方程的解，稱(chēng)作微分方程的圖像解，圖像解與數(shù)值計(jì)算中的數(shù)值解有著重大的區(qū)別.首先， 它們產(chǎn)生的條件不同.數(shù)值解的各種方法是在手算的基礎(chǔ)上逐漸發(fā)展出來(lái)的， 因此離散點(diǎn)很少， 解的數(shù)量也很少，而圖像解(即海量的數(shù)值解的可視性的表達(dá)方式)是在計(jì)算機(jī)問(wèn)世之后產(chǎn)生的.其次，圖像解能以動(dòng)態(tài)的形式模擬出微分方程所描述的實(shí)際過(guò)程，這也是普通的數(shù)值解所不能辦到的.

文獻(xiàn)[3]是一本比較經(jīng)典的教材，它既包括平面自治系統(tǒng)與穩(wěn)定性理論，又系統(tǒng)闡述了常微分方程分支理論.在研究本教材116頁(yè)的例5時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)個(gè)有趣的現(xiàn)象：該二維非線(xiàn)性自治系統(tǒng)存在一個(gè)不通過(guò)原點(diǎn)(0，0)的周期解.下面利用文獻(xiàn)[2]中的圖像解來(lái)探討例5[3]，即如下非線(xiàn)性二維自治系統(tǒng)(1)的一些幾何性質(zhì).

(1)

2模型的平衡點(diǎn)

O(0,0),A(1,0),B(-1,0),C(-1.3766,1.1028),D(1.3766,-1.10283).

證當(dāng)y=0時(shí)，可由

(2)

直接求得平衡點(diǎn)O，A和B的坐標(biāo).

當(dāng)y≠0時(shí)，平衡點(diǎn)C和D的坐標(biāo)滿(mǎn)足

(3)

此時(shí)，必然有

將y=-x(1-x2)2代入(3)的第一個(gè)方程并用Matlab可求得x=±1.3766，從而

y=?1.1028,

即得平衡點(diǎn)C(-1.3766,1.1028)和D(1.3766,-1.10283)，見(jiàn)下面的圖1.

“無(wú)規(guī)矩不可成方圓”。黨中央的“八項(xiàng)規(guī)定”“三嚴(yán)三實(shí)”及“自律準(zhǔn)則”“處分條例”等就是最好的規(guī)矩。千里之堤毀于蟻穴，一些巨貪，往往就是從貪小便宜步步為“盈”“煉”成的?！耙佐~(yú)”類(lèi)似事件的嚴(yán)肅處理，體現(xiàn)的是“抓早抓小”，防微杜漸，以遏制由量變到質(zhì)變。“好規(guī)矩”需善始善終，嚴(yán)要求產(chǎn)生好成效，嚴(yán)管理養(yǎng)成好習(xí)慣，嚴(yán)標(biāo)準(zhǔn)才能得民心。杜絕“易魚(yú)”類(lèi)似案例發(fā)生，打虎學(xué)武松拳頭要硬的同時(shí)，拍蠅力度亦不能松。

圖1　系統(tǒng)(1)的五個(gè)平衡點(diǎn)　　　　　　　　圖2　方程(4)的解圖像

這里，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩條曲線(xiàn)和直線(xiàn)y=0代表(2)中第一個(gè)方程的圖形，另一條曲線(xiàn)代表(2)中第二個(gè)方程的圖形，三條曲線(xiàn)的五個(gè)交點(diǎn)即為系統(tǒng)(1)的五個(gè)平衡點(diǎn).

注由Matlab[4]可畫(huà)出方程

(4)

的解圖像如圖2.將方程(4)的左邊沿著系統(tǒng)(1)求導(dǎo)得

圖3　系統(tǒng)(1)的圖像解

因此(4)表示的閉曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且滿(mǎn)足系統(tǒng)(1)的方程.

利用文獻(xiàn)[2]中的微分積分法可得系統(tǒng)(1)的圖像解(圖3)：

由系統(tǒng)(1)的圖像解可知，平衡點(diǎn)A和B為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)，平衡點(diǎn)O,C和D為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，利用微分方程定性理論給出如下證明.

定理2系統(tǒng)(1)五個(gè)平衡點(diǎn)中的A(1,0)與B(-1,0)是不穩(wěn)定的焦點(diǎn)，O(0,0)，C(-1.3766,1.1028)和D(1.3766,-1.10283)都是鞍點(diǎn).

證系統(tǒng)(1)的特征矩陣是

(5)

把平衡點(diǎn)O(0,0)的值代入特征矩陣(5)中得

其特征方程和特征根分別為

|λI-J(O)|=λ2-1,λ1,2=±1，

所以平衡點(diǎn)O(0,0)是鞍點(diǎn).

把平衡點(diǎn)A(1,0)與B(-1,0)的值代入特征矩陣(5)中得

其特征方程和特征根分別為

所以平衡點(diǎn)A(1,0)與B(-1,0)是不穩(wěn)定的焦點(diǎn).

把平衡點(diǎn)C(-1.3766,1.1028)和D(1.3766,-1.10283)的值代入特征矩陣(5)中得

其特征方程和特征根分別為

顯然λ1,2是異號(hào)的兩個(gè)實(shí)根，所以C(-1.3766,1.1028)和D(1.3766,-1.10283)都是鞍點(diǎn).

