王建敏，吳云潔*，劉佑民，張武龍

(1.北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191;2.北京航空航天大學 飛行器控制一體化技術(shù)重點實驗室，北京100191;3.北京航天發(fā)射技術(shù)研究所，北京100076;4.北京仿真中心導彈控制系統(tǒng)仿真國防科技重點實驗室，北京100854)

在實際的機械伺服系統(tǒng)中，機械諧振模態(tài)普遍存在.原因是伺服系統(tǒng)的傳動部分，比如傳動軸、連接軸等，并非是完全剛性的，在受力后會發(fā)生彈性形變.機械諧振不僅會影響伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤精度，還會嚴重損害機械部件，降低其壽命.因此，在伺服系統(tǒng)中，機械諧振的抑制一直是控制研究的重要問題，對此已有大量研究.

機械諧振的產(chǎn)生原因復雜多樣并且難以避免，因此只能針對已存在的機械諧振進行抑制或消除的研究.在眾多對機械諧振抑制的研究中，大致可以將機械諧振抑制方法分為以下幾類:

1)通過改進硬件方法進行諧振抑制.文獻［1］利用傳感器直接測量電機端與負載端的位置和速度信號，根據(jù)兩端信號估算出機械諧振的狀態(tài)，然后進行抑制;而文獻［2］是通過設(shè)計硬件陷波器電路并加入到伺服系統(tǒng)中來補償機構(gòu)諧振的幅頻特性，進而消除機械諧振的.

2)通過設(shè)計控制器，采用不同的控制方法實現(xiàn)諧振抑制.Slobodan和 Milic［3］利用速度環(huán)反饋控制方式設(shè)計了伺服系統(tǒng)的諧振抑制方案;Krzysztof和Teresa［4］在反饋控制的基礎(chǔ)上加入增益-積分速度控制器在雙質(zhì)量體系統(tǒng)中實現(xiàn)了諧振的抑制;楊曉霞等［5］利用加速度反饋方法設(shè)計了控制器，從而將諧振抑制到一定范圍內(nèi);于晶等［6］在加速度反饋的前提下設(shè)計了高階滑?？刂破?，有效抑制了機械諧振，在保證動態(tài)響應(yīng)性能的同時，增強了系統(tǒng)對于負載擾動的魯棒性;文獻［7-8］則利用擾動觀測器和反饋補償器對系統(tǒng)中的機械諧振進行了估計和補償，達到了諧振抑制的效果.

3)通過設(shè)計數(shù)字濾波器來抑制或消除機械諧振的影響.在此類諧振抑制方法中，應(yīng)用陷波器實現(xiàn)機械諧振抑制的研究是最多的［9-12］.Xu等［13］將自適應(yīng)的低通濾波器加入到速度反饋回路中實現(xiàn)了對機械諧振的抑制.

以上3種對機械諧振的抑制方法研究中，通過硬件改進的抑制方法花費的時間和成本相對比較多，實現(xiàn)難度也比較大，不易廣泛推廣;通過改善控制策略實現(xiàn)諧振抑制的方法雖然可以從整體系統(tǒng)上達到較好的控制效果，但控制器的設(shè)計過程相對繁瑣，對系統(tǒng)的功能需要有較強的把握才能保證設(shè)計的控制器可用;通過加入數(shù)字濾波器消除機械諧振的方法相對簡單、容易實現(xiàn)，但現(xiàn)有文獻均只是針對諧振點頻率抑制的研究.而在出現(xiàn)機械諧振時往往是諧振點和反諧振點成對出現(xiàn)的，利用陷波器只抵消了諧振點，反諧振點同樣會影響伺服系統(tǒng)的跟蹤精度和帶寬.

基于以上原因，本文針對陷波器、低通濾波器進行了研究，并提出了一種雙二次型濾波器，能夠解決同時抑制諧振點和反諧振點的問題，在提高跟蹤精度的同時增大了系統(tǒng)的帶寬.并利用伺服轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)進行了實驗驗證.

