劉杰平 方杰 韋崗

（華南理工大學(xué) 電子與信息學(xué)院， 廣東 廣州510640）

壓縮感知（CS）理論表明：只要信號(hào)在某個(gè)變換域是稀疏的或可壓縮的，就可以用一個(gè)與變換基不相干的觀測(cè)矩陣，將變換所得高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間，然后通過求解優(yōu)化問題就可以從這些少量的投影中以高概率重構(gòu)出原信號(hào)［1-3］.在圖像CS系統(tǒng)中，圖像的稀疏表示、采樣率和重構(gòu)算法是影響重構(gòu)圖像質(zhì)量的重要因素，為了提高圖像CS 系統(tǒng)的性能，眾多學(xué)者已提出了許多的重構(gòu)算法，如基追蹤（BP）算法［4］、正交匹配追蹤（OMP）算法［5］、梯度下降法（GPSR）［6］、全變差（TV）算法［7］、基于貝葉斯框架的圖像重建算法［8-10］、迭代硬 閾值算法［11］.其中有些算法將整幅圖像作為一個(gè)整體，故存在重構(gòu)過程計(jì)算復(fù)雜度較高、隨機(jī)觀測(cè)矩陣存儲(chǔ)量龐大、重構(gòu)圖像質(zhì)量不高等問題，使得這些算法很難在實(shí)際中應(yīng)用.為此，文獻(xiàn)［12］中將整幅圖像分成多個(gè)塊，基于塊進(jìn)行采樣和重構(gòu)的方法降低了計(jì)算復(fù)雜度，并引入了有平滑作用的維納濾波器以消除圖像分塊帶來的塊效應(yīng)；文獻(xiàn)［13］中運(yùn)用分塊的思想來解決計(jì)算復(fù)雜度高等問題，結(jié)合基于投影的Landweber（SPL）重構(gòu)算法［14］，提出了基于分塊的壓縮感知平滑投影Landweber（BCS-SPL）重構(gòu)算法，與其他傳統(tǒng)算法相比，BCS-SPL 算法在圖像重建質(zhì)量和速度上均具有優(yōu)勢(shì)；在BCS-SPL 重構(gòu)算法的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［15］中提出了離散小波變換（DWT）的多尺度變采樣率的BCS-SPL（MS-BCS-SPL）重構(gòu)算法；文獻(xiàn)［16］中將BCS-SPL 算法用于視頻幀重構(gòu)，取得了不錯(cuò)的重構(gòu)效果.圖像的稀疏表示是影響圖像重構(gòu)質(zhì)量的關(guān)鍵因素之一，合適的圖像稀疏表示方式能保證圖像的重構(gòu)質(zhì)量，通常采用二維正交小波基進(jìn)行圖像稀疏表示，但正交小波基不是圖像稀疏表示的最優(yōu)基，因?yàn)樗荒苡行У乇硎咀匀粓D像中輪廓、紋理等高維幾何特征.有鑒于此，文中采用DCT 變換進(jìn)行圖像稀疏表示，在DCT 變換域中通過DCT 系數(shù)分頻帶變采樣率的隨機(jī)矩陣實(shí)現(xiàn)隨機(jī)觀測(cè)，結(jié)合平滑投影Landweber 重構(gòu)算法，提出了基于DCT 分頻帶壓縮感知的平滑投影Landweber（DCT-BCS-SPL）重構(gòu)算法，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該算法重構(gòu)圖像的質(zhì)量.

1 SPL 重構(gòu)算法及分塊CS

1.1 SPL 重構(gòu)算法

文獻(xiàn)［12］中將維納濾波與投影Landweber 算法結(jié)合起來，在變換域中進(jìn)行迭代閾值處理.該算法包括維納濾波、兩次投影Landweber 和閾值去噪，需要先初始化X（0）=ΦTY，其中Φ 為隨機(jī)觀測(cè)矩陣.若用表示稀疏變換、Threshold（·）表示硬閾值去噪，則SPL 重構(gòu)算法的偽代碼如下：

1.2 BCS-SPL 重構(gòu)算法

BCS-SPL 重構(gòu)算法［13］運(yùn)用了分塊的思想，將大小為N（N=IC×IR，IC、IR分別為行、列的像素個(gè)數(shù)）的圖像X 分成n 個(gè)大小為B×B 的非重疊塊，n=N/B2.設(shè)每塊按照Z 字形掃描構(gòu)成一列向量，第j 塊的列向量記為Xj（j=1，2，…，n），則

式中，ΦB是獨(dú)立同分布、MB×B2的隨機(jī)高斯觀測(cè)矩陣，采樣率s=MB/B2（0＜s＜1）.初始化X（0）=ΦTBY 后，每個(gè)圖像塊采用SPL 算法進(jìn)行重構(gòu).

