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        關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)的若干新積分不等式

        2015-12-21 06:23:04李成岳
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年4期

        羅 強(qiáng), 李成岳, 孫 鵬

        (1.中央民族大學(xué)理學(xué)院, 北京100081; 2. 北京師范大學(xué)良鄉(xiāng)附屬中學(xué), 北京102488)

        關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)的若干新積分不等式

        羅強(qiáng)1,李成岳1,孫鵬2

        (1.中央民族大學(xué)理學(xué)院, 北京100081;2. 北京師范大學(xué)良鄉(xiāng)附屬中學(xué), 北京102488)

        [摘要]根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式,得到了C2([a,b])空間中函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的若干新積分不等式.

        [關(guān)鍵詞]Cauchy-Schwarz不等式;H?lder不等式;積分不等式

        1引言

        在文獻(xiàn)[1]和[3]中, 下列著名問題:

        設(shè)f(x)∈C2([a,b])滿足邊界條件f(a)=f(b)=0,f′(a)=1,f″(b)=0, 求證:

        (*)

        得到了討論. 文獻(xiàn)[2]利用Cauchy-Schwarz不等式, 對(duì)這個(gè)問題給出了一個(gè)解答. 受[1]-[3]的啟發(fā), 我們?cè)贑auchy-Schwarz不等式的基礎(chǔ)上, 建立了一系列關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)的新的積分不等式, 進(jìn)一步又把這個(gè)結(jié)果推廣到關(guān)于任意階導(dǎo)數(shù)的積分不等式. 另外, 我們還利用同樣的技巧和H?lder不等式建立了關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)的任意次冪函數(shù)的積分不等式.

        2關(guān)于|f″(x)|2的一般形式的積分不等式

        文獻(xiàn)[2]對(duì)上述問題(*)給出了如下證明.

        證對(duì)f,g∈C2([a,b]), g″≠0時(shí), 由Cauchy-Schwarz不等式得到

        (1)

        取g(x)=(x-a)(x-b)2, 則

        g(a)=g(b)=0,g′(a)=(b-a)2,g′(b)=0,

        g″(x)=2[3x-(a+2b)].

        (2)

        計(jì)算得

        (3)

        由(2)得

        =4(b-a).

        (4)

        聯(lián)合(1),(3),(4)得到

        [4(b-a)]2≤4(b-a)3|f(x)3|2dx,

        分析這個(gè)證明過程, 考慮選取另外的輔助函數(shù)g(x), 則也可建立一系列新的積分不等式:

        (i) 取g(x)=(x-a)2(x-b), 則有

        g(a)=g(b)=0,g′(a)=0,g′(b)=(b-a)2,

        g″(x)=2[3x-(b+2a)].

        (5)

        (6)

        =2(2b-2a)f′(b)-2(a-b)f′(a)-6(f(b)-f(a))

        =2(b-a)(2f′(b)+f′(a))-6(f(b)-f(a)).

        (7)

        于是由(1),(6),(7)得到下列不等式

        (ii) 取g(x)=(x-a)3, 則

        g(a)=0,g(b)=(b-a)3,g′(a)=0,g′(b)=3(b-a)2,

        g″(x)=6(x-a).

        (8)

        由(8)計(jì)算得

        (9)

        =6(b-a)f′(b)-6(f(b)-f(a)).

        (10)

        由(1),(9),(10)得到下列不等式

        (iii) 取g(x)=(x-b)3,

        g(a)=(a-b)3,g(b)=0,g′(a)=3(a-b)2,g′(b)=0,g″(x)=6(x-b).

        (11)

        由(11)計(jì)算得

        =-12(a-b)3=12(b-a)3,

        (12)

        =6(b-a)f′(a)-6(f(b)-f(a)).

        (13)

        由(1),(12),(13)得到下列不等式

        3關(guān)于|f(m)(x)|2的若干積分不等式(m≥1)

        當(dāng)f,g∈C(m)([a,b])時(shí), 根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式, 有

        (14)

        以m=3為例, 此時(shí)若取g(x)為不同的4次多項(xiàng)式, 則也可以建立一系列不等式. 如

        取g(x)=(x-a)(x-b)3, 則

        g′(x)=(x-b)3+3(x-a)(x-b)2,

        g″(x)=6(x-b)2+6(x-a)(x-b),

        g?(x)=6(4x-3b-a),

        g(4)(x)=24.

        (15)

        (16)

        再計(jì)算

        =6(b-a)f″(b)+18(b-a)-24(f′(b)-f′(a)).

        (17)

        根據(jù)(14),(16),(17)整理得

        另外, 考慮m=1這個(gè)最簡單的情形.根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式, 有

        (18)

        取g(x)=(x-a)(x-b), 則

        g′(x)=2x-b-a,

        (19)

        (20)

        再計(jì)算

        (21)

        由(18),(20),(21)得

        特別地,若f(a)=f(b)=0, 則有

        4關(guān)于|f″(x)|p的積分不等式(p>1)

        (22)

        g(a)=g(b)=0,g′(a)=0,g′(b)=(b-a)2,g″(x)=2[3x-(a+2b)],

        令c=a+2b,有

        g″(x)=2(3x-c).

        (23)

        (24)

        把c=a+2b帶入, 根據(jù)(24)計(jì)算得

        =2(b-a)f′(b)-4(a-b)f′(a)-6(f(b)-f(a)).

        (25)

        由(22),(24),(25)整理得

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]張恭慶.泛函分析講義(上冊(cè))[M].北京:北京大學(xué)出版社,1987.

        [2]林源渠.泛函分析指南(上冊(cè))[M].北京:北京大學(xué)出版社,2009.

        [3]劉玉蓮,傅沛仁,林玎,范德馨,劉寧.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社, 2008.

        SomeNewIntegralInequalitiesfortheSecondDerivative

        LUO Qiang1,LI Cheng-yue1,SUN Peng2

        (1.CollegeofScience,MinzuUniversityofChina,Beijing100081,China;

        2.LiangXiangHighSchoolAffiliatedToBeijingNormalUniversity,Beijing102488,China)

        Abstract:BytheCauchy-Schwarzinequality,theauthorsgetsomenewintegralinequalitiesforthesecondderivativeofthefunctioninspaceC2[a,b].

        Keywords:Cauchy-Schwarzinequality;Holderinequality;integralinequality

        [基金項(xiàng)目]浙江省自然科學(xué)基金(LQ13A010018);國家自然科學(xué)基金(11401530)

        [收稿日期]2014-12-31

        [中圖分類號(hào)]O178

        [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

        [文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0055-05

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