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        關(guān)于凸函數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性

        2015-12-21 06:22:59張亞楠劉長(zhǎng)劍
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年4期

        張亞楠, 劉長(zhǎng)劍

        (蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇蘇州215006)

        關(guān)于凸函數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性

        張亞楠,劉長(zhǎng)劍

        (蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇蘇州215006)

        [摘要]證明了開區(qū)間上的凸函數(shù)其左導(dǎo)數(shù)必定左連續(xù),右導(dǎo)數(shù)必定右連續(xù).

        [關(guān)鍵詞]凸函數(shù); 微積分基本定理; 單側(cè)連續(xù)

        在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)過程中,對(duì)凸函數(shù)性質(zhì)的介紹是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn). 一個(gè)簡(jiǎn)單而直觀的例子是絕對(duì)值函數(shù)y=|x|. 容易驗(yàn)證它是凸函數(shù), 其兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在并在x=0處間斷.我們進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn),其單側(cè)導(dǎo)數(shù)雖然在x=0處間斷,但是分別單側(cè)連續(xù). 本文的主要目的就是將該結(jié)論推廣到一般的凸函數(shù)上,即證明如下結(jié)論:

        定理1設(shè)f(x)是定義在開區(qū)間I上的凸函數(shù),則其左導(dǎo)數(shù)必定左連續(xù),右導(dǎo)數(shù)必定右連續(xù). 也即成立

        這個(gè)定理的結(jié)論與[1]中122頁推論3(導(dǎo)數(shù)極限定理)很相似,但導(dǎo)數(shù)極限定理的證明需要拉格朗日中值定理,而對(duì)單側(cè)導(dǎo)數(shù)而言拉格朗日中值定理不一定成立,所以定理1的證明需要新的方法.我們給出兩種證明方法.方法一利用積分的思想而方法二則采用微分的思想.

        引理1[3,4]設(shè)f(x)在開區(qū)間I上連續(xù), 其單側(cè)導(dǎo)數(shù)f′-或f′+存在且黎曼可積,則對(duì)?a,b∈I,a≤b,成立

        (1)

        容易驗(yàn)證開區(qū)間上的凸函數(shù)滿足引理1的條件,因此對(duì)凸函數(shù)成立(1)式.

        定理1的證明(方法1)只證明定理的前半部分;后半部分可類似證明.

        (2)

        另一方面,由引理1可得

        (3)

        結(jié)合(2),(3)兩式,即得結(jié)論.

        以上是基于積分的證明,下面我們將給出一個(gè)基于微分的證明. 首先給出如下引理.

        證只證明不等式的右半部分,左半部分類似可證.

        任取z∈(x,y),由凸函數(shù)定義可知

        若不然,則存在z∈(x,y),使得

        F(ξ2)>F(y)-ε.

        定理1的證明(方法2)同樣只證明定理的前半部分;后半部分可類似證明.

        由引理2 可知,?Δx<0,?ξ∈(x0+Δx,x0), 使得

        上式中另Δx→0-, 即得

        致謝:本文第一作者受到中國(guó)博士后基金(2014T70539)和教育部博士點(diǎn)基金(20133201120002)的資助,第二作者受到中國(guó)自然基金面上項(xiàng)目(NSFC-11371269)的資助.

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M]. 3版. 北京:高等教育出版社,2001.

        [2]謝惠民,惲自求,易法槐,錢定邊. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M]. 北京:高等教育出版社,2003.

        [3]MichaelW.BotskoandRichardA.Gosser,StrongerVersionsoftheFundamentalTheoremofCalculus[J].TheAmericanMathematicalMonthly, 1986,93(4):294-295.

        [4]王良成.凸函數(shù)及其不等式[M]. 成都:四川大學(xué)出版社,2001.

        OntheContinuityofOne-SidedDerivativeofConvexFunction

        ZHANG Ya-nan,LIU Chang-jian

        (SchoolofMathematicalSciences,SoochowUniversity,Suzhoujiangsu215006,China)

        Abstract:Weprovethattheleftderivativeofaconvexfunctiononanopenintervalmustbeleftcontinuousandtherightderivativemustberightcontinuous.

        Keywords:convexfunction;fundamentaltheoremofcalculus;one-sidedcontinuous

        [基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金(11171342);中央民族大學(xué)科研創(chuàng)新基金

        [收稿日期]2015-01-11

        [中圖分類號(hào)]O178

        [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

        [文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0053-02

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