李 艷，韓 華，汪金水

（武漢理工大學理學院，武漢430070）

0 引言

近年來，對復雜網(wǎng)絡的研究越來越受到學者們的關注，復雜網(wǎng)絡對于研究復雜系統(tǒng)的聚類及演化規(guī)律具有重要作用。股票網(wǎng)絡作為復雜網(wǎng)絡中的一種，是以股票及其投資者為網(wǎng)絡中的節(jié)點，股票與投資者之間的投資關系為連邊的復雜系統(tǒng)，股票網(wǎng)絡中以節(jié)點和連邊來構建股票網(wǎng)絡方法的研究也不唯一，Mantegna［1］利用最小生成樹的方法來構建網(wǎng)絡，通過找到股票之間重要的連接揭示網(wǎng)絡的層次結構；R.Gu等［2］以股票為網(wǎng)絡的節(jié)點，通過邊相關系數(shù)閾值方法構建無權無向的股票網(wǎng)絡；萬陽松等［3］則將股票的相關系數(shù)cij作為網(wǎng)絡的股票之間的權重來構建無向含權股票網(wǎng)絡；馬源源等［4］以上市公司及其主要股東為節(jié)點，以其持股關系為連邊，持有股票份額為權重建立了有向含權的股票投資網(wǎng)絡，這些研究都是在給定時間序列的基礎上進行研究的，是對靜態(tài)網(wǎng)絡的研究。

目前，對動態(tài)股票網(wǎng)絡進行的研究比較少，陳俊華等［5］在確定研究日期以后，每隔N個時間間隔構建一個股票網(wǎng)絡，從而得到一系列連續(xù)動態(tài)網(wǎng)絡，進而研究股票市場的動態(tài)變化規(guī)律，然而，在現(xiàn)實網(wǎng)絡中，尤其是在股票網(wǎng)絡中，時間序列經(jīng)常是不斷變化并且時間間隔是不均勻的［6－7］

近來，不少學者通過隨機過程理論來描述動態(tài)復雜網(wǎng)絡的產(chǎn)生過程。郭進利［8］以供應鏈網(wǎng)絡為研究對象，提出了節(jié)點的到達過程服從更新過程，研究了網(wǎng)絡中節(jié)點的平均度分布，得出了網(wǎng)絡的穩(wěn)態(tài)平均度分布具有雙向冪律性；楊琴等［9］在供應鏈網(wǎng)絡模型的基礎上提出以泊松過程來描述節(jié)點的增加，節(jié)點的入邊與出邊服從二項分布，網(wǎng)絡中節(jié)點間連邊服從擇優(yōu)連接，股票間邊的權重服從動態(tài)演化，最后得出網(wǎng)絡的穩(wěn)態(tài)平均入強度和穩(wěn)態(tài)平均出強度服從冪律分布。

泊松過程是一個計數(shù)過程，它描述的是我們所觀察事件的出現(xiàn)次數(shù)，本文中通過泊松過程來描述股票網(wǎng)絡投資的發(fā)生，顯然，通過泊松過程來描述復雜網(wǎng)絡中新節(jié)點的加入比將節(jié)點描述為等時間間隔加入更接近實際情況。泊松過程描述的是一個具有參數(shù)λ的新節(jié)點到達系統(tǒng)的情況，即新節(jié)點到達系統(tǒng)的頻率是固定不變的，然而投資者進行股票投資或者新的股票進入投資系統(tǒng)往往受當時社會的政治、經(jīng)濟，以及整個股票投資系統(tǒng)的環(huán)境的影響，投資者或股票加入系統(tǒng)的頻率并不是固定不變的。如果將股票投資系統(tǒng)內(nèi)所有不同時間段的投資情況看作是一個總體，其中不同時間段的投資情況由于投資環(huán)境的影響存在差異，可以把這種差異解釋為給定λ時，投資者到來數(shù)量的條件分布。

基于此，本文提出通過條件泊松過程描述網(wǎng)絡中新節(jié)點的到達、投資者對所投資股票的選擇服從擇優(yōu)選擇、系統(tǒng)內(nèi)權重符合動態(tài)演化規(guī)律的動態(tài)股票投資網(wǎng)絡。