在BCS-SPL 重構(gòu)算法中，每個(gè)圖像塊的采樣率相同，既沒有考慮各個(gè)圖像塊的邊緣和紋理復(fù)雜度的區(qū)別，也沒有考慮感興趣區(qū)域?qū)χ貥?gòu)圖像的重要性，故該算法的重構(gòu)圖像質(zhì)量不高.

圖像分塊采樣和重構(gòu)的優(yōu)勢(shì)在于：編碼端不必測(cè)量整幅圖像后再發(fā)送觀測(cè)數(shù)據(jù)，可以逐塊測(cè)量逐塊發(fā)送，這有利于一些實(shí)時(shí)應(yīng)用；因分塊尺寸較小，故塊的觀測(cè)矩陣ΦB的存儲(chǔ)量低且測(cè)量速度快；可以使用最小均方誤差準(zhǔn)則估計(jì)出較好的初始圖像，從而加速重構(gòu)過程.

2 DCT-BCS-SPL 重構(gòu)算法

2.1 DCT 分頻帶采樣技術(shù)

將大小為N（N=IC×IR）的圖像X 分成n（n=N/B2）個(gè)大小為B×B 的非重疊塊后，分別對(duì)圖像塊進(jìn)行DCT 變換，每塊有B2個(gè)DCT 系數(shù)，對(duì)DCT 系數(shù)進(jìn)行Z 字形掃描，構(gòu)成一個(gè)行向量，再由這n 個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)DCT 系數(shù)矩陣D，矩陣D 的每一列dj（j=1，2，…，B2）對(duì)應(yīng)著不同子塊中處于同一頻帶的DCT 系數(shù)，dj稱為一個(gè)DCT 頻帶.

因DCT 變換具有較好的能量集中特性，圖像塊經(jīng)DCT 變換后，DCT 系數(shù)中非零部分主要集中在左上角，即在j 較小的DCT 頻帶dj中集中了不等于0 的系數(shù)，因此不同頻帶對(duì)圖像重構(gòu)具有不同的重要性，采樣時(shí)可根據(jù)頻帶對(duì)圖像重構(gòu)的重要性分配不同的采樣率：為j 較小的頻帶dj分配較大的采樣率；為j 較大的頻帶dj分配較小的采樣率.這種變采樣率分配方式重構(gòu)圖像的效果將比平均分配采樣率方式好.文中將這種采樣率分配技術(shù)稱為基于掃描的變采樣率算法.

上述變采樣率算法是基于非零DCT 系數(shù)集中程度按照Z 字形掃描順序遞減的，而實(shí)際情況不完全是這樣.為此，文中提出了基于能量排序DCT 頻帶的采樣率分配算法，該算法的具體步驟如下：

（1）按照Z 字形掃描DCT 系數(shù)的方式構(gòu)成DCT 系數(shù)矩陣D 和頻帶dj；

（2）計(jì)算頻帶能量ej，

式中，dij（i=1，2，…，n）為頻帶dj中的DCT 系數(shù)；

（3）對(duì)ej按照從大到小進(jìn)行排序，使其滿足

（4）根據(jù)ej調(diào)整頻帶dj的順序?yàn)閐ej（j=1，2，…，B2），即隨著j 的增大，頻帶的能量減小，構(gòu)造一個(gè)基于能量排序的DCT 系數(shù)矩陣De；

（5）根據(jù)矩陣De分配采樣率；

（6）Yj=ΦBjdej.

分配采樣率時(shí)，按照j 從小到大的順序?qū)CT系數(shù)矩陣De或D 的頻帶dj分成b1、b2、b3三類，各類頻帶包含的頻帶數(shù)分別為m1、m2、m3，且滿足m1+m2+m3=B2，各類頻帶的采樣率分別為s1、s2、s3，設(shè)總采樣率為s，則3 類頻帶采樣率分配應(yīng)滿足

b1類頻帶對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量的影響最大，b3類頻帶對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量幾乎沒有影響，b2類頻帶對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量有一些影響.因此，各類頻帶采樣率的分配應(yīng)該遵循s1＞s2＞s3，根據(jù)DCT 系數(shù)分布的特點(diǎn)，文中后續(xù)的仿真實(shí)驗(yàn)中將3 類頻帶的采樣率設(shè)為s1=1.0、s2=0.5、s3=0，s1、s2、s3的大小對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量的影響通過控制各類頻帶包含的頻帶數(shù)來實(shí)現(xiàn).

