鞏長忠，李飛燕

（中國民航大學理學院，天津300300）

0 引言

復雜網(wǎng)絡(luò)在自然界中普遍存在，例如，交通運輸網(wǎng)絡(luò)、萬維網(wǎng)（WWW）、生態(tài)網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝網(wǎng)、人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)等等。因此，它在我們的日常生活中已經(jīng)變得越來越重要。復雜網(wǎng)絡(luò)的本質(zhì)就是復雜性，包括網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)、動力學演化、節(jié)點多樣性等等。最近由于計算機的快速發(fā)展，我們能夠快速處理網(wǎng)絡(luò)中的大規(guī)模數(shù)據(jù)。隨著“小世界網(wǎng)絡(luò)”和“無標度網(wǎng)絡(luò)”［1－2］誕生，復雜網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)成為一個熱點，吸引了許多科學和工程領(lǐng)域人士的關(guān)注。

在許多復雜動力學行為中，網(wǎng)絡(luò)同步是一個非常有意義的現(xiàn)象，已經(jīng)成為復雜網(wǎng)絡(luò)研究的一個焦點。自從Pecora［3］提出并率先實現(xiàn)混沌同步以來，許多同步的方法（完全同步［4］、相同步［5］、滯后同步［6］、廣義同步［7］、投影同步［8－9］）先后被學者提出，投影同步是由Mainieri和Rehacek在研究部分線性混沌系統(tǒng)時首次提出的［10］。它由于其比例特性能夠使得混沌通信更加安全，所以廣義投影同步近年來得到廣泛的研究［11－13］。最近，文獻［14］研究了一類參數(shù)未知的超混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影滯后同步。文獻［15］研究了兩個不同的復雜網(wǎng)絡(luò)間的廣義矩陣投影滯后同步。網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點可以有不同的動力學行為并且網(wǎng)絡(luò)維數(shù)也可以不同，研究結(jié)果不適用于參數(shù)不確定或者拓撲結(jié)構(gòu)未知的復雜網(wǎng)絡(luò)。但現(xiàn)實的復雜網(wǎng)絡(luò)中存在著如節(jié)點的動力學系統(tǒng)含有未知參數(shù)或者網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)只是部分已知或者完全未知［16－18］。文獻［19］研究了帶有自適應(yīng)雙尺度函數(shù)的不確定復雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步，并且未知的拓撲結(jié)構(gòu)及未知參數(shù)可以識別，但沒有考慮時滯。在實際應(yīng)用中復雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間不僅存在t時刻的信息通信，而且也存在t－τ（t）時刻的信息通信［20－21］，即系統(tǒng)的演化趨勢不僅依賴于系統(tǒng)當前的狀態(tài)，也依賴于系統(tǒng)過去某一時刻的狀態(tài)。文獻［22］研究了復雜網(wǎng)絡(luò)的線性廣義同步。從以上研究成果中可以看出，在已有的大部分不確定復雜網(wǎng)絡(luò)的研究中，網(wǎng)絡(luò)模型維數(shù)都是相同的并且拓撲結(jié)構(gòu)也相同，當網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)不同或維數(shù)不相等時，以往的方法就受到了限制難以適用。例如同步將通過不同維數(shù)的振蕩器來實施，特別是生物科學和社會科學系統(tǒng)。

本文研究節(jié)點不恒等且維數(shù)不同的變時滯、不確定復雜網(wǎng)絡(luò)的廣義矩陣投影同步，它不僅僅使得不確定復雜的模型更加一般化，而且使得投影同步由一個常數(shù)或者對角矩陣演變?yōu)橐粋€廣義矩陣，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，利用自適應(yīng)控制器得到了不確定復雜網(wǎng)絡(luò)廣義矩陣投影同步的判別準則，另外給出了一種響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造方法，這種方法適應(yīng)于幾乎所有的不確定復雜網(wǎng)絡(luò)。數(shù)值模擬結(jié)果驗證了方法的有效性和可行性。

1 網(wǎng)絡(luò)模型和預(yù)備知識

1.1 網(wǎng)絡(luò)模型

考慮一類含有N個非恒等節(jié)點，帶有時滯耦合的不確定復雜網(wǎng)絡(luò)：

其中，xi（t）＝ （xi1，xi2，…，xin）T∈Rn是第i個節(jié)點的狀態(tài)變量；fi：Rn→Rn與gi：Rn→Rn×l是連續(xù)的非線性可微函數(shù)；τ（t）為節(jié)點間的時滯函數(shù)；αi∈Rl為l維未知參數(shù)；P∈Rn×n是內(nèi)部耦合矩陣；C＝ （ciij）N×N∈RN×N是代表網(wǎng)絡(luò)耦合強度和拓撲結(jié)構(gòu)的配置矩陣。矩陣C定義為：若第i個節(jié)點與第j個節(jié)點之間有連接（i≠j），則中每一行元素和為零，記方程 （1）為驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)。

