王 燕，張立毅，張 銳

（1.天津大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津300072；2.天津城建大學(xué) 計算機與信息工程學(xué)院，天津300384；3.天津商業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，天津300134；4.天津科技大學(xué) 電子信息與自動化學(xué)院，天津300222）

0 引 言

由于正交頻分復(fù)用 （OFDM）技術(shù)［1］采用了子信道頻譜相互正交重疊的多載波傳輸技術(shù)，對相位噪聲和載波頻偏非常敏感。因此，需要在接收端獲取準(zhǔn)確的信道狀態(tài)信息。無線通信信道的最大特征就是多徑效應(yīng)。實驗結(jié)果表明，這種多徑效應(yīng)通常由極少數(shù)的主要路徑主導(dǎo)，具有稀疏性，即信道時延中非零抽頭系數(shù)的個數(shù)遠(yuǎn)小于信道時延的抽頭總數(shù)，且信道帶寬越寬，這種特性表現(xiàn)的越明顯［2］，如超寬帶信道、雙向中繼信道、水聲信道都屬于這種結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)的信道估計技術(shù)通常沒有考慮信道的這種特性，大多采用密集多徑的形式［3］。

隨著新的壓縮采樣理論——壓縮感知技術(shù)［4，5］的出現(xiàn)，基于壓縮感知的稀疏信道估計技術(shù)成為現(xiàn)在壓縮感知和信道估計領(lǐng)域的研究熱點。文獻(xiàn) ［5］提出了一種基于L0范數(shù)的信道估計算法，其重構(gòu)概率高，但運算復(fù)雜度也較高；文獻(xiàn) ［6］提出了一種用L1范數(shù)代替L0范數(shù)的算法，將其轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題求解，降低了運算復(fù)雜度；文獻(xiàn) ［7］提出了基于匹配追蹤算法 （matching pursuit，MP）的信道估計算法，其運算復(fù)雜度低。MP 算法是其它貪婪算法的基礎(chǔ)，如OMP算法［8］、SP算法［9］。

上述所有算法均需要信道沖激響應(yīng)的稀疏度作為先驗條件，這在實際應(yīng)用中是很難甚至根本無法獲得的。文獻(xiàn)［10］提出了一種稀疏度自適應(yīng)的壓縮信道感知算法，但其只考慮了信道的稀疏性，忽略了信道除了具有稀疏特性外，還具有集群或者成簇的特殊結(jié)構(gòu)。為此，本文在考慮了稀疏性之后，加入了對信道分簇特性的考慮，提出一種基于分簇稀疏特性的自適應(yīng)正則匹配追蹤壓縮信道感知算法（CRAMP），通過計算機仿真，比較了該算法與傳統(tǒng)的LS算法、BPDN 算法、OMP算法、BOMP算法在OFDM 系統(tǒng)中的誤碼率（BER）、均方誤差（MSE）和算法復(fù)雜度。

1 信道模型及系統(tǒng)模型

1.1 信道模型

本文采用修正的S－V 信道模型［11］。該模型的主要特性之一就是多徑分量在顯示出稀疏特性的同時，還具有分簇結(jié)構(gòu)，且簇結(jié)構(gòu)也具有稀疏性。其信道數(shù)學(xué)模型為

式中：C——簇的數(shù)目，Tc——第c簇的延時，P——每一簇中多徑的數(shù)量，τp，c——第c簇的第p 條多徑的 延時，hp，c——第c簇的第p 條 多 徑 的 振 幅，ejφp，c——第c簇 的 第p 條多徑角度。

1.2 系統(tǒng)模型

在如圖1所示的系統(tǒng)中，發(fā)送端數(shù)據(jù)經(jīng)過調(diào)制后，插入導(dǎo)頻數(shù)據(jù)，再進(jìn)行串并轉(zhuǎn)換和進(jìn)行IFFT 變換，并加入循環(huán)前綴，送入無線多徑信道傳輸；在接收端，去除循環(huán)前綴后，提取導(dǎo)頻，進(jìn)行FFT 變換，進(jìn)行信道估計、信道補償后，得到最終的數(shù)據(jù)。

圖1 OFDM 系統(tǒng)框架

在發(fā)送端，設(shè)OFDM 每個子載波的數(shù)據(jù)為X（k），經(jīng)過IFFT 后得到的數(shù)據(jù)為

信號通過信道后 （這里設(shè)信道的長度小于CP 的長度，即在一個符號周期內(nèi)，信道是時不變的）接收信號為

式中： ——線性卷積，w（n）——白噪聲。在去除CP 后，并進(jìn)行FFT 變換后得到的表達(dá)式為

式中：H（k）——信道的頻域響應(yīng)，W（k）——白噪聲w（n）的頻域響應(yīng)。

將式 （4）寫成向量形式為

式 中：Y——收 信 號 向 量，X ＝diag（X（0），X（k），…，X（N－1）），X（k）為OFDM 符號中第k 個子載波的數(shù)據(jù)，F(xiàn)——DFT 變換矩陣。

