戴志敏,　馮孝周

(西安工業(yè)大學理學院, 西安710032)

Bernouli不等式的改進與應用

戴志敏,馮孝周

(西安工業(yè)大學理學院, 西安710032)

[摘要]對一般的Bernouli不等式滿足的條件作了一個新的限定，利用二項式定理和等比數(shù)列的性質(zhì)并采用分類討論的思想證明了一個新的Bernouli不等式，由此不等式證明了經(jīng)濟學中的等額本金還款法和等額本息還款法的差異，并利用數(shù)值計算實驗驗證了此差異，從而由此結(jié)論給出了針對不同人群的還貸策略.

[關(guān)鍵詞]Bernouli不等式； 二項式定理； 等比數(shù)列； 等額本金還款法； 等額本息還款法

1引言

Bernouli不等式是數(shù)學中的一個重要不等式，在證明一些重要的不等式，如Young不等式，H?lder不等式、幾何算術(shù)平均不等式等方面發(fā)揮著重要的作用[1]. 除此之外，Bernouli不等式在研究函數(shù)的單調(diào)性、極限、連續(xù)以及級數(shù)的收斂性等方面都有著廣泛的應用[2].Bernouli不等式的一般形式[3]，即下面的引理1.

引理1設x>-1，α<0或者α>1，則有

(1+x)α≥1+αx.

(1)

假若0<α<1，則有

(1+x)α≤1+αx.

(2)

(1) ，(2) 兩式成立的充要條件為x=0.

特別地，當α=n∈且n≥1，則成立

1+nx≤(1+x)n.

(3)

進一步假定x>0，由函數(shù)ex>1+x, 有

1+nx≤(1+x)n

(4)

更多有關(guān)Bernouli不等式的介紹見文獻[3-4].

以上談到了Bernouli不等式在數(shù)學上的應用，本篇文章將研究Bernouli不等式如何應用到經(jīng)濟學中兩種常見的還款方式，即等額本金還款法和等額本息還款法差異的比較上.

2新的Bernouli不等式及證明

Bernouli不等式(3)和(4)用來比較等額本金還款法和等額本息還款法的差異是不夠的，為此需給變量x限定一個新的范圍0

定理1設n為大于等于1的正整數(shù)，且x滿足0

(5)

此不等式的兩邊取等號當且僅當n=1時成立.

證不等式的左邊不需要證明，只需要證明不等式的右邊.

當n=1時，顯然成立.

當n>1時，對(1+x)n利用二項式展開定理，

因此

從而有式(5)成立.

3新的Bernouli不等式的應用

近年來, 購買商品房已成為我國城鎮(zhèn)居民消費的一個重要部分.面對高昂的房價, 絕大多數(shù)購房者選擇了向銀行貸款.在向銀行貸款時，必須考慮兩個因素: 一是還款能力；二是利息支出.目前銀行貸款就還款方式而言，主要有等額本金還款法與等額本息還款法.針對不同的還款辦法，文獻[5]運用數(shù)學軟件Mathematica給出月還款額與利息總額對照表, 并通過對比，比較出這種還款方式的差異.而文獻[6]則用數(shù)學的方法證明了這種差異.本文將用新的Bernouli不等式來從另一種思路來證明這種差異.

為此，先來對等額本金還款法與按等額本息還款法作一個簡單的介紹.

假設某人欲向銀行貸款p元，計劃分n期還清貸款，在銀行每期利率保持為x不變的情況下，他有兩種選擇還貸方式.

如果按等額本金還款法，用Xi表示每期還款數(shù)，他每期應還款額有下面的計算公式[7-8]，

?

(6)

可以看出按等額本金還款法每期還款數(shù)構(gòu)成了一個遞減的等差數(shù)列，并且如果利率上調(diào)，則每期還款額相應增加，利率下調(diào)則相反. 如果用X表示到第n期末還款總額，則有

(7)

如果按等額本息還款法，用Yi表示每期還款數(shù)，他每期應還款額有下面的計算公式[7-8]

(8)

可以看出等額本息還款法每期還款額是一個固定數(shù)字.計算

可知利率上調(diào)時，等額本息還款法每期還款額相應增加，利率下調(diào)則相反. 如果用Y表示到第n期末還款總額，則有

(9)

為了比較等額本金還款法與等額本息還款法的差異，先來證明下面一個定理.