把含有非線性控制器的時滯耦合網(wǎng)絡(luò)記為響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，其形式如式（2）：

其中，yi（t）＝ （yi1，yi2，…，yim）T∈Rm是第i個節(jié)點的狀態(tài)變量；Fi：Rm→Rm與Gi：Rm→Rm×r是連續(xù)的非線性可微函數(shù)；τ（t）為節(jié)點間的時滯函數(shù)；βi∈Rr為r維未知參數(shù)；ui（t）∈Rm是自適應(yīng)控制器；Q∈Rm×m是內(nèi)部耦合合矩陣；D＝ （diij）N×N∈RN×N是代表網(wǎng)絡(luò)的耦合強度和拓撲結(jié)構(gòu)的配置矩陣，與矩陣C有相同的定義。

1.2 預(yù)備知識

定義1 設(shè)xi（t）是驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)（1）中第i個節(jié)點的當前狀態(tài)變量，yi（t）是響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)（2）中第i個節(jié)點的當前狀態(tài)變量。對于xi（t），yi（t）如果存在一個常數(shù)矩陣M ∈Rm×n，并且 ‖M‖ ≠0，使得

那么當τ（t）＞0時，網(wǎng)絡(luò) （1），（2）達到廣義矩陣投影同步（GMPS）。

引理1 任給x，y∈Rn以及正定矩陣S，有2xTy≤xTSx＋yTS－1y 。假設(shè)1 存在非負常數(shù)l1，l2，使得對于任給定的x，y∈Rn有：

假設(shè)2 假設(shè)存在時滯函數(shù)τ（t）（＞0）是可微的，并且˙τ（t）≤η＜1，η是正常數(shù)。

2 同步準則

定義同步誤差：

對時間t求導：

將方程 （1），（2）代入 （4）中，得到誤差的動力學系統(tǒng)為

因此，當t→ ∞ ，ei（t）→0，網(wǎng)絡(luò) （1），（2）實現(xiàn)了GMPS，則網(wǎng)絡(luò) （1），（2）的廣義矩陣投影同步的實現(xiàn)就轉(zhuǎn)化為使誤差ei（t）零解的漸近穩(wěn)定問題。

定理1 對于給定的廣義矩陣M ∈Rm×n（‖M‖≠0），在如下控制器和適應(yīng)律作用下，網(wǎng)絡(luò) （1），（2）實現(xiàn)了GMPS，并且未知的參數(shù)可以辨識，即

將（6）式代入（5）中，同步誤差動力學系統(tǒng)將被描述為

Iq＝ （1，1，…，1）∈Rm，I∈Rm×m是恒等矩陣。

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

顯然V（t）≥0，即V（t）為正定函數(shù)，V（t）關(guān)于t求導：

利用引理1，由于

于是，將 （10）代入 （9）中

若令

λmax（QQT）為矩陣ATA 的最大特征值，故（t）≤－eT（t）e（t），當（t）＝0時，ei（t）→0；當˙V（t）＜0時，由Lyapunov穩(wěn)定性定理可得誤差ei（t）的零解是漸近穩(wěn)定的，故網(wǎng)絡(luò)（1），（2）實現(xiàn)了GMPS。由定理1中的控制器和自適應(yīng)律（6）可知未知參數(shù)可以辨識，即

如果MTM是可逆的，并且驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)（1）中的耦合系數(shù)及節(jié)點參數(shù)都未知的情況下，構(gòu)造如式（11）響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，使其與未知的驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)（1）對于給定的常值矩陣M實現(xiàn)GMPS。

定義網(wǎng)絡(luò) （1）和 （11）同步誤差：ei（t）＝y(tǒng)i（t）－Mxi（t），（i＝1，2…，N），M ∈Rm×n，對時間t求導，并將方程 （1），（11）代入得到誤差的動力學系統(tǒng)：

因此，若t→ ∞ 時，ei（t）→0，就說網(wǎng)絡(luò) （1），（11）達到了廣義矩陣投影同步，即響應(yīng)系統(tǒng) （11）構(gòu)造成立，于是（1），（11）的廣義矩陣投影同步的實現(xiàn)就轉(zhuǎn)化為使誤差ei（t）零解的漸近穩(wěn)定問題。

定理2 在假設(shè)（1），（2）成立的情況下，對于給定的常數(shù)尺度矩陣M∈Rm×n（‖MTM‖≠0），在以下控制器和自適應(yīng)律作用下，（1），（11）達到了廣義矩陣投影同步，并且未知的參數(shù)可以辨識。即

