胡 榮，李天睿，張 君，江 超

（南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院，南京210016）

0 引言

航空運(yùn)輸市場是典型的寡頭壟斷市場，航空公司在市場價(jià)格競爭過程中存在著明顯的決策信息交互作用：航空公司在制定定價(jià)策略時(shí)，不僅要考慮策略對自身的影響，還要考慮到競爭對手對自身定價(jià)策略的態(tài)度和反應(yīng)。因此，博弈論成了此類問題的有效分析工具。

由于定價(jià)問題涉及到航空公司的核心利益，很多學(xué)者已嘗試運(yùn)用博弈論來分析航空公司的市場價(jià)格競爭行為，主要沿著兩條主線展開：一是以收益管理理論為基礎(chǔ)開展分析。文獻(xiàn)［1］在第六屆INFORMS收益管理和定價(jià)年會上，提出了非零和的和非合作的隨機(jī)博弈和微分博弈的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，并證明了納什均衡解的存在性和唯一性；文獻(xiàn)［2］構(gòu)建了市場中包含兩家航空公司，采取兩種定價(jià)水平的博弈模型，分析了中國航空公司收益管理效果不明顯的影響因素；文獻(xiàn)［3］通過引入社會福利函數(shù)和航空公司載運(yùn)率因子，運(yùn)用次優(yōu)理論對機(jī)票價(jià)格管制問題進(jìn)行了博弈分析和理論解釋；文獻(xiàn)［4］則結(jié)合中國航空定價(jià)機(jī)制，引入民航總局這一市場監(jiān)管者，運(yùn)用博弈理論分析了民航總局對航空定價(jià)實(shí)行管制和航空公司降價(jià)競爭的問題；文獻(xiàn)［5］對航空市場的差別定價(jià)問題進(jìn)行了分析，等等。二是以平均定價(jià)理論為基礎(chǔ)開展分析。文獻(xiàn)［6］較早運(yùn)用博弈論研究了航空公司價(jià)格競爭問題，文章分別構(gòu)建了完全信息和不完全信息的價(jià)格競爭博弈模型，分析了航空公司之間惡性價(jià)格競爭的緣由；文獻(xiàn)［7］構(gòu)建了航空公司兩階段的市場空間博弈模型，并對South－Atlantic航空市場進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)［8］基于產(chǎn)品差異化理論，建立了不完全信息的航空公司價(jià)格競爭博弈模型，證明模型不存在純戰(zhàn)略均衡；文獻(xiàn)［9－11］分別考慮了航班延誤、進(jìn)入壁壘的因素，構(gòu)建了航空公司市場競爭的動(dòng)態(tài)博弈模型；文獻(xiàn)［12］對中國航空運(yùn)輸市場的“價(jià)格戰(zhàn)”和“價(jià)格聯(lián)盟”進(jìn)行了分析，對東方航空公司和南方航空公司間的“價(jià)格戰(zhàn)”進(jìn)行了模擬和分析；文獻(xiàn)［13－14］研究了基于有限理性和不同競爭戰(zhàn)略的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭復(fù)雜性，等等。

縱觀當(dāng)前研究文獻(xiàn)，運(yùn)用博弈論開展航空公司價(jià)格競爭的研究尚有幾點(diǎn)不足：1）絕大多數(shù)研究均假設(shè)航空公司在價(jià)格競爭中具有完全理性；2）是對航空公司的價(jià)格競爭研究以靜態(tài)分析為主，動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭研究不足；3）是對航空公司市場價(jià)格調(diào)整機(jī)制的研究尚顯單一，尚未涉及延遲決策機(jī)制。故本文在上述研究不足的基礎(chǔ)上，引入延遲決策價(jià)格調(diào)整機(jī)制，建立雙寡頭壟斷的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型，對模型均衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性進(jìn)行分析，并仿真不同市場參數(shù)下的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭復(fù)雜性，深入研究延遲決策對系統(tǒng)穩(wěn)定域、系統(tǒng)到達(dá)均衡的時(shí)間、航空公司累計(jì)利潤等的影響，以從不同視角分析延遲決策對競爭復(fù)雜性的影響。

