孫方遠(yuǎn)，朱海定

（上海大學(xué) 管理學(xué)院，上海200444）

SUN Fang-yuan, ZHU Hai-ding

(School of Management, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

0 引 言

一般來講，運(yùn)輸問題可分為單目標(biāo)運(yùn)輸問題和多目標(biāo)運(yùn)輸問題。運(yùn)輸問題最早是由Hitchcock[1]于1941 年提出，它指的是貨物從生產(chǎn)商到銷售商的分配問題。這樣的運(yùn)輸問題也稱之為經(jīng)典的運(yùn)輸問題，其目標(biāo)只有一個(gè)，且約束均為等式。但在實(shí)際運(yùn)輸問題中，人們考慮的因素往往較多，包括在使得費(fèi)用最小的情況下，同時(shí)考慮時(shí)間限制、質(zhì)量等，要達(dá)到的目標(biāo)不止一個(gè)，也就產(chǎn)生了多目標(biāo)運(yùn)輸問題（MOTP）。然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)常常不能確定，供應(yīng)量和需求量也常常如此，因而問題的目標(biāo)和約束就可能是模糊的，這也就使得多目標(biāo)模糊運(yùn)輸問題（MOFTP） 應(yīng)運(yùn)而生。本文為了使大家對運(yùn)輸問題能夠有更加深入系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，對單目標(biāo)運(yùn)輸問題和多目標(biāo)運(yùn)輸問題分別做介紹，再各自深入到帶模糊數(shù)的單目標(biāo)運(yùn)輸問題和帶模糊數(shù)的多目標(biāo)運(yùn)輸問題，給出模型、算法和算例。

1 帶模糊數(shù)的單目標(biāo)運(yùn)輸問題

1.1 經(jīng)典運(yùn)輸問題

經(jīng)典運(yùn)輸問題就是指把某種物資從若干個(gè)供給地運(yùn)往若干個(gè)需求地，各供給地的供給量、各需求地的需求量已知，各供給地與需求地之間的交通是否可達(dá)也已知，據(jù)此解決如何安排運(yùn)輸使總運(yùn)費(fèi)最少的問題。

經(jīng)典的運(yùn)輸問題描述如下：供應(yīng)點(diǎn)以Si（i=1,2,…,m）表示，有m個(gè)；需求點(diǎn)以Dj（j=1,2,…,n）表示，有n個(gè)。第i個(gè)供應(yīng)點(diǎn)的可供量以ai（i=1,2,…,m）表示，第j個(gè)需求點(diǎn)的需求量以bj（j=1,2,…,n）表示。從供應(yīng)點(diǎn)Si向需求點(diǎn)Dj運(yùn)送一單位物品的運(yùn)輸成本為cij。求使得總運(yùn)輸成本最小的調(diào)運(yùn)方案。xij是決策變量，表示即將從供應(yīng)點(diǎn)Si向需求點(diǎn)Dj運(yùn)送的商品數(shù)量，此傳統(tǒng)運(yùn)輸問題的數(shù)學(xué)模型可表示為：

1.2 帶模糊數(shù)的單目標(biāo)運(yùn)輸問題

1.2.1 帶模糊數(shù)的單目標(biāo)運(yùn)輸問題模型。為了使經(jīng)典的運(yùn)輸問題能更加切實(shí)地反應(yīng)模糊的世界，對以上模型中的參數(shù)第i個(gè)供應(yīng)點(diǎn)的可供量ai（i=1,2,…,m）和第j個(gè)需求點(diǎn)的需求量為bj（j=1,2,…,n）分別取三角模糊數(shù)和得到帶模糊數(shù)的單目標(biāo)運(yùn)輸問題的模型如下：

1.2.2 帶模糊數(shù)的單目標(biāo)運(yùn)輸問題的算例應(yīng)用。假如已知運(yùn)輸單價(jià)、供給量及需求量如表1，試求運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案。

表1 運(yùn)輸表

根據(jù)此表可得到如下模型：

根據(jù)高淑萍在其文章中用的三角模糊數(shù)排序準(zhǔn)則[2]，可將該問題化為如下線性規(guī)劃問題：

用Lingo 軟件解得：

2 帶模糊數(shù)的多目標(biāo)運(yùn)輸問題

2.1 多目標(biāo)運(yùn)輸問題

單目標(biāo)運(yùn)輸問題是考慮使運(yùn)輸總成本最小這一個(gè)目標(biāo)的運(yùn)輸問題，然而在現(xiàn)實(shí)中要考慮的因素往往不止成本這一項(xiàng)。現(xiàn)實(shí)生活中大量的運(yùn)輸問題要綜合考慮多個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化問題。比如，在一個(gè)物流配送系統(tǒng)中，除了對總運(yùn)輸費(fèi)用有要求外，還要求商品運(yùn)輸?shù)目煽啃?、平均交貨時(shí)間甚至客戶最滿意等也要有所要求，這些不同的要求也就形成了本物流配送需要達(dá)到的不同目標(biāo)。

其中，ai≥0 表示第i個(gè)生產(chǎn)地的產(chǎn)量；bj≥0 表示第j個(gè)銷售地的銷量；目標(biāo)中可以表示總運(yùn)費(fèi)、總運(yùn)輸時(shí)間、總運(yùn)輸能耗或運(yùn)輸對環(huán)境所造成的污染等；在最大化目標(biāo)中，可以表示總質(zhì)量、滿意度、可靠性等。

