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        一類非齊次樹上關(guān)于馬氏鏈場(chǎng)滑動(dòng)平均的強(qiáng)偏差定理

        2015-12-21 06:22:22金少華陳秀引賀雅萍
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年4期

        金少華, 趙 旋, 陳秀引, 賀雅萍

        (河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津300401)

        一類非齊次樹上關(guān)于馬氏鏈場(chǎng)滑動(dòng)平均的強(qiáng)偏差定理

        金少華,趙旋,陳秀引,賀雅萍

        (河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津300401)

        [摘要]樹指標(biāo)隨機(jī)過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強(qiáng)偏差定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一.本文利用Borel-Cantelli引理研究給出了一類非齊次樹上馬氏鏈場(chǎng)關(guān)于負(fù)二項(xiàng)分布滑動(dòng)平均的強(qiáng)偏差定理.

        [關(guān)鍵詞]非齊次樹; 負(fù)二項(xiàng)分布; 馬氏鏈; 強(qiáng)偏差定理

        1前言

        樹指標(biāo)隨機(jī)過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強(qiáng)偏差定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一.文獻(xiàn)[1]研究給出了m根Cayley 樹指標(biāo) m階有限狀態(tài)非齊次Markov 鏈的一些極限性質(zhì). 文獻(xiàn)[2] 研究給出了Bethe樹上非齊次馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)的一類強(qiáng)偏差定理.本文利用Borel-Cantelli引理研究給出了一類非齊次樹上馬氏鏈場(chǎng)關(guān)于負(fù)二項(xiàng)分布滑動(dòng)平均的強(qiáng)偏差定理.

        2定義

        設(shè)T是一個(gè)具有根頂點(diǎn)o的無限樹,{Nn,n≥1}是一列正整數(shù)集,如果第n(n≥0)層上的每個(gè)頂點(diǎn)均與第n+1層上的Nn+1個(gè)頂點(diǎn)相鄰,則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹.特別地,若對(duì)非負(fù)整數(shù)集N,用模m的同余關(guān)系對(duì)其分類得到模m的剩余類

        (0)={0,m,2m,3m,…,nm,…},

        (1)={1,m+1,2m+2,3m+1,…,nm+1,…},

        ………………………

        (m-1)={m-1,2m-1,3m-1,…,(n+1)m-1,…},

        當(dāng)n∈(i)時(shí),令Nn+1=αi(αi均為正整數(shù)且不同時(shí)為1),i=0,1,2,…,m-1, 就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0,α1,…,αm-1.

        以下恒以T表示樹Tα0,α1,…,αm-1,以Ln表示第n(n≥0)層上所有頂點(diǎn)的子圖,Tn表示含有從o頂點(diǎn)到第n層上所有頂點(diǎn)的子圖.S(t)表示頂點(diǎn)t的所有子代的子圖.

        定義2.1設(shè){Ω,F,P}為一概率空間,{Xσ,σ∈T}是定義在該概率空間并于S={0,1,2,…}上取值的隨機(jī)變量族,設(shè)

        P0={p0(x),x∈S}

        (1)

        是S上一概率分布,而

        Pn=(pn(y|x)),x,y∈S,n≥0

        (2)

        ?x,y,x1,x2,…,xn∈S.

        (3)

        并且

        P0(X0,1=x)=p0(x),?x∈S,

        (4)

        則稱{Xσ,σ∈T}為具有初始分布(1)與隨機(jī)矩陣列(2)的在S上取值的樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈.

        上述定義的樹T上的非齊次馬爾可夫鏈{Xσ,σ∈T}的聯(lián)合分布為

        (5)

        設(shè)Q為可測(cè)空間(Ω,F)上的另一概率測(cè)度,{Xσ,σ∈T}在測(cè)度Q下的聯(lián)合分布為

        (6)

        即{Xσ,σ∈T}在測(cè)度Q下相互獨(dú)立,且服從

        的負(fù)二項(xiàng)分布,其中xξk∈S,pξk+qξk=1,ξk∈Lk.

        定義2.2設(shè)0≤a1≤a2≤…是一整值數(shù)列,隨機(jī)變量族{Xσ,σ∈T}在測(cè)度P,Q下的聯(lián)合分布分別由(5)式與(6)式定義

        (7)

        φn(ω)=lnLn(ω),

        (8)

        (9)

        3主要結(jié)果及其證明

        引理 3.1設(shè){Xσ,σ∈T}是定義在(Ω,F)上的在S={0,1,2,…}上取值的隨機(jī)變量族,P和Q為定義在F上的兩個(gè)不同的概率測(cè)度,記

        P(XTn=xTn)=P(xTn),Q(XTn=xTn)=Q(xTn),

        (10)

        (11)

        故有Ep(Zn)≤1成立.

        對(duì)?ε>0,根據(jù)馬爾科夫不等式,有

        P(|Tn|-1lnZn≥ε)=P(Zn≥e|Tn|ε)≤e-|Tn|ε,

        由上式,有

        (12)

        根據(jù)Borel-Cantelli引理,由(12)式及ε的任意性,便得(11)式成立.

        定理3.1設(shè){Xσ,σ∈T}為具有初始分布(1)與轉(zhuǎn)移矩陣列(2)的在S上取值的樹指標(biāo)非齊次馬爾可夫鏈,它在F的另一概率測(cè)度Q下的聯(lián)合分布由(6)式定義,Ln(ω)及φn(ω)分別由(7)式與(8)式所定義,{al,l≥1}如前定義.令α=inf{qσ,σ∈T}>0,設(shè)存在M>0,使得

        (13)

        設(shè)0≤c≤1為一常數(shù),令

        H(c)={ω:M(P‖Q)(ω)≤c},

        (14)

        (15)

        (16)

        (17)

        因?yàn)?/p>

        和p(Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n)分別為{Xσ,σ∈T}的參考分布和真實(shí)分布,由引理3.1知,存在A(λ)∈F,P(A(λ))=1,使得

        (18)

        由(17)式和(18)式,有

        (19)

        由(14)式和(19)式,有

        (20)

        (21)

        根據(jù)上極限的性質(zhì)

        (22)

        于是此時(shí)有

        (23)

        由(22)式和(23)式,有

        (24)

        由于

        故由(25)式知(15)式成立.

        (26)

        因?yàn)镻(A*)=1,故由(26)式知,當(dāng)c=0時(shí)(15)式成立.

        取λ∈(0,1),將(20)式兩邊同時(shí)除以lnλ,有

        (27)

        根據(jù)下極限的性質(zhì)

        (28)

        (29)

        類似(26)式的證明,知當(dāng)c=0時(shí),(16)式也成立.

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]Shi Z Y, Yang W G. Some limit properties for them-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by anmrooted Cayley tree[J]. Statist Probab Lett, 2010, 80(15): 1223-1233.

        [2]Yang W G.. A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree[J]. Stochastic Analysis and Applications, 2012, 30(2):220-237.

        A Strong Deviation Theorem for the Moving Averages of Markov Chain Fields on a Non-homogenous Tree

        JINShao-hua,ZHAOXuan,CHENXiu-yin,HEYa-ping

        (College of Science, Hebei University of Technology, Tianjin 300401,China)

        Abstract:In recent years, tree indexed stochastic process has become one of the hot topics in probability theory . The deviation theorem has been one of the central issues of the international probability theory. In this paper, by means of Borel-Cantelli lemma, a strong deviation theorem for the moving averages of Markov chain fields on a non-homogenous tree is given.

        Key words:non-homogeneous tree; negative binomial distribution; Markov chain; strong deviation theorem

        [中圖分類號(hào)]O177.91

        [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

        [文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0025-05

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