1 基本模型

收益管理在國外航空公司中有著廣泛運(yùn)用，通過對細(xì)分的旅客實(shí)施差別定價(jià)可提高航空公司的收益。但中國航空運(yùn)輸市場65%以上的旅客是公務(wù)和商務(wù)旅客，從收益管理的角度來看，中國當(dāng)前的航空旅客需求是比較缺乏彈性的，缺乏實(shí)施差別定價(jià)的市場基礎(chǔ)［3］，同時(shí)中國航空公司的收益管理軟件主要用于統(tǒng)計(jì)和成本效益分析等方面，收益管理并未發(fā)揮其有效作用［4］，因而本文采用文獻(xiàn)［13］中平均價(jià)格定價(jià)理論構(gòu)建航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型。

假定某航空運(yùn)輸市場僅由兩家航空公司（分別記為A1和A2）所壟斷，并且兩家航空公司都以利潤最大化為戰(zhàn)略目標(biāo)制定競爭策略。不妨設(shè)航空公司Ai在時(shí)期t的機(jī)票價(jià)格為pi（t），旅客運(yùn)輸量為qi（t），其中i＝1，2，t＝0，1，2，…，下同。則可得到整個(gè)航空運(yùn)輸市場的需求函數(shù)為

其中，i，j＝1，2，i≠j；ai＞0表示航空運(yùn)輸市場對航空公司Ai的需求水平；θi＞0稱為差異化系數(shù)，反映的是航空公司之間的差異化程度。具體而言，差異化系數(shù)θ1表示航空公司A2對A1的差異化程度，θ1越小表明兩者差異化程度越大，替代性越小。一般而言，有0＜θi＜bi，這意味著某航空公司自身價(jià)格對市場需求的影響大于交叉價(jià)格的影響?？紤]到航空公司間在航線網(wǎng)絡(luò)、航班班次、服務(wù)品牌等方面的差異且不失一般性，令a1＝a2，b1＝b2，θ1≠θ2則市場需求函數(shù)為

假設(shè)兩家航空公司的成本函數(shù)均為線性形式即Ci＝ciqi。則航空公司在時(shí)期t的利潤函數(shù)為

對于任意給定的時(shí)期t，對Πi（p1，p2）關(guān)于pi求偏導(dǎo)，可得到航空公司Ai在當(dāng)期的邊際利潤為

由于在現(xiàn)實(shí)市場競爭中，航空公司并不能獲得完全的市場信息，也不能完全預(yù)測到未來的市場變化情況，因而他們在價(jià)格競爭決策中體現(xiàn)為有限理性，只能隨著價(jià)格競爭的進(jìn)程按照一定的價(jià)格調(diào)整規(guī)則對自身價(jià)格進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整直至競爭最終達(dá)到均衡狀態(tài)。而“近視眼”調(diào)整機(jī)制是市場競爭中最為常用的調(diào)整機(jī)制之一［15］。本文假定兩家航空公司均采用“近視眼”調(diào)整機(jī)制，即航空公司基于上期價(jià)格競爭的邊際利潤情況，對本期價(jià)格決策進(jìn)行的動(dòng)態(tài)調(diào)整。具體調(diào)整規(guī)則為：在時(shí)期t，如果估計(jì)的邊際利潤是正（負(fù)）的，那么該航空公司將提高（降低）第t＋1期的價(jià)格。故有：

其中，αi＞0為航空公司Ai的價(jià)格調(diào)整速度，反映了該航空公司對邊際利潤信號的反應(yīng)速度。因此可得基于“近視眼”調(diào)整機(jī)制的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型：

然而在現(xiàn)實(shí)中，航空公司在制定價(jià)格決策時(shí)不僅會考慮到當(dāng)期的利潤情況，還會綜合考慮以往連續(xù)多期的利潤信息；此外，航空公司在動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭過程中一旦操作失當(dāng)將會使得市場競爭陷入混沌［13－14］，航空公司必定會采取措施來穩(wěn)定市場。本文根據(jù)上述思想，可構(gòu)建基于延遲決策的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型：

本文一方面為重點(diǎn)考察延遲決策對航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的影響，另一方面為體現(xiàn)航空公司間決策能力的差異，不妨認(rèn)為航空公司A1具有較高的市場競爭能力，采用延遲決策參與市場價(jià)格競爭，而航空公司A2僅采用“近視眼”調(diào)整機(jī)制參與市場競爭。因此當(dāng)T＝1時(shí)則有如式（8）航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型：

