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        域同態(tài)的擴張的個數(shù)

        2015-12-21 06:22:34
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年4期

        高 升

        (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009)

        域同態(tài)的擴張的個數(shù)

        高升

        (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009)

        [摘要]設(shè)h:F→Ω是域的同態(tài),E是F的有限次擴域,本文討論了使h到E上的擴張的個數(shù)取得最大值的條件.

        [關(guān)鍵詞]域; 單同態(tài); 同態(tài)的擴張; 可分次數(shù)

        1引言

        設(shè)F是任意一個域,E是F的有限次擴域; h:F→Ω是從F到另一域Ω的單同態(tài).本文主要討論這樣一個問題:有多少種方式將h擴張為從E到Ω的單同態(tài)?

        為了簡便,用記號Emb(E,Ω)表示從E到Ω的全部單同態(tài)的集合,用Emb(F,h)(E,Ω)表示所有擴張了h的、從E到Ω的單同態(tài)的集合,即

        Emb(F,h)(E,Ω)={ξ∈Emb(E,Ω)|ξ|F=h},

        其中ξ|F表示ξ到F上的限制映射.這樣,本文討論的問題也就是集合Emb(F,h)(E,Ω)中元素的個數(shù)(在一般情況下,E和Ω之間沒有包含關(guān)系,Emb(E,Ω)和Emb(F,h)(E,Ω)有可能為空集.)

        將域擴張E/F的可分次數(shù)記為[E∶F]sep,則不等式

        |Emb(F,h)(E,Ω)|≤[E∶F]sep

        在任何情況下都是成立的(見本文引理5).

        現(xiàn)有文獻在某些情況下討論了該不等式等號成立的條件.[1]第224頁命題1證明了:當(dāng)Ω是h(F)的代數(shù)閉包時,|Emb(F,h)(E,Ω)|可以取到最大值[E∶F]sep.[2]第20頁命題3和[6]第77頁定理16都證明了:當(dāng)Ω是F的一個代數(shù)正規(guī)擴張且E是Ω/F的中間域時,從E到Ω的F-單同態(tài)的個數(shù)取到最大值[E∶F]sep.[4]第131頁命題3.2給出了當(dāng)Ω為F的擴域時使E到Ω的F-單同態(tài)個數(shù)等于[E∶F]的充要條件.[6]第79頁推論1證明了:E的F-自同構(gòu)群Gal(E/F)的階一定不超過[E∶F]sep,且等式|Gal(E/F)|=[E∶F]sep成立的充要條件是E/F為正規(guī)擴張.[7]第142頁定理5.2.6給出了當(dāng)Ω為E在F上的正規(guī)閉包時使E到Ω的F-單同態(tài)個數(shù)等于[E∶F]的充要條件.文獻[8]在第135頁證明了,若F?E?Ω,則E到Ω的F-單同態(tài)個數(shù)一定不超過[E∶F]sep,在適當(dāng)?shù)剡x取Ω時可以取到最大值[E∶F]sep.

        本文將在一般情況下討論使|Emb(F,h)(E,Ω)|取到最大值[E∶F]sep的充分必要條件.

        2對主要定理的敘述和證明

        將有限次域擴張E/F的純不可分次數(shù)記為[E∶F]ins,F(xiàn)在E中的可分閉包記為ES(此時有[E∶F]sep=[ES∶F],[E∶F]ins=[E∶ES]).對于任一α∈E,用min(α,F)表示α在F上的極小多項式.F[X]表示F上的一元多項式環(huán),以X為不定元.對于F[X]中的多項式

        記號degf表示它的次數(shù).對每一單同態(tài)h:F→Ω,定義一個映射

        引理1([5, 推論5.2.9, 第218頁])設(shè)F和Ω是兩個域,h:F→Ω是從F到Ω的單同態(tài),F(xiàn)(β)是F的一個單代數(shù)擴域, min(β,F)=f(X),則

        |Emb(F,h)(F(β),Ω)|=|{ω∈Ω|h*(f)(ω)=0}|,

        即h到F(β)上的擴張的個數(shù)等于多項式h*(f)在Ω中的全部根的個數(shù)(不計重數(shù)).

        引理2([3, 推論6.14,第287頁])設(shè)F是一個域,f(X)是F[X]中的首一不可約多項式;L是F的一個擴域,使得f(X)在L[X]中可以完全分裂為一次因子的乘積.若f(X)在L中全部兩兩互異的根為γ1,γ2,…,γn,則必有n=[F(γ1)∶F]sep,且

        f(X)=[(X-γ1)(X-γ2)·…·(X-γn)][F(α)∶F]ins,

        即f(X)的每個根的重數(shù)都等于[F(γ1)∶F]ins.