1 問題描述

1.1 數(shù)學模型

對于直流電機直接驅(qū)動的伺服系統(tǒng)，當考慮機械諧振模態(tài)時，一般采用雙質(zhì)量體模型來描述系統(tǒng)動態(tài)［14］，即

式中，Ra為電樞電阻;La為電樞電感;i為電樞電流;Ke為反電動勢系數(shù);θm為電機轉(zhuǎn)角;um為電樞電壓;Tm為電機輸出力矩;Kt為電磁轉(zhuǎn)矩常數(shù);Jm為電機轉(zhuǎn)動慣量;Bm為電機端黏性阻尼系數(shù);Tl為扭轉(zhuǎn)力矩;θl為負載轉(zhuǎn)角;Ks為轉(zhuǎn)軸的機械剛度;Jl為負載轉(zhuǎn)動慣量;Bl為負載端黏性阻尼系數(shù);Td為擾動力矩，包括摩擦力矩、耦合力矩及外部干擾力矩.

伺服系統(tǒng)中的機械諧振模態(tài)主要是由各傳動軸之間的柔性引起的.將式(1)～式(5)化簡，可得電機輸出轉(zhuǎn)角與電機力矩之間的關(guān)系為

式中，s為拉普拉斯算子;K1=JmJl;K2=JmBl+JlBm;K3=JmKs+JlKs+BmBl;K4=BmKs+BlKs.

1.2 諧振問題

本文所研究的伺服系統(tǒng)采用干擾觀測器(DOB)加零相差前饋控制器(ZPETC)的綜合控制結(jié)構(gòu)［15-16］.當存在機械諧振時，系統(tǒng)的模型辨識就不準確，這樣將影響DOB的設(shè)計，進而影響系統(tǒng)的跟蹤精度和系統(tǒng)帶寬.

對式(6)做進一步的分析可知，該系統(tǒng)存在諧振極點和諧振零點.這些零極點引起了伺服系統(tǒng)的機械諧振.通過對該伺服系統(tǒng)加白噪聲測試，獲得了系統(tǒng)伯德圖如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)伯德圖Fig.1 System Bode diagram

從圖1的幅頻特性曲線上明顯看到系統(tǒng)有較大的諧振，其中波峰b點為諧振點，波谷a點為反諧振點.式(6)的諧振極點使其產(chǎn)生諧振點，諧振零點使其產(chǎn)生反諧振點.由幅頻特性曲線可知，系統(tǒng)的諧振頻率比較低而諧振峰值比較高，這為DOB的設(shè)計帶來了一定的困難.因為諧振點附近，名義模型和實際模型的誤差增大，系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性很難滿足;若要滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，則需要減小濾波器的帶寬，系統(tǒng)頻帶要求就不一定能滿足.因此，需要設(shè)計濾波器對機械諧振進行抑制，進而設(shè)計符合條件的DOB和ZPETC，滿足系統(tǒng)的控制要求.

2 數(shù)字濾波器的設(shè)計

對于機械諧振問題，采用數(shù)字濾波器是一種簡單有效的方法，即設(shè)計濾波器來分別抵消系統(tǒng)中的諧振極點和諧振零點.在控制輸入和被控對象之間串聯(lián)一個濾波器，其結(jié)構(gòu)圖如圖2所示.

圖2 串聯(lián)濾波器結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure image of connected filter

則串聯(lián)濾波器后的系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示為

式中，θ(s)為電機輸出轉(zhuǎn)角;u(s)為輸入電壓;Gp(s)為被控對象;Q(s)為所設(shè)計的數(shù)字濾波器.

2.1 陷 波 器

常用的陷波器為改進型雙T網(wǎng)絡(luò)陷波器，因其能夠方便地實現(xiàn)作用頻率、陷波帶寬和陷波深度的調(diào)節(jié)，因此被廣泛使用.其傳遞函數(shù)［10］為

式中，a=1/ω20;b=k1/ω0;c=k2/ω0，ω0為陷波器的作用頻率;k1，k2分別為陷波器的陷波帶寬參數(shù)和陷波深度參數(shù).

由于陷波器是帶阻濾波器，其幅頻特性曲線的中段是向下彎曲的，因此可以將圖1中的b點抑制掉.將ω0設(shè)置為b點的頻率值，同時根據(jù)諧振頻率選擇合適的參數(shù)k1和k2即可設(shè)計好陷波器.將設(shè)計好的陷波器加入到式(7)所示的傳遞函數(shù)中，可獲得新的被控對象頻率響應(yīng).圖3所示為加入陷波器后系統(tǒng)的伯德圖.