1 定義

假設將所有股票及其投資者作為股票投資網(wǎng)絡中的節(jié)點，系統(tǒng)內(nèi)的權重為投資者對股票的投資額，系統(tǒng)內(nèi)邊的方向為節(jié)點之間的投資關系，例如，有向邊〈i，j〉代表節(jié)點i將自己的資金用于節(jié)點j的投資，即節(jié)點j吸收了節(jié)點i的投資，則系統(tǒng)內(nèi)的節(jié)點都既可以是投資者也可以是被投資者，節(jié)點之間也可以互相投資，即網(wǎng)絡中投資者和被投資者兩類節(jié)點的性質相同。且系統(tǒng)內(nèi)的邊既可以是單向邊，也可以是雙向邊，即該股票投資系統(tǒng)是一個有向含權網(wǎng)絡，節(jié)點的強度指標反映的是節(jié)點在股票網(wǎng)絡中的重要程度，強度越大的節(jié)點在股票網(wǎng)絡中越重要。我們研究的股票網(wǎng)絡是一個有向網(wǎng)絡，可以將節(jié)點的強度分為入強度SIi和出強度SOi。本文研究的股票網(wǎng)絡中節(jié)點的數(shù)目以及邊的權重都是動態(tài)變化的，并且通過擇優(yōu)連接機制來描述進入系統(tǒng)的投資者對所投資的股票的選擇情況。

定義1 節(jié)點的入強度SIi是股票i吸收的所有投資額，即

定義2 節(jié)點的出強度SOi為投資者i進入系統(tǒng)后的所有投資額，即

定義 3［9］令如 果 極 限，則稱極限為網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)平均入強度分布，記為P｛SI＝s｝。

定義 4［9］令如 果 極 限則稱極限為網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)平均出強度分布，記為P｛SO＝s｝。

2 模型描述

2.1 新節(jié)點的到來

假設所研究的時間間隔為t，可以將其分割成一個彼此互不相交的時間序列，設系統(tǒng)在時間ti內(nèi)增加節(jié)點的發(fā)生頻率為λi，用隨機變量Λ代表系統(tǒng)內(nèi)新增加節(jié)點的頻率，則概率P（Λ＝λi）＞0。設Λ的分布是G，那么隨機選擇一個長度為t的時間區(qū)間內(nèi)到達系統(tǒng)的新節(jié)點數(shù)量為n的概率［10－11］為

假設網(wǎng)絡中原有的節(jié)點數(shù)為m0，每個新節(jié)點可以對網(wǎng)絡中不同的節(jié)點投資，或者接受網(wǎng)絡中其他節(jié)點的投資，即每個新節(jié)點進入系統(tǒng)后有m條有向邊連接到網(wǎng)絡中已經(jīng)存在的m個不同的節(jié)點（m≤m0），其中新節(jié)點的入邊數(shù)服從二項分布B（m，p），出邊數(shù)服從二項分布B（m，1－p），p∈ （0，1），新邊的初始權重為ω0［9］。

2.2 投資者進入投資系統(tǒng)后對所投資股票的選擇

一般來說，投資者進入系統(tǒng)后，較容易選擇那些有較多投資者投資、吸收較多投資額的股票來進行投資，即節(jié)點之間的連邊服從擇優(yōu)連接，投資者j進入系統(tǒng)后選擇對股票i進行投資的概率依賴于股票i的入強度和投資者j的出強度：

2.3 網(wǎng)絡中權重的變化

實際上，隨著時間的推移，股票系統(tǒng)中的總投資額并不會無限制增加，當時間無限增大，總投資額便會趨于一個常量，為了表示這種變化，引入一個統(tǒng)計學意義上的常量W［12］，來表示網(wǎng)絡中總的投資額的增長，這里W ＝這個新節(jié)點所引起的總的投資額的變化是通過對系統(tǒng)內(nèi)某些邊的權重的動態(tài)演化而實現(xiàn)的，即新節(jié)點的增加會影響所建立的股票投資網(wǎng)絡的權重ωij。

圖1 連邊權重動態(tài)演化圖Fig.1 Weight－driven dynamical evolution of linked pairs of vertices

當新節(jié)點n加入到網(wǎng)絡中時，它以概率Pni與節(jié)點i相連，即新的投資者以Pni的概率將資金用于對i的投資，i可將資金用于自身發(fā)展或對節(jié)點j和k投資，這就是節(jié)點權重的一級耦合機制。當i投資給j后，j可將部分資金用于對k的投資，也就是說i通過j間接對k進行投資，即節(jié)點權重的二級耦合機制。本文僅考慮節(jié)點權重的一級耦合機制，節(jié)點權重的二級耦合機制也可通過類比得到。

因此，用公式（3）來刻畫隨系統(tǒng)中新的投資發(fā)生而導致的有向邊的權重的動態(tài)演化［12］規(guī)律

用｛Yi；i≥1｝表示第i個顧客到達系統(tǒng)后進行投資的投資數(shù)額，則｛Yi；i≥1｝是獨立同分布的，且｛Nt；t≥0｝與｛Yi；i≥1｝相互獨立，則可以將t時刻進入系統(tǒng)的投資者進行投資的金額總數(shù)表示為