其中，i＝1，2，…N，j＝1，2，…，m 。

證明：考慮以下李雅普諾夫函數(shù)

顯然V（t）≥0，即V（t）為正定函數(shù)，V（t）關(guān)于t求導：

由假設(shè)（2）可知及引理（1）可知

同理

利用 （10）式得

3 數(shù)值仿真

下面以Lorenz混沌系統(tǒng)和超混沌Lü系統(tǒng)為例，驗證理論的正確性和有效性。

選取N個不同的三維Lorenz混沌系統(tǒng)描述如式（14）：

其中，xi1，xi2，xi3為第i個系統(tǒng)的狀態(tài)變量，αi1，αi2，αi3為系統(tǒng)的未知參數(shù)，當時，系統(tǒng)式（14）處于混沌狀態(tài)。

選取N個不同的四維超混沌Lü系統(tǒng)描述如式（15）：

其中，yi1，yi2，yi3，yi4為第i個系統(tǒng)的狀態(tài)變量，βi1，βi2，βi3，βi4為系統(tǒng)的未知參數(shù)。當βi1＝10，βi2＝5，βi3＝3，βi4＝0．5時，系統(tǒng)式（15）處于超混沌狀態(tài)。

為了仿真的方便，取含有5個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)進行仿真，由于網(wǎng)絡(luò)的配置矩陣是任意的，所以不妨取星形網(wǎng)絡(luò)和全局耦合網(wǎng)絡(luò)的配置矩陣C和D為

取系統(tǒng)內(nèi)部耦合矩陣為恒等矩陣，即P∈I3×3，Q∈I4×4，時滯函數(shù)

例1 使用（16）為驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)，（17）為響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，由定理1中證明過程可知λ＊≈42．8，取λ＝100，γ＝0．1，尺度，采用定理1中的控制器，未知參數(shù)估計值的初始值以及網(wǎng)絡(luò)（16），（17）的初始值在（0，1）之間任意取。

仿真結(jié)果如圖1所示，圖1給出了誤差曲線，可以得出復雜網(wǎng)絡(luò)（16），（17）在定理1控制器的作用下，趨于矩陣投影同步；圖2、圖3分別給出了參數(shù)αi，βi的估計，隨時間變化的曲線圖，可以看出網(wǎng)絡(luò)中所有的未知參數(shù)都收斂到真值。

圖1 誤差曲線Fig.1 The error curve

圖2 參數(shù)αi的估計Fig.2 The estimation ofαi

例2 使用（16）作為驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)，參數(shù)αi與耦合矩陣C未知，構(gòu)造式（18）網(wǎng)絡(luò)作為響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)

其中，

取Q∈I4×4，的初值在（0，1）之間任意取，常值矩陣M 及其余一切初值的取法同例1，采用定理2中的控制器，圖4給出了誤差曲線，可以看出（16），（18）在定理2中控制器的作用下趨于GMPS，圖5給出了參數(shù)αi的估計αi隨時間變化的曲線圖；圖6給出了網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)cij的估計隨時間變化的曲線，可以看出網(wǎng)絡(luò)中所有的未知參數(shù)都收斂到真值。

圖3 參數(shù)βi的估計Fig.3 The estimation ofβi

圖4 誤差曲線Fig.4 The error curve

圖5 參數(shù)αi的估計Fig.5 The estimation ofαi

圖6 網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu) 的估計Fig.6 The estimated toloplogy

4 結(jié)語

本文采用自適應(yīng)控制的方法研究了變時滯耦合的兩個不確定復雜網(wǎng)絡(luò)的廣義矩陣投影同步。每個網(wǎng)絡(luò)的維數(shù)不同、拓撲結(jié)構(gòu)不恒等且節(jié)點帶有不同的動力學。一方面，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，在節(jié)點參數(shù)未知的情況下，給出了不確定復雜網(wǎng)絡(luò)廣義矩陣投影同步的充分條件，參數(shù)可以識別；另一方面，當驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)中的耦合系數(shù)也未知時，可以構(gòu)造響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，對于給定的廣義矩陣使其與驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)達到投影同步，未知參數(shù)可以辨識，這不僅可以對該網(wǎng)絡(luò)進行同步控制達到預(yù)期效果，而且可以對參數(shù)進行辨識，確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。最后數(shù)值仿真驗證了方法的有效性和可行性。現(xiàn)有與此類似的研究主要有如下兩個方面的工作：1）節(jié)點不恒等并且維數(shù)不同的復雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步模型，其網(wǎng)絡(luò)耦合項無時滯且節(jié)點參數(shù)已知；2）復雜網(wǎng)絡(luò)的動力學節(jié)點含未知參數(shù)，而網(wǎng)絡(luò)的維數(shù)相同且耦合項為時滯而非變時滯的同步模型。該同步模型對結(jié)點含未知參數(shù)、耦合時滯且維數(shù)相同的復雜網(wǎng)絡(luò)同步的情況進行了推廣，具有更廣的適用范圍。

［1］ Watts D J，Stogatz S H.Collective dynamics of＇small－world＇networks［J］.Nature，1998，393（6684）：440－442.