圖3 加入陷波器后系統(tǒng)的伯德圖Fig.3 Bode diagram of system added notch filter

由圖3的幅頻特性曲線可見，陷波器的凹陷點與系統(tǒng)諧振點b的峰值點正好相互抵消，得到了較為光滑的幅頻特性曲線，如圖中虛線所示.在較多數(shù)的文獻中采用的是上述方法進行諧振抑制的，能達到一定的效果，在本文第3節(jié)將通過實驗進行驗證.但是由于反諧振點a(即幅頻特性曲線中向下凹陷的點)的存在，對系統(tǒng)的建模仍然會產(chǎn)生較大誤差.圖中的點劃線(Gn(s))是根據(jù)實際曲線擬合的名義模型，它與濾波后的系統(tǒng)幅頻特性曲線(Gp(s)Q1(s))相比，在中頻段的差距還是比較大的.

對圖3進行深入的分析計算可知，加入陷波器后系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定裕度為38.8 dB.而系統(tǒng)帶寬通過分析估計約為11.8 rad/s(由于閉環(huán)系統(tǒng)無法準確獲得，因此只能是估計，下同).

2.2 二階低通濾波器

從圖1的幅頻特性曲線中可知，反諧振點a的出現(xiàn)將系統(tǒng)的幅值壓了下來，致使幅頻特性曲線的斜率值增大.而一般情況下將轉(zhuǎn)臺伺服系統(tǒng)視為二階系統(tǒng)，因此在模型辨識時以二階系統(tǒng)參數(shù)辨識為主.則斜率值的增大不利于對系統(tǒng)參數(shù)的辨識，并且導致辨識模型與實際模型的差值增大，進一步影響控制器的設(shè)計.考慮到二階低通濾波器(又稱振蕩環(huán)節(jié))幅頻特性的特點，因此設(shè)計二階低通濾波器對反諧振點a進行抑制.二階低通濾波器的傳遞函數(shù)［17］為

式中，ξ為阻尼比;ωn為自然頻率.

二階低通濾波器的諧振頻率與自然頻率的關(guān)系為

式中ωr為濾波器的諧振頻率.

將ωr取為a點的頻率值，根據(jù)式(10)可計算得到自然頻率，并選取合適的阻尼比ξ即可得到具有抑制a點諧振能力的二階低通濾波器.將該濾波器加入到式(7)的傳遞函數(shù)中可得到新的傳遞函數(shù)的頻率特性，加入低通濾波器后系統(tǒng)的伯德圖如圖4所示.

圖4 加入低通濾波器后系統(tǒng)的伯德圖Fig.4 Bode diagram of system added low-pass filter

由圖4的幅頻特性曲線可知，加入低通濾波器后系統(tǒng)的反諧振點a被抑制了，系統(tǒng)的幅頻特性曲線的低頻段變得比較平滑，斜率值也有了一定程度的減小.擬合的名義模型曲線(Gn(s))與濾波后的系統(tǒng)幅頻特性曲線(Gp(s)Q2(s))在中頻段的吻合度還是很高的.第3節(jié)中將通過實驗證明該濾波器使得系統(tǒng)的頻帶提高了.但是該低通濾波器使得系統(tǒng)的相移增大了，從圖4的相頻特性曲線中可以看到，中頻段以后系統(tǒng)的相移增大了將近180°.并且由于諧振點b依然存在，對整個系統(tǒng)的控制器設(shè)計仍然會產(chǎn)生影響.

通過進一步的分析計算，加入該濾波器后系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定裕度為31.3 dB，閉環(huán)系統(tǒng)帶寬約為11.9 rad/s.

2.3 雙二次濾波器

為了同時抑制諧振點和反諧振點，在結(jié)合2.1節(jié)和2.2節(jié)所述陷波器和二階低通濾波器特性的基礎(chǔ)上，設(shè)計了雙二次型濾波器.設(shè)

則雙二次濾波器設(shè)計為

式中，ωa為對應(yīng) a點的頻率;ωb為對應(yīng) b點的頻率.

該雙二次型濾波器的物理意義很直觀，可以理解為Qa(s)和Qb(s)均是二階低通濾波器，其幅頻特性曲線具有向上的諧振峰.現(xiàn)將Qb(s)取倒數(shù)，則其幅頻特性曲線變成了向下的諧振峰.它與Qa(s)串聯(lián)后，由Qa(s)抵消系統(tǒng)幅頻特性曲線中的諧振點a，1/Qb(s)抵消反諧振點b，這樣系統(tǒng)幅頻特性曲線中的正、反諧振點均得到了抑制.

將式(13)的雙二次濾波器與式(8)的陷波器相比較可發(fā)現(xiàn)，當ωa=ωb時，式(13)與式(8)具有相同的形式，可見陷波器是所設(shè)計的雙二次濾波器的一種特例形式.