設(shè)每個OFDM 信號總共有N 個子載波，在其中插入M個導(dǎo)頻信號，即N 個子信道中有M 個子信道為導(dǎo)頻信道。通過選擇矩陣得到M 個導(dǎo)頻信號處的數(shù)據(jù)為

2 基于壓縮感知的信道估計算法

在傳統(tǒng)的OFDM 系統(tǒng)信道估計中，根據(jù)式 （6），要求導(dǎo)頻信號的數(shù)量必須大于信道長度數(shù)。當(dāng)導(dǎo)頻信號數(shù)量小于信道長度數(shù)時，式 （6）是一個欠定性問題，未知解不唯一。由于信道h具有稀疏特性，令Ψ ＝XMFM，則式 （6）變?yōu)?/p>

從OMP算法的整個迭代過程可以得到，OMP 算法需要已知信號的稀疏度才能實現(xiàn)精確重構(gòu)，對稀疏度的過大或過小估計都可能影響算法的性能，并且由于選擇的原子不能更新，所以對算法的性能也有一定的影響。

3 基于分簇特性的壓縮信道感知算法

3.1 簇 （塊）感知

在實際通信系統(tǒng)中，許多稀疏信號的非零值都是簇（集群）或成塊出現(xiàn)的，如寬帶信道、多波段信號、DNA陣列、雷達(dá)脈沖信號等［13］。

簇 （塊）稀疏信號的壓縮感知模型與傳統(tǒng)的壓縮感知模型一致，只是其中h 的稀疏結(jié)構(gòu)為簇 （塊）稀疏結(jié)構(gòu)，其中，C 為簇 （塊）的數(shù)目，d 為每簇 （塊）中的元素數(shù)目，L 為總的元素數(shù)目，且L ＝C×d。hT［c］稱為一個子簇（塊）。若h 中共有C 個子簇 （塊），且在C 個子簇 （塊）中，僅有K（K＜L）個簇 （塊）中含有非零的元素，則h 稱為K－階簇 （塊）稀疏信號，即

要保證h能通過Y 有效地重構(gòu)出來，只有當(dāng)Ψ 滿足有限等距特性 （RIP）時，才能完成。并且重構(gòu)信號的重構(gòu)精度直接與RIP 特性相關(guān)，RIP 的值越小，重構(gòu)精度越高。文獻(xiàn) ［14］將原有RIP 特性延伸到K－階簇 （塊）稀疏向量，并定義了塊有限等距特性 （B－RIP），即：

存在一個較小的常數(shù)δB∈（0，1），對于任意K－簇稀疏向量h，有式 （9）成立

同時，文獻(xiàn) ［14］證明了對于一個K－階簇 （塊）稀疏向量，由于塊稀疏向量比一般隨機稀疏向量具有更小的等距常數(shù)，即δB＜δK。ELDAR 等指出，當(dāng)簇 （塊）稀疏向量的測 量 矩 陣Φ 滿 足2 K 階 的B－RIP 條 件，且B－RIP 特 性δB＜－1，就可以完成對稀疏向量的重構(gòu)。

因此，當(dāng)稀疏信號具有簇 （塊）稀疏結(jié)構(gòu)時，有限等距特性具有衰減特性。由于等距特性的衰減，將信號的簇（塊）稀疏結(jié)構(gòu)特性應(yīng)用到重構(gòu)算法中時，重構(gòu)算法可以具有更好的重構(gòu)精度?，F(xiàn)在基于簇 （塊）稀疏信號的重構(gòu)算法主要有L－OPT［14］，BMP［15］，BOMP［15］這3 種。其中LOPT 是基于凸優(yōu)化算法的，而BOMP是從原有的貪婪算法中加入簇 （塊）稀疏結(jié)構(gòu)改進(jìn)的。

3.2 基于分簇特性的信道壓縮感知算法

由于文獻(xiàn) ［15］提出的算法雖然考慮了信號的稀疏結(jié)構(gòu)，但要求簇 （塊）稀疏度須已知，而實際中信號的稀疏結(jié)構(gòu)通常是未知和具有不確定性的。因此，本文提出一種基于分簇特性的自適應(yīng)正則匹配追蹤 （CRAMP）信道估計算法。該算法利用回溯和正則化的思想，將簇稀疏度與非零簇的位置進(jìn)行分階段迭代估計和更新，改變了BOMP 中簇不能進(jìn)行更新的缺點，對實時性和準(zhǔn)確度都要求較強的寬帶信道估計有較好的適用性?；谙∈栊诺澜Y(jié)構(gòu)的重構(gòu)算法流程如圖2所示。