2 模型分析

對于航空公司的價(jià)格競爭，只有當(dāng)其均衡價(jià)格非負(fù)時(shí)才有現(xiàn)實(shí)意義，故本文只研究模型（8）的均衡結(jié)果非負(fù)的情況。為研究模型（8）的穩(wěn)定性，將其改寫為

首先，計(jì)算系統(tǒng)（9）在任意一點(diǎn)的Jacobian矩陣：

在有界均衡點(diǎn)E1處的Jacobian矩陣為

它的3個(gè)特征值分別為λ1＝0，λ2＝1＋α1（a ＋ bc1）和λ3＝1＋α2（a ＋ bc2）。顯然，λ2＞1，λ3＞1，故均衡點(diǎn)E1是不穩(wěn)定點(diǎn)。

再次，在有界均衡點(diǎn)E2處的Jacobian矩陣為

它的3個(gè)特征值分別為λ1＝0，λ2＝1＋α1（a＋bc1＋θ1p2）和λ3＝1＋α2（a＋bc2－4bp2）。由于p2＝，故有λ ＞1，λ ＜1，因此均衡點(diǎn)E也是不穩(wěn)定點(diǎn)。

再次，在有界均衡點(diǎn)E3處的Jacobian矩陣為

它的3個(gè)特征值分別為λ1＝1＋α2（（a＋bc2）＋θ2p1），

綜上分析，可得定理1：

定理1 系統(tǒng)（9）的均衡點(diǎn)E1，E2，E3都是不穩(wěn)定點(diǎn)。

考察系統(tǒng)（9）在Nash均衡點(diǎn)E＊的情況，考慮到f＊＝p1＊，在均衡點(diǎn)E＊的Jacobian矩陣為

即，式（10）在空間 （α1，ω，α2）中定義了系統(tǒng)（9）的Nash均衡點(diǎn)E＊的一個(gè)穩(wěn)定區(qū)域，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取值超出式（10）這個(gè)范圍，則點(diǎn)E＊將變得不穩(wěn)定。因而可得到關(guān)于Nash均衡點(diǎn)E＊局部穩(wěn)定性的定理：

定理2 在由式（10）定義的范圍內(nèi)，Nash均衡點(diǎn)E＊是系統(tǒng)（9）的穩(wěn)定點(diǎn)。

需要指出的是，雖然航空公司價(jià)格調(diào)整速度αi，延遲決策權(quán)重ω對系統(tǒng)穩(wěn)定域有顯著影響，但對最終的均衡價(jià)格的結(jié)果值沒有影響，也不會影響到航空公司最終的市場均衡利潤。

3 數(shù)值仿真

為了更好地了解航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭系統(tǒng)的性質(zhì)，特別是延遲決策對動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的影響，本節(jié)將開展數(shù)值模擬仿真。設(shè)市場需求函數(shù)的參數(shù)a＝2.65，b＝1，航空公司服務(wù)單位旅客流量的成本分別為c1＝0.6，c2＝0.5，航空公司間的差異化系數(shù)分別為θ1＝0.7，θ2＝0.6，兩家公司的初始市場價(jià)格為（2，3）。

3.1 延遲決策對系統(tǒng)穩(wěn)定域的影響

由前文分析可知，航空公司價(jià)格調(diào)整速度αi和延遲決策權(quán)重ω共同構(gòu)成了航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭穩(wěn)定空間（α1，ω，α2），如圖1所示。當(dāng)αi，ω的取值在此空間內(nèi)時(shí)，基于延遲決策的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭最終將穩(wěn)定于Nash均衡點(diǎn)E＊。

圖2描述的是穩(wěn)定空間（α1，ω，α2）在平面（α1，ω）上的投影。從圖2中可以看出航空公司A1的穩(wěn)定域范圍。由于航空公司A1引入了延遲決策機(jī)制，延遲決策的權(quán)重ω對其價(jià)格調(diào)整速度α1有顯著的影響。當(dāng)ω的取值由1逐步遞減時(shí)（即往期的決策信息比重越來越大），α1的取值范圍先變大再變小，可見延遲決策并不一定能擴(kuò)大穩(wěn)定域［16－17］。當(dāng)ω＝0.75時(shí)，α1取得最大值0.822 5。