3 解析過程

在模型動態(tài)演化的過程中，不允許出現(xiàn)自己對自己進行投資的情況，投資者增加對某只股票投資金額的情況只能通過增加該有向邊的權重來表示，而不能出現(xiàn)重復邊。本部分在模型描述所建立股票網(wǎng)絡的基礎上，對其理論可行性進行探討。在分析的過程中，令ω0＝1，且ωij（t），SIi（t），SOi（t）為連續(xù)實變量［9］。

3.1 新節(jié)點的到達

at為t時刻該股票投資網(wǎng)絡中所有節(jié)點的數(shù)目，則at＝Nt＋m0≈Nt。由于節(jié)點的到達過程符合參數(shù)為Λ的條件泊松過程，并且由于任意時刻到達股票投資系統(tǒng)的節(jié)點數(shù)目是有限的，即E（Λ2）＜∞，由條件泊松過程理論可知，在［0，t］內(nèi)到達網(wǎng)絡的節(jié)點的平均數(shù)為tEΛ，即到t時刻平均有tEΛ個節(jié)點添加到網(wǎng)絡中，則E［N（t）］＝tEΛ［10－11］。

3.2 新進入系統(tǒng)內(nèi)投資者的投資數(shù)額

｛Xt＝是一個復合條件泊松過程，Xt有獨立增量，且每個投資者的投資數(shù)額都是有限的，由泊松理論可知，進入系統(tǒng)的投資者的投資數(shù)額總和的均值E［Xt］＝tEΛEY1［10－11］。

3.3 入強度分析

假設ωji（t），SIi（t）為一連續(xù)實變量，則可得到權重ωji（t）的變化率為

當有新的投資者進入網(wǎng)絡時，會引起股票投資網(wǎng)絡中入強度的變化，對于節(jié)點i的入強度SIi（t）來說，它的增加既可以是因為新增加的投資者選擇股票i進行投資而建立起來的新的連接，也可以是因為以節(jié)點i為終點的連邊的權重發(fā)生變化，因此，節(jié)點i的入強度SIi（t）滿足動態(tài)方程（6）：

由于新的股票投資者i在ti時刻進入股票投資系統(tǒng)的入強度為SIi（t），則解方程（7）得

由于復合泊松過程不一定是計數(shù)過程，但是當Yi≡c，i＝1，2，…，c為常數(shù)時，可化為泊松過程［10－11］。根據(jù)前文，令ω0＝1，即Yi≡1，因此可將該復合條件泊松過程化為參數(shù)為EΛ的泊松過程。

根據(jù)泊松過程理論，第n次事件發(fā)生的時刻Tn，n＝1，2，3，…，服從Γ分布，即投資者的到達時間ti服從Γ分布［10－11］，即

節(jié)點i的瞬態(tài)入強度分布為

節(jié)點i的穩(wěn)態(tài)入強度分布為

網(wǎng)絡的瞬態(tài)平均入強度分布為

網(wǎng)絡的穩(wěn)態(tài)平均入強度為

3.4 出強度分析

假設ωij（t）、SOi（t）為一連續(xù)實變量，則可得到權重ωij（t）的變化率為

與入強度分析過程類似，對于節(jié)點i的出強度SOi（t）來說，它的增加既可以是因為新增加的投資者i選擇股票進行投資而建立起來的新的連接，也可以是因為以節(jié)點i為起點的連邊的權重發(fā)生變化，因此，節(jié)點i的出強度SOi（t）滿足動態(tài)方程（15）：

節(jié)點i的瞬態(tài)出強度分布為

節(jié)點i的穩(wěn)態(tài)出強度分布為

網(wǎng)絡的瞬態(tài)平均出強度分布為

網(wǎng)絡的穩(wěn)態(tài)平均出強度分布為

從上述解析過程來看，該網(wǎng)絡的節(jié)點穩(wěn)態(tài)入強度分布和穩(wěn)態(tài)出強度分布均為0，網(wǎng)絡的穩(wěn)態(tài)平均入強度分布和穩(wěn)態(tài)出強度滿足冪律分布，即P（SI＝s）～s－γ，冪律指數(shù)

4 仿真結果

針對上文模型，通過數(shù)值仿真檢驗模型中節(jié)點的冪律特性。圖2～圖6分別給出了N＝20 000，λ1＝3，λ2＝4，p1＝0.75，p2＝0.25，N0＝50，W ＝1，m＝1，p3＝0.7時網(wǎng)絡中節(jié)點出入強度隨時間演化規(guī)律圖以及網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)平均出入強度圖，仿真結果與解析結果比較吻合。

從圖2中，可以看到網(wǎng)絡中節(jié)點數(shù)目隨時間的變化情況，圖中的點表示在時間t為5 607.982 1時，網(wǎng)絡中的節(jié)點數(shù)目N為17 992個。

圖2 網(wǎng)絡中節(jié)點以條件泊松機制加入過程圖Fig.2 New nodes join in with the mechanism of doubly stochastic Poisson process