定理2假設n與x分別滿足條件n>1和0

(10)

(11)

證不等式(10)的證明：首先證左邊.

時，則由Bernouli不等式(1)有

(1+x)1-n>1+(1-n)x((1-n)<0, 0

?(1+x)n-1[1+(1-n)x]<1?(1+x)n-1

再證右邊.由Bernouli不等式(1)

1+nx<(1+x)n(n>1)

故不等式(10)得證.

不等式(11)的證明：

故不等式(11)得證.

4數(shù)值實驗與結(jié)果分析

由定理2的結(jié)論不難得出這樣的事實: 在保持銀行基準利率不變的條件下，等額本金還款法雖然首期還款比等額本息還款法高，但每期逐漸遞減，且末期還款與到期還款總額都比后者要少.

下面以買一套商品房貸款80萬元，分別以等額本息還款法與等額本金還款法，以5年為間隔計算25年內(nèi)計算這兩種還貸方法的總利息與每月還款額，假設銀行當前基準利率為6.55%，則月利率為6.55%/12=5.46‰，結(jié)果列成下表.

表 1　單位：元

從表1來看，數(shù)值計算結(jié)果完全驗證了新的Bernouli不等式在本篇論文中證明的結(jié)果.

盡管利用Bernouli不等式證明了并用數(shù)值計算驗證了等額本金還款法與等額本息還款法的差異，但是實際選擇何種還款方式應綜合多種因素做出適合自己的合理選擇.由于貸款者選用等額本金還款法還款初期壓力比較大, 而等額本息還款法則在整個還款期限內(nèi)還款壓力相對較低.對高收入人群且對貸款利息比較敏感的購房者、自己極有可能提前還款的購房者以及個人認為住房貸款利率中途極有可能上調(diào)的購房者，最好選用等額本金還款法.對經(jīng)濟收入相對緊張的人群、以及個人認為住房貸款利率中途極有可能下調(diào)的購房者，選擇等額本息貸款法可以減輕其還貸壓力，從而保證自己的生活不受影響[9].

[參考文獻]

[1]邢家省，王洪志.從貝努利不等式到H?lder不等式演變過程及應用[J].吉首大學學報(自然科學版)，2010，31(2):10-14.

[2]張學茂. Bernouli不等式的證明及應用[J].阜陽師范學院學報(自然科學版)，2010,27(3):30-32.

[3]匡繼昌.常用不等式[M].濟南:山東科學技術(shù)出版社,2004：127-128.

[4]喬希民.一個新的積分不等式的推廣及應用[J].延安大學學報(自然科學版),2005,24(2):21-29.

[5]張學山,李路,江開忠.購房貸款方案的優(yōu)化問題[J].上海工程技術(shù)大學學報,2005,19(2):166-171.

[6]李寶鳳.數(shù)學在借貸中的應用[J].唐山師范學院學報,2011,33(2):48-49.

[7]趙玉梅.個人住房按揭還貸方式探析[J].廣西民族大學學報(哲學社會科學版)，2008:51-56.

[8]高大成.淺談數(shù)學在生活中的應用[J].學術(shù)研究,2013(8):202-203.

[9]郭蔚.等額本息還款法與等額本金還款法哪種更好[J].遼寧行政學院學報,2005,7(3):69-70.

Improvement of Bernouli Inequality and Its and Applications

DAIZhi-min，F(xiàn)ENGXiao-zhou

(School of Science, Xi’an Technological University, Xi’an 710032, China)

Abstract:The general conditions of Bernouli inequality to meet is imposed on a new limit, using the binomial theorem and the properties of the geometric sequence and the idea of using the classification discussing prove a new Bernouli inequality, with which it is proved that the differences of equal principal repayment method and equal installments of principal and interest repayment method in economics; and these differences are verified with numerical experiments, thus the loan policies for different populations are given.

Key words:Bernouli inequality; binomial theorem; geometric sequence; equal principal repayment method; equal installments of principal and interest repayment method

[中圖分類號]O29；F830.5

[文獻標識碼]B

[文章編號]1672-1454(2015)04-0020-05