這一結(jié)論說明：1）由于采取了延遲決策機(jī)制，航空公司A1能夠獲取更多的決策信息，使得其α1的變動(dòng)范圍增大，有助于擴(kuò)大其穩(wěn)定域。從圖2可知，當(dāng)延遲決策權(quán)重ω∈（0.5，1）時(shí)，航空公司A1的穩(wěn)定域明顯大于其未采用延遲決策的穩(wěn)定域（即ω＝1時(shí)）。2）當(dāng)ω∈［0，0.5）時(shí)，航空公司A1的穩(wěn)定域?qū)⑿∮谄湮床捎醚舆t決策的穩(wěn)定域。這表明往期的決策信息所占比重越大對系統(tǒng)穩(wěn)定性越不利，這主要因?yàn)橥诘臎Q策信息反映的是過去的歷史信息，未能有效涵蓋當(dāng)前的市場動(dòng)態(tài)，使得決策不能及時(shí)吸納最新的當(dāng)期決策信息。這也提示我們雖然引入延遲決策機(jī)制能夠使得航空公司獲得更多的決策信息，但需要科學(xué)確定延遲決策的權(quán)重，以確保延遲決策發(fā)揮正向積極效用。

3.2 基于延遲決策的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭演化

圖3描繪的是當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取上述初始值，航空公司A1的價(jià)格調(diào)整速度α1＝1，權(quán)重ω＝0.95時(shí)，航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭隨航空公司A2價(jià)格調(diào)整速度α2變化的動(dòng)態(tài)演化圖。從圖3中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取值滿足穩(wěn)定條件時(shí)，兩家航空公司的價(jià)格趨于Nash均衡解。隨著α2取值的增大，系統(tǒng)由初期穩(wěn)定的均衡狀態(tài)逐步進(jìn)入到分岔和混沌狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入到分岔和混沌狀態(tài)后，航空公司間的市場價(jià)格波動(dòng)很大，很難找出價(jià)格變化的簡單規(guī)律，這給航空公司的未來價(jià)格決策帶來了困難。

圖1 系統(tǒng)穩(wěn)定域的示意圖Fig.1 Diagram of systems stable region

圖2 系統(tǒng)穩(wěn)定域的投影圖Fig.2 Projection diagram of systems stable region

圖3 基于延遲決策的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭演化圖Fig.3 Bifurcation diagram of airlines′dynamic price competition based on delayed dicision

3.3 延遲決策對航空公司競爭的累積利潤的影響

圖4a描繪的是當(dāng)α2＝0.4（即系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)），其他系統(tǒng)參數(shù)取圖3值，競爭周期為20期時(shí)的航空公司累積利潤隨權(quán)重ω的變化情況。從圖4a中可以看出，隨著ω的減小，航空公司A1的累積利潤持續(xù)降低，而航空公司A2的累積利潤不斷增加。可見當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，航空公司A1為引入延遲決策需要付出累積利潤減少的代價(jià)，而航空公司A2卻能從中獲得“漁翁之利”。

圖4b，4c分別描繪的是當(dāng)α2＝0.5，0.6（系統(tǒng)處于分岔和混沌狀態(tài)）時(shí)航空公司累積利潤隨權(quán)重ω的變化情況。從圖4b和4c中可以看出：1）當(dāng)系統(tǒng)處于分岔狀態(tài)時(shí)，航空公司A1和A2的累積利潤隨著ω的減小均呈現(xiàn)先增加再減少的變化趨勢。這表明航空公司A1引入延遲決策機(jī)制后，當(dāng)權(quán)重ω較大（即當(dāng)期決策信息所占比重較大）時(shí)，兩家航空公司均能夠從延遲決策機(jī)制中獲益。2）當(dāng)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，航空公司A1和A2的累積利潤隨著ω的減小而呈波動(dòng)變化，其中A1的累積利潤總體呈水平波動(dòng)，而A2的累積利潤總體呈上升趨勢。這表明航空公司A1引入延遲決策機(jī)制后，A2能夠從中獲得更多收益。