        引理3設(shè)E/F是域的純不可分代數(shù)擴張,ξ1和ξ2都是從域E到域Ω的同態(tài)映射.如果ξ1|F=ξ2|F,那么必有ξ1=ξ2.

        證若F的特征為0,則E/F同時又是可分擴張,從而必有E=F.故不妨設(shè)F的特征為素數(shù)p.此時,E和Ω的特征都是素數(shù)p.任取α∈E,則存在非負整數(shù)l,使得αpl∈F,從而有ξ1(αpl)=ξ2(αpl),即ξ1(α)pl=ξ2(α)pl.所以,

        [ξ1(α)-ξ2(α)]pl=ξ1(α)pl-ξ2(α)pl=0,

        從而ξ1(α)=ξ2(α).

        引理4設(shè)E=F(S)是域F的代數(shù)擴域,L是E/F的中間域;Ω是另一個域,h:F→Ω是從F到Ω的單同態(tài).又設(shè)對每個α∈S,多項式h*(min(α,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積.在這些條件下,如下結(jié)論成立:

        (i) 集合Emb(F,h)(E,Ω)是非空的,即h可以提升為從E到Ω的單同態(tài);

        (ii) 對于每個ρ∈E,h*(min(ρ,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積;

        (iii) 若φ是從L到Ω的單同態(tài)且φ|F=h,則φ可提升為從E到Ω的單同態(tài),即映射Emb(F,h)(E,Ω)→Emb(F,h)(L,Ω)(ξξ|L)是滿的.

        min(ρ,F)=(X-ρ1)(X-ρ2)…(X-ρk),

        (iii) 此時E=L(S),并且對每個α∈S,在L[X]中有min(α,L)|min(α,F).于是,在Ω[X]中有φ*(min(α,L))|φ*(min(α,F)).注意到min(α,F)的系數(shù)都屬于F且φ|F=h,故

        φ*(min(α,F))=h*(min(α,F)).

        所以,在Ω[X]中有φ*(min(α,L))|h*(min(α,F)).由已知條件,h*(min(α,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積,故φ*(min(α,L))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積.于是,由本引理之(1)知,φ:L→Ω可提升為從E到Ω的單同態(tài).

        引理5設(shè)E/F是有限次的域擴張,h:F→Ω是從F到另一域Ω的單同態(tài),則有

        |Emb(F,h)(E,Ω)|≤[E∶F]sep.

        證設(shè)ES為F在E中的可分閉包,則E/ES是純不可分擴張,ES/F是單擴張.由于有限可分擴張必為單擴張,故可以選取β∈ES,使得ES=F(β).

        設(shè)min(β,F)=f(X).若Emb(F,h)(E,Ω)=?,則待證不等式顯然成立.不妨設(shè)Emb(F,h)(E,Ω)≠?.由引理3可知,映射

        Emb(F,h)(E,Ω)→Emb(F,h)(ES,Ω)(ξξ|ES)

        是單的,所以

        |Emb(F,h)(E,Ω)|≤|Emb(F,h)(ES,Ω)|=|Emb(F,h)(F(β),Ω)|.

        (1)

        再由引理1可知,

        |Emb(F,h)(F(β),Ω)|= |{ω∈Ω|h*(f)(ω)=0}|≤degh*(f)=degf=[F(β)∶F]=[ES∶F].

        (2)

        結(jié)合(1)式和(2)式,可知

        |Emb(F,h)(E,Ω)|≤[ES∶F]=[E∶F]sep.

        以下定理是本文的主要結(jié)果.

        定理設(shè)E/F是有限次的域擴張,E=F(α1,α2,…,αr),h:F→Ω是從域F到另一域Ω的單同態(tài),則以下三者彼此等價:

        (i) |Emb(F,h)(E,Ω)|=[E∶F]sep;

        (ii) 對每個j∈{1,2,…,r},多項式h*(min(αj,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積;

        (iii) 對每個ρ∈E,多項式h*(min(ρ,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積.

        證設(shè)ES為F在E中的可分閉包,則E/ES是純不可分擴張,ES/F是單擴張.選取β∈ES,使得ES=F(β).設(shè)min(β,F)=f(X)(在以下的討論中一直使用這些記號).

        (i)(ii) 由于α1,α2,…,αr地位平等,只需證明:h*(min(α1,F))在Ω[X]中可以完全分裂為一次因子的乘積.