圖3 網(wǎng)絡中節(jié)點入強度隨時間演化規(guī)律圖Fig.3 Evolution rule of the node’s in－strength

圖4 網(wǎng)絡中節(jié)點出強度隨時間演化規(guī)律圖Fig.4 Evolution rule of the node’s out－strength

圖3和圖4分別給出了t1＝1.95和t2＝4.26時加入網(wǎng)絡中的兩節(jié)點的出入強度隨時間的演化規(guī)律圖。節(jié)點出入強度的擬合值分別為0.84和0.63，與方程（3）、（11）的解析結果值0.85和0.65比較吻合。

圖5 網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)平均入強度分布圖Fig.5 Average steady in－strength of the network

圖6 網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)平均出強度分布圖Fig.6 Average steady out－strength of the network

在圖5和圖6中通過相同參數(shù)的4次仿真結果分別給出了網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)平均出入強度的仿真值和解析估計值。網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)平均入強度的4次仿真的理論值均為0.65，仿真值分別為0.62，0.63，0.66，0.64；網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)平均出強度的4次仿真的理論值均為0.86，仿真值分別為0.85，0.84，0.83，0.85。從4次仿真結果可以看出，該股票投資網(wǎng)絡演化模型呈現(xiàn)出較明顯的冪律特性，并且仿真結果與解析估計值也比較吻合。

5 結論

本文通過條件泊松過程加入新節(jié)點來建立股票投資網(wǎng)絡的動態(tài)模型，該模型同時考慮了方向、權重、擇優(yōu)連接機制和權重的動態(tài)演化，能更真實地反映出投資網(wǎng)絡模型實際的動態(tài)變化過程，解析及仿真結果表明，該網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)出入強度服從冪律分布。模型在考慮動態(tài)演化時僅考慮了節(jié)點數(shù)目的增長，并沒有考慮老節(jié)點的退出以及網(wǎng)絡中既存節(jié)點之間的互連情況，在今后的工作中可以從這幾方面來對模型進行改進，使其能夠更好地描述現(xiàn)實世界中的股票投資網(wǎng)絡。

［1］ Mantegna R.Hierarchical structure in financial markets［J］.European Physical Journal B，1999，11（1）：193－197.

［2］ Gu R ，Shao Y ，Wang Q .Is the efficiency of stock market correlated with the multifractality？an evidence from Shanghai stock market［J］.Physica A，2012，392（2）：361－370.

［3］ 萬陽松，陳忠.加權股票網(wǎng)絡中的無標度行為研究［C］／／第二屆全國復雜動態(tài)網(wǎng)絡學術論壇，北京，2005：21－27.Wan Songyang，Chen Zhong.Scale－free behavior in a novel weighted stock network［C］／／The Second National Forum on Complex Dynamic Networks，Beijing，2005：21－27.

［4］ 馬源源，莊心田，李凌軒.滬深兩市股權關聯(lián)網(wǎng)絡的社團結構及其穩(wěn)健性［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2011，12（1）：2241－2251.Ma Yuanyuan，Zhuang Xintian，Li Lingxuan.Community and robustness of the correlated networks of stock ownership structure［J］.Systems Engineering－Theory and Practice，2011，12（1）：2241－2251.

［5］ 陳俊華.中國股票市場網(wǎng)絡模型動態(tài)研究［D］.浙江：浙江工業(yè)大學理學院，2012.Chen Junhua.Dynamic study on network models of Chinese stock market［D］.Zhejiang：Zhejiang University of Technolgy，2012.

［6］ He L Y，Chen S P.Multifractal detrended cross－correlation analysis of agricultural futures markets［J］.Chaos，Solitons ＆Fractals，2011，44（6）：355－361.

［7］ Wang G J，Xie C，Han F，et al.Similarity measure and topology evolution of foreign exchange markets using dynamic time warqing method：evidence from minimal spanning tree［J］.Physic A，2012，391（1）：4136－4146.

［8］ 郭進利.供應鏈型網(wǎng)絡中雙冪律分布模型［J］.物理學報，2006，55（8）：3916－3921.Guo Jinli.The bilateral power－law distribution model of supply chain networks［J］.Acta Physica Sinica，2006，55（8）：3916－3921.

［9］ 楊琴，陳云.基于泊松過程的供應鏈復雜網(wǎng)絡模型［J］.系統(tǒng)工程，2012，30（9）：57－62.Yang Qin，Chen Yun.Supply chain complex network model based on poisson process［J］.Systems Engineering，2012，30（9）：57－62.

［10］Ross S M.Stochastic processes［M］.New York：John Wiley ＆Sons Inc，1983：36－44.

［11］孫洪祥.隨機過程［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2007：136－146.

［12］Wang W X，Wang B H.General dynamics of topology and traffic on weighted technological networks［J］.Phys PRL，2005，94（18）：188702.