(瓊州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，海南 三亞572022)

0 引言

在文獻(xiàn)［1］中，利用van der Corput 方法，可計(jì)算如下形式的指數(shù)和:

其中f(n)為一實(shí)值函數(shù)，且符號(hào)e(x)表示e2πix.諸如此類指數(shù)和，在數(shù)論課題的研究中，有著廣泛的應(yīng)用.本文主要研究當(dāng)函數(shù)f(n)為一多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，此類指數(shù)和的均值估計(jì).

假設(shè)d≥2 為一固定整數(shù);a1，a2，…，ad為任意非零實(shí)數(shù):γ1，γ2，…，γd為非整數(shù)的實(shí)常數(shù):M，M1為滿足條件5＜M＜M1≤2M 的實(shí)數(shù).令

并令R=|a1|Mγ1+|a2|Mγ2…+|ad|Mγd.下面，我們來研究指數(shù)和

的估計(jì)式.

1 預(yù)備知識(shí)

本文需要用到如下引理:

引理1.1［2］設(shè)k≥2 為一固定整數(shù)，a1，a2，…，ak為非零的實(shí)數(shù)，α1，α2…，αk為非整數(shù)的實(shí)常數(shù)，Δ＞0.令Ⅰ表示［1，2］的一個(gè)子區(qū)間，使得

則有

引理1.2［1］假設(shè)f(n)為定義在區(qū)間［N，N1］上的實(shí)值函數(shù)，其中2≤N＜N1≤2N.如果0＜λ3≤f(3)(x)≤αλ3，那么

如果存在正常數(shù)c1，c2，使得c1M≤|f(j)(n)|≤c2M，j=1，2，3，4，5，6，那么

特別地，當(dāng)λ1=1 時(shí)，有其中(κ，λ)為指數(shù)對(duì).

引理1.3［2］假設(shè)z(n)為任意復(fù)數(shù)，1≤Q≤N，那么

2 主要結(jié)果

證明:設(shè)δ＞0 為一待定參數(shù)，將區(qū)間［M，M1］劃分為如下兩部分:

下面用引理1.1 和引理1.2 分別估計(jì)Sd(M)在Ⅰ1和Ⅰ2上的和.

若t∈Ⅰ1，則有

所以得到

其中t0=，則t0∈［1，2］.

由引理1.1 有，滿足上述不等式的［1，2］的子區(qū)間Ⅰ'1(t0∈Ⅰ'1)的長度為

下面估計(jì)Sd(M)在Ⅰ2上的和:

令Ⅰ2j={t|2jδ＜|f(3)(t)|≤2j+1δ，t∈［M，M1］}，j≥0.則由引理1.2，得

整理即得

這樣就得到了

3 估計(jì)II 型指數(shù)和的應(yīng)用

假設(shè)l≥2 為一固定的整數(shù)，γl(1＜γl＜…＜γ2＜γ1＜2)為實(shí)數(shù)，Y 為一足夠大的數(shù)，δ=δ(γ1)＞0 為依賴于γ1的常數(shù).利用上述定理2.1，可處理如下Ⅱ型指數(shù)和

其中hj為滿足條件1≤|hj|≤Yδ(j=1，2，…，l)的實(shí)數(shù).設(shè)我們有

定理3.1 令0＜δ=δ(γ1)＜1，且a(m)，b(n)為復(fù)數(shù)，使得

那么，對(duì)于Y2δN?Y1/2?MN?Y，則有

證明 取Q=［Y2δln－1Y］，那么Q=o(N).由柯西不等式和引理1.3，得

其中

從而由定理2.1 得

即定理3.1 成立.

［1］S.W.Graham，G.Kolesnik.Van der Corput＇s Method of Exponential Sums［M］.Cambridge University Press，1991:22－41.

［2］Zhai Wenguang.On the k－dimentional Piatetski－Shapiro prime number theorem ［J］.Sci.in China:Ser.A，1999，29:797－806.

［3］張?zhí)炱?關(guān)于數(shù)論中一些著名和式的均值研究［D］.西安:西北大學(xué)，2008.