（1）輸入及初始化：根據(jù)式 （7），觀測矩陣Ψ＝XF∈RM×N，測量值YM，初始化簇稀疏度s，閾值ε；分塊向量G

圖2 CRAMP算法流程

初始化：h＾＝0，殘差r0＝Y(jié)M，信號支撐簇集T0＝ （空集），第一階段塊稀疏度k＝s，迭代次數(shù)i＝1，階段次數(shù)j＝1。

（2）初始測試：在第i次迭代時，i∈｛1，2，…，L｝選擇與殘差ri－1最相關(guān)的s個簇的序列號付給li，即

（3）更新信號支撐簇：運用正則化的思想，將信號支撐簇選擇的簇進(jìn)行分組，選擇最大的k 個信號支撐簇，更新支撐簇

（4）回溯

（5）計算殘差ri

其中 （·）T表示轉(zhuǎn)置，（·）＋表示偽逆運算。

4 仿真與結(jié)果分析

為了驗證CRAMP 算法的性能，本文通過MATLAB仿真平臺進(jìn)行了如下仿真，其中系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如下：在OFDM 系統(tǒng)中，子載波個數(shù)N＝512，循環(huán)前綴長度CP＝128，系統(tǒng)載波頻率5GHz，符號調(diào)制為QPSK。信道采用IEEE802.15.3a標(biāo)準(zhǔn)信道，信道長度為128，稀疏度為8，分簇大小d＝4。

圖3 給出了導(dǎo)頻子載波數(shù)為32 （占子載波數(shù)的6.25%），不同信噪比時幾種算法的誤碼率BER 比較曲線。圖4給出了導(dǎo)頻子載波數(shù)為32，不同信噪比時幾種算法的MSE比較曲線。

圖3 導(dǎo)頻為32、不同信噪比時算法的BER 比較曲線

圖4 導(dǎo)頻為32、不同信噪比時算法的MSE比較曲線

由圖3、圖4可見，傳統(tǒng)的LS算法性能較差，這是由于采用的導(dǎo)頻數(shù)目小于信道抽頭數(shù)目，采用最小二乘法不能準(zhǔn)確估計信道；OMP算法和BPDN 算法性能雖有一定提高，但由于信道的分簇性亦不能達(dá)到良好的效果；BOMP算法雖然性能較好，但由于其需要預(yù)先知道信道的非零抽頭數(shù)目，并不利于在實際中實現(xiàn)；本文提出的算法在誤碼率和MSE比BOMP 算法均有了一定程度的提高，且不需預(yù)先知道信道的非零抽頭數(shù)目。

圖5和圖6給出了信噪比為30dB時，不同導(dǎo)頻數(shù)目對算法性能的影響。

圖5 不同導(dǎo)頻數(shù)目對算法BER 的影響

圖6 不同導(dǎo)頻數(shù)目對算法MSE的影響

由于傳統(tǒng)的LS算法在導(dǎo)頻數(shù)量大于信道抽頭數(shù)時才能滿足信道估計的要求，因此這里只對基于壓縮感知的信道估計算法進(jìn)行了比較。由圖5、圖6中可以看出，BPDN 和OMP算法的性能較差，這是由于以上兩種算法雖然是稀疏算法，但其并不涉及到信道的分簇特性。同時，由圖5、圖6可以看出隨著導(dǎo)頻數(shù)量的增加，每種算法的性能都有了提高，但當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)目增大到70 后，其性能的改善并不明顯。這是因為壓縮感知算法屬于對欠定問題的求解算法，當(dāng)導(dǎo)頻達(dá)到一定數(shù)量時，重構(gòu)性能達(dá)到最好，此時增大導(dǎo)頻的數(shù)量并不能帶來系統(tǒng)性能的改善。

圖7給出了BPDN、OMP、BOMP、CRAMP算法在計算機上的仿真時間曲線，由圖7可以看出BPDN 算法的運算時間最長，OMP 次之，接下來是BOMP 算法，運算時間最短的是CRAMP 算法。對于BPDN 算法和OMP 算法都是應(yīng)用傳統(tǒng)的CS理論并沒有將信號的稀疏結(jié)構(gòu)加以考慮，每次只能提取一個非零元素，BPDN 算法又是基于凸優(yōu)化的稀疏重建算法，所以其運算復(fù)雜度最高；OMP算法是貪婪算法，其運算時間與算法的迭代次數(shù)有關(guān)，當(dāng)信道稀疏度已知時，運算時間相對較短。對于BOMP 和CRAMP這兩種貪婪算法而言，它們每次提取的是塊元素，其和OMP算法中每一次迭代的復(fù)雜度是相同的，但由于塊稀疏度是小于信號稀疏度的，所以BOMP和CRAMP算法的迭代次數(shù)較少，自然運算的時間也較短。又因為CRAMP算法采用了稀疏度自適應(yīng)的過程，可以減小迭代次數(shù)所以運算時間又比BOMP 短一些，但整體上，BOMP算法和CRAMP算法的運算時間差別不大。

圖7 不同算法的運算時間比較

5 結(jié)束語

寬帶信道的稀疏性是其本身固有的物理特性，使得壓縮感知技術(shù)能在稀疏信道估計上得以應(yīng)用。本文在寬帶信道原有稀疏特性的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究分簇稀疏結(jié)構(gòu)，并根據(jù)分簇結(jié)構(gòu)和實際中簇稀疏度未知的情況，提出了一種分簇特性的自適應(yīng)正則化的壓縮信道感知算法。仿真結(jié)果表明，在導(dǎo)頻數(shù)與信噪比相同的情況下，該算法的BER 和MSE的性能均優(yōu)于原有的相關(guān)算法，且兼顧了算法的復(fù)雜度要求。

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