馬明遠(yuǎn) 王勇（西南石油大學(xué)，四川 成都 610500）

格子Boltzmann方法是近20年來迅速發(fā)展起來的一種介觀模擬方法，以其自身擁有的物理意義清晰、邊界處理簡單、程序簡單、并行性好等特點(diǎn)而受到人們的關(guān)注[1]。本文使用D2Q9單松弛模型進(jìn)行了Poiseulle流模擬以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，并使用該模型模擬物體繞流，體現(xiàn)了出格子Boltzmann方法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 繞流的格子Boltzmann模型

與傳統(tǒng)計(jì)算流體力學(xué)方法不同，格子Boltzmann方法的出發(fā)點(diǎn)并不是基于連續(xù)流體的Navier-Stokes方程，而是基于氣體動(dòng)理論的基本方程--Boltzmann方程。一個(gè)完整的格子Boltzmann模型通常包含以下三要素[2]:速度離散模型、平衡態(tài)分布函數(shù)、分布函數(shù)的演化方程。

1.1 速度離散模型

在本文中我們采用錢躍竑等人提出的D2Q9模型[3]，D2Q9模型中的粒子遷移路徑如圖1所示。

圖1 D2Q9模型

其中，粒子存在于節(jié)點(diǎn)處并只能按照圖1所示連線方向運(yùn)動(dòng)，因此，在某一節(jié)點(diǎn)處只可能存在以下三種粒子:

我們采用常規(guī)的正方形網(wǎng)格，有δx=δt、c=δx/δt，其中δx和δt分別為網(wǎng)格步長和時(shí)間步長。

1.2 平衡態(tài)分布函數(shù)

D2Q9模型所采用的平衡態(tài)分布函數(shù)形式如下:

這里，

模型的宏觀密度和宏觀速度可由下式求得:

1.3 分布函數(shù)的演化方程

格子Boltzmann法假想粒子具有遷移和碰撞兩個(gè)過程，在遷移時(shí)，粒子根據(jù)速度方向遷移至相鄰的格子節(jié)點(diǎn)，這時(shí)有分布函數(shù):

碰撞時(shí):

這里的τ為無量綱弛豫時(shí)間，由流體從非平衡態(tài)分布往平衡態(tài)分布趨近的速度決定。

1.4 邊界處理格式

對于靜止的固體邊界，無法使用式(4)和(5)求得邊界處的分布函數(shù)，在這種情況下我們使用bounce-back邊界[4]，即對邊界上的粒子做180°的彈回處理。這里，以下邊界為例便有使用bounce-back邊界處理格式能夠嚴(yán)格的保證系統(tǒng)的質(zhì)量和動(dòng)量守恒且操作簡單。

對于入口和出口，使用周期性邊界處理格式，即是指當(dāng)流體粒子從一側(cè)邊界離開流場時(shí)，在下一個(gè)時(shí)步便會從另一側(cè)的流場邊界進(jìn)入，因此該邊界處理格式同樣可以嚴(yán)格的保證整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)量和動(dòng)量守恒[5]。周期性邊界條件處理格式可以表示為

2 數(shù)值試驗(yàn)

在這里我們對一個(gè)150*30區(qū)域作為對象進(jìn)行計(jì)算模擬，在上下邊界處采用bounce-back邊界處理?xiàng)l件，對左右流入流出邊界采用周期性邊界條件，給定全體格點(diǎn)沿方向有初始流動(dòng)速度，以及雷諾數(shù)。首先我們通過D2Q9模型模擬二維Poiseulle流動(dòng)，從圖2中我們可以清楚地看到該模型的流速分布與Poi?seulle流理論解的流速分布高度一致，D2Q9模型的準(zhǔn)確性因此得到了很好的驗(yàn)證。

圖2 Poiseulle流流速分布

此時(shí)在其中放置一個(gè)半徑為5的二維圓柱，并在該物體邊界采用bounce-back邊界處理格式。于是我們便可以得到如圖3和圖4所示和方向上的無因次流速分布。

圖3 方向流速

圖4 方向流速

3 結(jié)語

本文通過二維Poiseulle流驗(yàn)證了格子Boltzmann方法D2Q9單松弛模型的模擬精度，并且使用該方法實(shí)現(xiàn)了二維繞流的再現(xiàn)，說明了格子Boltzmann方法是一種解決模擬流動(dòng)問題的有效手段，擁有應(yīng)用到實(shí)際工程研究中的價(jià)值。

[1]Chen S,Doolen G D.Lattice Boltzmann method for fluid flows.Annual Review of Fluid Mechanics,1998.

[2]Wolf-Gladrow D A.Lattice-gas Cellular Automata and Lat?tice Boltzmann Models:An Introduction.New York:Springer,1992.

[3]Qian Y H,d’Humières D,Lallemand P.Lattice BGK mod?els for Navier-Stokes eq-uation.Europhysics Letters,1992.

[4]Lacallee P,Boon J,Noullez A.Boundaries in Lattice Gas Flows.Physica D,1991.

[5]何雅玲,王勇,李慶.格子Boltzmann方法的理論及與應(yīng)用.北京:科學(xué)出版社,2009.