3兩個(gè)重合著的極限環(huán)

從圖3可以看出系統(tǒng)(1)圍繞著不穩(wěn)定的焦點(diǎn)A(1,0)與B(-1,0)各存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán).這兩個(gè)極限環(huán)的大小形狀及轉(zhuǎn)向均相同，是兩個(gè)完全重合著的橫置的葫蘆形極限環(huán)，為一、一結(jié)構(gòu).該極限環(huán)并不是圖2中的封閉曲線(xiàn)，但是系統(tǒng)(1)的經(jīng)過(guò)有解區(qū)域里的初值點(diǎn)的一切軌線(xiàn)的ω極限集，而點(diǎn)A和B分別是起點(diǎn)在圖2中的封閉曲線(xiàn)內(nèi)的右半和左半軌線(xiàn)的α極限集.

圖4(a)　　　　　　　　　　　　圖4(b) 　　　　　　　　　　　圖4(c)

利用文獻(xiàn)[2]中的微分積分法可畫(huà)出系統(tǒng)(1)當(dāng)n=1000和n=10000兩組圖像解，見(jiàn)下圖5和圖6.其中n表示積分單位的等分?jǐn)?shù)，n增加一個(gè)數(shù)量級(jí)，用來(lái)描繪圖形的離散點(diǎn)數(shù)就擴(kuò)大十倍，得到的解的準(zhǔn)確位數(shù)就提高一位.

圖5　n=1000時(shí)系統(tǒng)(1)的周期解圖像

圖6　n=10000時(shí)系統(tǒng)(1)的周期解圖像

其中tx和ty分別表示該曲線(xiàn)與其前一個(gè)峰、谷值之間的時(shí)間間隔.圖5和圖6中的峰、谷值高的曲線(xiàn)代表x(t)的解相圖，峰、谷值低的曲線(xiàn)代表y(t)的解相圖.數(shù)據(jù)中可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=1000時(shí)，得到周期為19.6的解，當(dāng)n=10000時(shí)，得到周期為24.22的解.

類(lèi)似的方法，我們可以得到當(dāng)n=105,106,107時(shí)其周期分別為28.82，33.42和38.02.

在確定周期運(yùn)動(dòng)的峰值、谷值之準(zhǔn)確位數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)周期是隨自變量的微分dt的減小而增大(見(jiàn)表1中周期T的數(shù)據(jù))，這是一個(gè)反常的現(xiàn)象，一般周期性運(yùn)動(dòng)的周期是不隨dt變化的，若知道此微分方程組的來(lái)源及其相關(guān)的背景材料，或許可以得到滿(mǎn)意的答復(fù).另外，在解題過(guò)程中曾多次降低對(duì)自變量的微分dt的數(shù)量級(jí)的計(jì)算，是為了觀察d值及運(yùn)動(dòng)周期T的變化，同時(shí)也從中獲知：

.

4結(jié)論

利用文獻(xiàn)[2]求解微分方程的通用方法-微分積分法給出了系統(tǒng)(1)的圖像解，找到了經(jīng)典教材[3]中沒(méi)有提到的兩個(gè)鞍點(diǎn)，并且由于這兩個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)的存在，系統(tǒng)(1)出現(xiàn)了圖3左右兩邊的無(wú)解區(qū).進(jìn)而結(jié)合相圖說(shuō)明了系統(tǒng)(1)存在兩個(gè)完全重合著的極限環(huán)，此種情況并不多見(jiàn)，并且發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)周期T隨自變量的微分dt的變化而發(fā)生改變.

我們還利用Matlab[4]進(jìn)行了數(shù)值模擬，當(dāng)選取Reltol和Abstol的精度控制從10-11到10-12到10-13，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)周期變化為55, 58, 63, 結(jié)果與本文的基本一致.并在精度相同的條件下通過(guò)改變初值來(lái)計(jì)算運(yùn)動(dòng)周期，結(jié)果表明不同初值并未對(duì)周期產(chǎn)生顯著影響，因此我們推斷精度是導(dǎo)致周期變化的主要原因.

[參考文獻(xiàn)]

[1]張芷芬，丁同仁，黃文灶，董鎮(zhèn)喜.微分方程定性理論[M]. 北京：科學(xué)出版社，2006.

[2]張渭曾，劉耀榮. 用《微分積分法》解黎卡提方程(附《微積分積分法》的簡(jiǎn)介)[C]∥數(shù)學(xué)·力學(xué)·物理·高新技術(shù)研究進(jìn)展—中國(guó)數(shù)學(xué)力學(xué)物理學(xué)高新技術(shù)交叉研究會(huì)第8屆學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集， 2000， 8：64-68.

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[4]劉浩，韓晶.MatlabR2012a完全自學(xué)一本通[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2013.

TwoDuplicateLimitsCyclesofaKindofNonlinear

Two-DimensionAutonomousSystem

WANG Xiao-jing，CUI Jing-an，YE Meng,XU Chuan-qing

(SchoolofScience,BeijingUniversityofCivilEngineeringandArchitecture，Beijing100044,China)

Abstract:Thedynamicpropertiesofaclassofnonlineartwo-dimensionautonomoussystemareinvestigatedbasedonthedifferentialandintegralmethodandthequalitativetheoryofdifferentialequations.Theexistenceandstabilityoffiveequilibria,limitsetsandsomeothergeometricpropertiesareobtained.Fromtheimagesolution,wegettwoduplicatelimitcycleswithtransversegourdshaped.Anabnormalphenomenonwasfirstdiscoveredintheprocessofstudying:theperiodoftheperiodicmotionincreasesasthederivativeoftheindependentvariabledecreases.

Keywords:equilibrium;stability;periodicsolution;limitcycle

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10461006,11261037)； 內(nèi)蒙古師范大學(xué)“十百千”人才培養(yǎng)工程資助項(xiàng)目(RCPY-2-2012-K-033)

[收稿日期]2015-04-02

[中圖分類(lèi)號(hào)]O175

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0064-06