［2］ Barabasi A L，Albert R .Emergence of Scaling in Random Networks［J］.Science，1998，286（5439）：509－520.

［3］ Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in chaotic system ［J］.Physical Review Letters，1990，64（8）：821－824.

［4］ Agiza H N.Chaos synchronization of Lüdynamical system ［J］.Nonlinear Analysis，2004，58（1／2）：11－20.

［5］ Pikovsky A S，Rosenblum M G，Osipov G V.Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving［J］.Physica D：Nonlinear Phenomena，1997，104（3／4）：219－238.

［6］ Li C D.Liao X F，Wong K W.Chaotic lag synchronization of coupled time－delayed systems and its applications in secure communication［J］.Physica D：Nonlinear Phenomen，2004，194（3／4）：187－202.

［7］ Rulkov N F.Sushchik M M，Tsimring L S，et al.Gneralized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems［J］.Phys Rev E，1995，51（4）：980－994.

［8］ Yan J P，Li C P.Generalized projective synchronization of a unified chaotic system［J］.Chaos Solitons and Fractals，2005，26（4）：1119－1124.

［9］ Li G H.Modified projective synchronization of chaotic system ［J］.Chaos Solitons and Fractals，2007，32（5）：1786－1790.

［10］Mainieri R，Rehacek J.Projective synchronization in three－dimensional chaotic systems［J］.Physical Review letters，1999，82（15）：3042－3045.

［11］Li C P，Yan J P.Generalized projective synchronization of chaos：The cascade synchronization approach［J］.Chaos Solitons and Fractals，2006，30（1）：140－146.

［12］Li G H.Generalized projective synchronization of two chaotic systems by using active control［J］.Chaos Solitons and Fractals，2006，30（1）：77－82.

［13］Li Z G，Xu D L.Stability criterion for projective synchronization in three－dimensional chaotic systems［J］.Phys Letter A，2001，282（3）：175－179.

［14］柴秀麗，武相軍.一類參數(shù)未知超混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影滯后同步［J］.計算機應(yīng)用，2013，33（3）：734－738.Cai Xiuli，Wu Xiangjun，Generalized function projective lag synchronization of a class of hyperchaotic systems with fully uncertain parameters［J］.Journal of Computer Applications，2013，33（3）：734－738.

［15］Dai H.Jia L X.Zhang Y B.Adaptive generalized matrix projective lag synchronization between two different complex networks with non－identical nodes and different dimensions［J］.Chin Phys B，2012，21（12）：141－152.

［16］Zhou J，Lu J A.Topology identification of weighted complex dynamical network［J］.Physica A，2007，386（1）：481－491.

［17］Li K，Lai C H，Adaptive－impulsive synchronization of uncertain complex dynamical networks［J］.Physics Letters A，2008，372（10）：1601－1606.

［18］Xu Y H，Zhou W N，F(xiàn)ang J A，et al.Topology identification and adaptive synchronization of uncertain complex networks with non－derivative and derivative coupling［J］.Journal of the Franklin Institute，2010，347（8）：1566－1576.

［19］Xu Y H.Zhou W N.Fang J A.Sun W.Topology identification and adaptive synchronization of uncertain complex networks with adaptive double scaling functions［J］.Common Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16（8）：3337－3343.

［20］Wu X J，Lu H.Generalized function projective（lag，anticipated and complete）synchronization between two different complex networks with nonidentical nodes［C］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2012，17（7）：3005－3021.

［21］李德奎，張建剛.時滯和非時滯耦合的驅(qū)動響應(yīng)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步［J］.太原理工大學學報，2013，44（2）：162－167.Li Dekui，Zhang Jiangang.Function projection synchronization of drive－response dynamical networks with non－delayed and delayed coupling［J］.Journal of Taiyuan University of Technology，2013，44（2）：162－167.

［22］卞秋香，姚洪興.復雜網(wǎng)絡(luò)的線性廣義同步［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2011，31（7）：1334－1340.Bain Qiuxiang，Yao Hongxing.Linear generalized synchronization of complex networks［J］.Systems Engineering－Theory and Practice，2011，31（7）：1334－1340.