對于多目標(biāo)運(yùn)輸問題的求解，不同學(xué)者運(yùn)用了不同的解法。熊國強(qiáng)等人提出一種求解多目標(biāo)運(yùn)輸問題的目標(biāo)協(xié)調(diào)優(yōu)化方法[3]，白國仲給出了求解多目標(biāo)運(yùn)輸問題的表上作業(yè)法[4]，羅霞，廖勇和李錄書用模糊規(guī)劃法求解多目標(biāo)運(yùn)輸問題[5-6]。對這三種求解多目標(biāo)運(yùn)輸問題的方法進(jìn)行對比分析，熊國強(qiáng)等人提出的目標(biāo)協(xié)調(diào)優(yōu)化方法，易于掌握，易于操作，是相對最優(yōu)的。

2.2 帶模糊數(shù)的多目標(biāo)運(yùn)輸問題

2.2.1 帶模糊數(shù)的多目標(biāo)運(yùn)輸問題的模型。考慮在實(shí)際的運(yùn)輸問題決策中，相關(guān)參數(shù)，如銷地的貨物需求量、產(chǎn)地的貨物生產(chǎn)量及運(yùn)輸貨物的單位運(yùn)價(jià)的確定往往帶有隨意性或經(jīng)驗(yàn)性，因而不那么精確。故會(huì)考慮把這些參數(shù)設(shè)成模糊參數(shù)，從而得含模糊參數(shù)的多目標(biāo)運(yùn)輸問題的模型如下：

對含有模糊參數(shù)的多目標(biāo)運(yùn)輸問題的求解，不同的學(xué)者也提出不同的解法。宋業(yè)新等人運(yùn)用一種對模糊數(shù)排序的方法，將模糊多目標(biāo)運(yùn)輸問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)運(yùn)輸問題進(jìn)行求解[7]。羅霞，廖勇利用三角模糊數(shù)的大小關(guān)系和模糊數(shù)的數(shù)學(xué)特征分別對目標(biāo)函數(shù)和約束中的模糊參數(shù)去模糊化，從而模糊多目標(biāo)運(yùn)輸模型變成普通的多目標(biāo)運(yùn)輸模型，再進(jìn)行求解[5]。

2.2.2 帶模糊數(shù)的多目標(biāo)運(yùn)輸問題的算例應(yīng)用。求解如下運(yùn)輸問題：供給地A 和供給地B 為運(yùn)輸物資提供方，需求地有3 個(gè)a、b 和c，考慮運(yùn)輸成本、供應(yīng)量和需求量的模糊性，用三角模糊數(shù)表示之，得問題模型如下：

用羅霞[5]的求解方法對其進(jìn)行求解：

第一步，將目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行分家，計(jì)算不同目標(biāo)在約束條件下的最優(yōu)解。目標(biāo)函數(shù)被分解成如下4 個(gè)：

約束為：

得到的解如表2：

表2

第二步，根據(jù)以上結(jié)果可得如下各個(gè)目標(biāo)的隸屬度函數(shù)：

第三步，根據(jù)表2 的計(jì)算結(jié)果，建立轉(zhuǎn)換后的模型如下，其中以λ 最小為目標(biāo)，并將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)為實(shí)數(shù)下的約束條件，把模糊約束也轉(zhuǎn)為實(shí)數(shù)下的約束條件，轉(zhuǎn)化后的模型如下：

最后，利用Lingo 軟件求解第三步中的模型，解得X*= （0,19.37,62.59,28.32,17.45,5.14），各目標(biāo)值依次為999.11、1 297.72、1 618.81 和-1 856.42。并可求得各個(gè)目標(biāo)的滿意度（μ1（z1）～μ4（z4））分別為0.5445、1、1 和0.5457。

3 小 結(jié)

本文對運(yùn)輸問題的研究中加入了模糊參數(shù)。從經(jīng)典的運(yùn)輸問題的介紹到帶模糊數(shù)的單目標(biāo)運(yùn)輸問題的介紹，再從一般的多目標(biāo)運(yùn)輸問題的介紹到帶模糊數(shù)的多目標(biāo)運(yùn)輸問題的介紹，對運(yùn)輸問題的詮釋層層深入。并且在給出這4 類模型的同時(shí)還附帶了算例及其求解，更進(jìn)一步展示了運(yùn)輸問題的運(yùn)用情況。對4 類運(yùn)輸問題的算法進(jìn)行總結(jié)可知，最終均能化為線性規(guī)劃問題，利用Lingo 軟件進(jìn)行求解。因此，本文相對系統(tǒng)的總結(jié)了運(yùn)輸問題的各種情況，在研究運(yùn)輸問題時(shí)，有一定的參考性。

[1] Hitchcock F.L.. The distribution of a product from several sources to numerous localities[J]. Journal of Mathematical Physics,1941,20:224-230.

[2] 高淑萍. 運(yùn)輸問題的模糊優(yōu)化算法和理論研究[D]. 西安：西安電子科技大學(xué)（博士學(xué)位論文），2003.

[3] 熊國強(qiáng)，潘泉，張洪才. 求解多目標(biāo)運(yùn)輸問題的一種目標(biāo)協(xié)調(diào)優(yōu)化方法[J]. 系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2007,16(5):528-536.

[4] 白國仲. 求解多目標(biāo)運(yùn)輸問題的表上作業(yè)法[J]. 信陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007,20(4):403-408.

[5] 羅霞，廖勇. 多目標(biāo)模糊運(yùn)輸問題的建模與求解[J]. 西華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010,29(4):43-47.

[6] 李錄書. 多目標(biāo)運(yùn)輸問題的fuzzy 線性規(guī)劃解法[J]. 運(yùn)籌與管理，1994,3(1):11-16.

[7] 宋業(yè)新，陳錦云，吳曉平. 具有模糊信息的多目標(biāo)運(yùn)輸問題求解[J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2001,15(3):86-89.