將式(13)及式(6)代入式(7)，可得新的被控對象的表達形式為

式中，G′p(s)為去除了諧振零極點的被控對象;K5，K6，K7為耦合常數(shù).

由式(14)可見，所設(shè)計的雙二次型濾波器將抵消原被控對象中的諧振極點和諧振零點，進而消除機械諧振.

根據(jù)式(10)可分別計算得到ωa和ωb的值，再選擇合適的阻尼比ξa和ξb即可設(shè)計完成雙二次濾波器.將該雙二次濾波器串入式(7)的傳遞函數(shù)中，得到如式(14)所示的新系統(tǒng)，進而得到加入雙二次濾波器后系統(tǒng)的伯德圖如圖5所示.

圖5 加入雙二次濾波器后系統(tǒng)的伯德圖Fig.5 Bode diagram of system added two-second filter

從圖5的幅頻特性曲線中可看到，系統(tǒng)的諧振已經(jīng)被完全抑制，系統(tǒng)的幅頻特性曲線(虛線)在中頻段以下已經(jīng)變成光滑的直線.而且辨識得到的名義模型(點劃線)也能與系統(tǒng)幅頻特性曲線完美吻合.從相頻特性曲線來看，串聯(lián)雙二次濾波器后系統(tǒng)的相移很小，基本與原曲線相重合.因此從仿真來看，所設(shè)計的雙二次型濾波器能夠達到理想的諧振抑制效果.

從定量的角度來分析，加入該雙二次型濾波器后系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定裕度達到43.4 dB，并且系統(tǒng)的帶寬約可達12.3 rad/s.

將設(shè)計的數(shù)字濾波器加入到轉(zhuǎn)臺伺服控制系統(tǒng)中，得到如圖6所示的結(jié)構(gòu).其中，e=θd－e.

圖6 加入數(shù)字濾波器后的轉(zhuǎn)臺伺服控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.6 Structure of turntable servo control system added digital filter

圖6中轉(zhuǎn)臺伺服系統(tǒng)采用速度環(huán)和位置環(huán)雙環(huán)控制［14］結(jié)構(gòu)，在雙環(huán)控制之前加入前饋控制，以消除相位滯后問題.對系統(tǒng)中的等效干擾，采用干擾觀測器進行抵消.速度信號是通過對位置信號微分獲得的，考慮到位置測量量化噪聲的影響，因此將位置信號微分之后經(jīng)過低通濾波器以獲取速度信號.由圖6的控制系統(tǒng)可見，設(shè)計的數(shù)字濾波器與控制對象串聯(lián)后被作為新的被控對象.在干擾觀測器設(shè)計中只要名義模型Gn(s)選取合適，系統(tǒng)中的其他等效干擾就會被觀測出并被抵消掉，進而提高控制器的性能［18］.將所設(shè)計的數(shù)字濾波器與被控對象串聯(lián)后可以抵消原系統(tǒng)中的諧振極點和諧振零點，使得系統(tǒng)消除機械諧振，并且不會改變原系統(tǒng)的可控性能.因此加入數(shù)字濾波器后整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由之后設(shè)計的控制器決定的，數(shù)字濾波器對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是沒有直接影響的.

為了實現(xiàn)濾波器的計算機應(yīng)用，需將其離散化.采用雙線性變換，將

代入式(13)可得

式中，K= ω2a/ω2b;N1=4+4Tξbωb+ ω2bT2;N2=2ω2bT2－8;N3=4 － 4Tξbωb+ ω2bT2;D1=4+4Tξaωa+ω2aT2;D2=2ω2aT2－8;D3=4 － 4Tξaωa+ω2aT2;T為采樣周期.

3 實驗結(jié)果

以某三軸飛行仿真轉(zhuǎn)臺為例進行實驗驗證.該仿真轉(zhuǎn)臺測角元件為光電編碼器，細分分辨率達0.0007°.控制算法以臺灣研華610工業(yè)控制計算機為核心，采用C++語言編程實現(xiàn)，人機交互界面由MFC編程建立.工控機通過ISA總線上16位D/A轉(zhuǎn)換卡與電機驅(qū)動器相連.系統(tǒng)的控制周期為1 ms，控制系統(tǒng)采用如圖6所示的控制結(jié)構(gòu).該三軸轉(zhuǎn)臺實物圖如圖7所示.