圖4 不同狀態(tài)下延遲決策對累積利潤的影響示意圖Fig.4 Influence diagrams of delayed decision on the accumulated profits under different states

綜上可見，當(dāng)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，引入延遲決策機(jī)制對航空公司競爭的累積利潤有益，特別是當(dāng)權(quán)重ω取值較大時(shí)，航空公司獲益情況更加明顯。而當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，航空公司A1引入延遲決策機(jī)制可以有效擴(kuò)大穩(wěn)定域但也付出累積利潤減少的代價(jià)，A2卻能從中“搭便車”獲取額外收益。

3.4 延遲決策對競爭到達(dá)均衡的時(shí)間的影響

由于航空公司決策不具有完全理性，因而它們的價(jià)格競爭不可能通過一次博弈就實(shí)現(xiàn)市場均衡，而是需要經(jīng)過多輪博弈進(jìn)而達(dá)到均衡狀態(tài)。下面分析當(dāng)系統(tǒng)（9）處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，延遲決策權(quán)重ω對競爭到達(dá)均衡的時(shí)間（即市場博弈周期數(shù)）的影響，本文假定當(dāng)｜pi（t）－p＊1（t）｜≤0.000 01時(shí)市場競爭達(dá)到均衡。

圖5描繪的是當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取圖4a值時(shí)，航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭達(dá)到均衡的時(shí)間隨權(quán)重ω變化的演化圖。從圖5中可看出，隨著ω的增大，達(dá)到均衡的時(shí)間先縮短再延長；當(dāng)ω取值較大（如ω≥0.6）時(shí)，到達(dá)均衡的時(shí)間明顯快于ω取值較小時(shí)，這也說明當(dāng)期決策信息較往期決策信息對縮短到達(dá)均衡的時(shí)間更有利。特別地，當(dāng)ω＝0.811時(shí)，航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭達(dá)到均衡的時(shí)間最短，僅需27次博弈即實(shí)現(xiàn)了市場均衡。

圖5 延遲決策對競爭到達(dá)均衡的時(shí)間的影響圖Fig.5 Influence diagram of delayed decision on the time when competition reaches equilibrium

4 結(jié)論

本文綜合運(yùn)用延遲決策與非線性動(dòng)力學(xué)的分支理論，構(gòu)建了基于延遲決策的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型，分析了競爭模型均衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性，并通過數(shù)值仿真，模擬了不同系統(tǒng)參數(shù)下的航空公司動(dòng)態(tài)定價(jià)行為，深入分析了延遲決策對動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型復(fù)雜性的影響。

研究表明：1）引入延遲決策的有限理性航空公司開展動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭時(shí)，其延遲決策權(quán)重、價(jià)格調(diào)整速度等參數(shù)對競爭模型的穩(wěn)定性有顯著影響，一旦參數(shù)取值超過某一臨界值，系統(tǒng)將表現(xiàn)出分岔、混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。2）延遲決策權(quán)重對系統(tǒng)穩(wěn)定域大小有顯著影響。權(quán)重取值較大時(shí)有利于擴(kuò)大系統(tǒng)的穩(wěn)定域。3）延遲決策對航空公司累積利潤有顯著影響。系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，航空公司引入延遲決策機(jī)制更有利。同時(shí)，也會出現(xiàn)競爭對手“搭便車”而獲取額外利潤的現(xiàn)象。4）延遲決策對競爭達(dá)到均衡的時(shí)間有顯著影響。當(dāng)權(quán)重取值較大時(shí)到達(dá)均衡的時(shí)間明顯較快。5）決策信息（包含當(dāng)期及往期）對航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型有重要影響。一般而言，當(dāng)期決策信息對航空公司決策更有益。引入延遲決策機(jī)制的航空公司決策關(guān)鍵在于確定權(quán)重的取值，以有效平衡穩(wěn)定域、累積利潤、均衡時(shí)間等因素。

當(dāng)然，本文僅從理論上研究了延遲決策對航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭復(fù)雜性的影響，對現(xiàn)實(shí)市場的實(shí)證分析有待進(jìn)一步研究。此外，對于多方引入延遲決策機(jī)制、何時(shí)引入延遲決策機(jī)制等問題將在今后的工作中予以研究。

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