        考慮映射λ:Emb(F,h)(E,Ω)→Emb(F,h)(F(α1),Ω)(ξξ|F(α1)),則有

        Emb(F,h)(E,Ω)=∪h′∈Emb(F,h)(F(α1),Ω)λ-1(h′)=∪h′∈Emb(F,h)(F(α1),Ω){ξ∈Emb(F,h)(E,Ω)|ξ|F(α1)=h′}

        =∪h′∈Emb(F,h)(F(α1),Ω){ξ∈Emb(E,Ω)|ξ|F(α1)=h′}=∪h′∈Emb(F,h)(F(α1),Ω)Emb(F(α1),h′)(E,Ω) .

        此處,λ-1(h′)表示h′關(guān)于映射λ的全部原像的集合.集合Emb(F(α1),h′)(E,Ω)對于不同的h′是互不相交的,所以由引理5可知

        |Emb(F,h)(E,Ω)|=∑h′∈Emb(F,h)(F(α1),Ω)|Emb(F(α1),h′)(E,Ω)|≤|Emb(F,h)(F(α1),Ω)|·[E∶F(α1)]sep.

        又由(i)中條件,有

        [E∶F]sep=|Emb(F,h)(E,Ω)|≤|Emb(F,h)(F(α1),Ω)|·[E∶F(α1)]sep,

        所以

        [F(α1)∶F]sep=[E∶F]sep/[E∶F(α1)]sep≤|Emb(F,h)(F(α1),Ω)|.

        由引理5,又有

        |Emb(F,h)(F(α1),Ω)|≤[F(α1)∶F]sep,

        于是必有

        |Emb(F,h)(F(α1),Ω)|=[F(α1)∶F]sep.

        于是,由引理1可知,多項式h*(min(α1,F))在Ω中的根的個數(shù)(不計重數(shù))恰為[F(α1)∶F]sep.又由引理2可知,min(α1,F)在任一分裂域中的全部根的個數(shù)(不計重數(shù))為[F(α1)∶F]sep,從而h*(min(α1,F))在任一分裂域中的根的個數(shù)(不計重數(shù))也是[F(α1)∶F]sep.由此可知, h*(min(α1,F))在Ω[X]中可以完全分裂為一次因子的乘積.

        (ii)(iii) 這可由引理4(ii)直接推出.

        (iii)(i) 由引理4(iii)可知,映射

        Emb(F,h)(E,Ω)→Emb(F,h)(ES,Ω)(ξξ|ES)

        是一個滿射.由引理3可知,此映射同時也是一個單射.所以此映射是一個雙射,從而有

        |Emb(F,h)(E,Ω)|=|Emb(F,h)(ES,Ω)|=|Emb(F,h)(F(β),Ω)|

        (a)

        由引理1可知

        |Emb(F,h)(F(β),Ω)|= |{ω∈Ω|h*(f)(ω)=0}|

        (b)

        由條件(iii)可知,多項式h*(f)=h*(min(β,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積.因為β在F上是可分的,所以f(X)=min(β,F)在任一分裂域上都沒有重根,從而

        h*(f)=h*(min(β,F))

        在Ω中沒有重根.這樣就有

        |{ω∈Ω|h*(f)(ω)=0}|=degh*(f)=degf=[F(β)∶F]=[ES∶F]=[E∶F]sep

        (c)

        綜合(a),(b),(c)三式,有

        |Emb(F,h)(E,Ω)|=[E∶F]sep,

        于是(i)得證.

        3結(jié)論

        現(xiàn)有文獻對于使域嵌入的擴張的個數(shù)達到最大的充分條件多有討論,本文的創(chuàng)新點在于證明了這些條件的必要性.

        [參考文獻]

        [1]CohnPM.Algebra(Volume2)[M].Chichester·NewYork·Brisbane·Toronto:JohnWiley&SonsLtd, 1977.

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        [8]vanderWaerdenBL.Algebra(Volume1)[M]. (英文第7版影印版). 北京:世界圖書出版公司,2007.

        OntheNumberofExtensionsofaFieldHomomorphism

        GAO Sheng

        (SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China)

        Abstract:Leth:F→ΩbeafieldhomomorphismandEafinitedimensionalextensionfieldofF.Inthisarticle,wediscusstheconditionsforthenumberoftheextensionsofhtoEtoattainitsmaximum.

        Keywords:field;monomorphism;extensionsofahomomorphism;separabledegree

        [中圖分類號]O153.4

        [文獻標(biāo)識碼]A

        [文章編號]1672-1454(2015)04-0030-04

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