本文使用的是該仿真轉(zhuǎn)臺的外框軸.外框由于機械尺寸較大，力臂較長，在轉(zhuǎn)動過程中存在伺服彈性，因此會有較大的機械諧振.將設(shè)計的數(shù)字濾波器分別加入控制系統(tǒng)中，重新進行白噪聲測試，然后根據(jù)轉(zhuǎn)臺響應(yīng)結(jié)果進行頻譜特性分析并對系統(tǒng)進行辨識，得到了系統(tǒng)的頻率特性和名義模型，3種數(shù)字濾波器實驗結(jié)果如圖8所示.

圖7 三軸轉(zhuǎn)臺實物圖Fig.7 Physical map of three-axis turntable

圖8 3種數(shù)字濾波器實驗結(jié)果Fig.8 Experimental results of three kinds of digital filters

從圖8的3種濾波器實驗結(jié)果對比來看，實驗結(jié)果與仿真結(jié)果相一致.所提出的雙二次濾波器的實測曲線和擬合曲線吻合度最高，二階低通濾波器次之，陷波器最差.由圖8(c)的幅頻特性曲線可見，加入雙二次濾波器之后轉(zhuǎn)臺的模型被校正為比較標準的二階系統(tǒng).因此用二階名義模型來代替轉(zhuǎn)臺實際模型設(shè)計DOB還是很準確的.這樣系統(tǒng)中的等效干擾能盡可能被消除，進而伺服系統(tǒng)的跟蹤精度和系統(tǒng)頻帶才均能提高.

在圖8所示的名義模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計DOB和ZPETC，并加入到控制系統(tǒng)中進行系統(tǒng)測試.如圖9所示為加入雙二次濾波器后系統(tǒng)的跟蹤曲線.

圖9 加入雙二次濾波器后系統(tǒng)的跟蹤曲線Fig.9 System tracking curve added two-second filter

由圖9可見系統(tǒng)能夠很好地跟蹤指令的變化，說明系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能.為了進一步說明本文所設(shè)計的雙二次濾波器能夠使得系統(tǒng)在跟蹤精度方面優(yōu)于另外兩個濾波器，對3種數(shù)字濾波器作用下系統(tǒng)的跟蹤精度做了對比，結(jié)果如圖10所示.可見，應(yīng)用陷波器的系統(tǒng)跟蹤誤差是最大的，達到0.009°，而加入本文提出的雙二次濾波器的系統(tǒng)跟蹤誤差是最小的，只有0.0054°.由此可知，應(yīng)用雙二次濾波器能夠很好地抑制機械諧振，使得系統(tǒng)模型更容易辨識，控制器設(shè)計更加方便、有效，控制精度也更加滿足指標.

圖10 跟蹤精度對比Fig.10 Contrast of tracking accuracy

應(yīng)用數(shù)字濾波器后，除了系統(tǒng)跟蹤精度提高以外，系統(tǒng)的頻帶也增大了.如表1所示為加入不同數(shù)字濾波器后系統(tǒng)的頻帶范圍.

表1 系統(tǒng)頻帶范圍Table1 System bandwidth scope

加入雙二次濾波器的系統(tǒng)頻帶在“雙三”指標下達到了4 Hz，滿足了指標和精度的要求(“雙三”指標指的是幅度誤差在±3%以內(nèi)，相位誤差在±3°以內(nèi)).綜合以上實驗結(jié)果，本文提出的雙二次型數(shù)字濾波器能夠很好地抑制機械諧振，使得校正后的系統(tǒng)模型更加趨近二階系統(tǒng)，有利于系統(tǒng)模型的辨識及DOB的設(shè)計.同時該擬合度較高的數(shù)學模型為控制器、ZPETC的設(shè)計提供了方便，進而有助于控制系統(tǒng)跟蹤精度的提高和頻帶寬度的增大，最終達到系統(tǒng)動態(tài)性能指標.

4 結(jié)論

1)該雙二次型濾波器能夠同時抑制諧振中的正、反諧振點，進而將系統(tǒng)模型校正為光滑的二階系統(tǒng)形式，有利于系統(tǒng)模型的辨識和控制系統(tǒng)的設(shè)計.

2)在理論分析和仿真的基礎(chǔ)上進行了實驗驗證.實驗結(jié)果表明:所提出的雙二次型濾波器能夠很好地抑制諧振，相比于其他2種濾波器，在提高系統(tǒng)跟蹤精度的同時增大了系統(tǒng)帶寬，滿足了系統(tǒng)的動態(tài)性能指標.

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