將512×512 圖像分成大小為32×32 的不重疊塊，對(duì)應(yīng)不同的總采樣率s，b1類頻帶數(shù)設(shè)為m1=1 000×s×0.8 時(shí)，多幅圖像的仿真實(shí)驗(yàn)都取得了較好的重構(gòu)效果.將m1代入式（4）計(jì)算得到3 類頻帶相應(yīng)的頻帶數(shù)，如表1所示.那么Yj=ΦBjdj，其中ΦBj是獨(dú)立同分布、（nSj）×n 的隨機(jī)高斯觀測(cè)矩陣，Sj（j=1，2，…，B2）是dj的采樣率.

表1 不同采樣率下3 類頻帶的頻帶數(shù)Table1 Band numbers of three kinds of bandswithdifferent samplingrates

2.2 重構(gòu)算法

圖像稀疏表示是影響圖像重構(gòu)質(zhì)量的關(guān)鍵因素之一，合適的圖像稀疏表示方式能保證圖像的重構(gòu)質(zhì)量，有關(guān)壓縮感知的文獻(xiàn)中通常采用二維正交小波基進(jìn)行圖像稀疏表示，小波變換的低頻帶集中了圖像的能量，高頻帶反映圖像的輪廓，但去相關(guān)效果和能量集中性能在一定程度上不如DCT.因此，文中的圖像稀疏表示采用DCT 變換，為不同的DCT 頻帶分配不同的采樣率.DCT-BCS-SPL 算法中分塊大小是固定的，但采樣率根據(jù)頻帶可靈活分配.DCT-BCS-SPL 算法中，首先對(duì)圖像進(jìn)行分塊DCT 變換，再采用基于能量排序DCT 頻帶的采樣率分配算法，然后計(jì)算觀測(cè)值Yj=ΦBjdj，初始化=ΦBTjYj后，對(duì)每個(gè)頻帶采用SPL 算法進(jìn)行重構(gòu).DCT-BCS-SPL 算法的偽代碼如下：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證文中算法的性能，分別采用MS-BCSSPL［15］、BCS-SPL 重構(gòu)算法［13］、基于掃描的變采樣率重構(gòu)算法（DCTS-BCS-SPL）與文中提出的DCT-BCSSPL 重構(gòu)算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)將大小為512×512 的Lena、Peppers、Goldhill、Barbara 和Baboon 灰度圖像分成不重疊的大小為32×32 的塊.各算法中包含的SPL 算法的稀疏基Ψ 均采用雙樹離散小波變換（DDWT）.用峰值信噪比（PSNR）作為衡量重構(gòu)圖像質(zhì)量的客觀指標(biāo)，由于重構(gòu)算法中觀測(cè)矩陣的隨機(jī)性，文中實(shí)驗(yàn)結(jié)果的PSNR 是5 次重構(gòu)的平均值.

圖1給出了4 種重構(gòu)算法在不同采樣率情況下重構(gòu)圖像的客觀質(zhì)量比較，從圖中可以看出，在各采樣率下文中算法的PSNR 均優(yōu)于DCTS-BCSSPL、MS-BCS-SPL 和BCS-SPL 算法，且采樣率越大，文中算法的重構(gòu)效果越明顯.對(duì)比文中算法的基于掃描和基于能量排序的兩種采樣率分配方式，在各種采樣率下，基于能量排序的采樣率分配方式重構(gòu)圖像的PSNR 均高于基于掃描的采樣率分配方式.表2給出了5 幅圖像重構(gòu)結(jié)果的平均PSNR，從表中可知，文中算法的平均PSNR 最高，以Lena 圖像為例，文中算法的平均PSNR 比BCS-SPL、MS-BCSSPL 和DCTS-BCS-SPL 重構(gòu)算法分別高4.70、1.66和0.72dB.

在主觀質(zhì)量方面，文中算法也具有明顯的改善效果，采樣率為0.2 時(shí)不同算法重構(gòu)Baboon 圖像（Baboon 是細(xì)節(jié)較多的圖像）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示，在細(xì)節(jié)邊緣部分（鼻子和胡須旁邊）可以看到不同算法重構(gòu)結(jié)果的差異.總之，文中算法的主、客觀效果均最好，其原因是文中算法充分考慮了圖像經(jīng)DCT 變換后能量集中的特性，根據(jù)頻帶能量排序分配采樣率，可以更充分地利用數(shù)據(jù)資源，保留了更多重構(gòu)圖像時(shí)所需的信息，尤其是對(duì)于細(xì)節(jié)較多的圖像，文中算法相對(duì)其他算法保留了更多的高頻信息，重構(gòu)圖像的主客觀質(zhì)量更好.

圖1 不同采樣率下4 種重構(gòu)算法的PSNRFig.1 PSNR of four reconstruction algorithms at different sampling rates

表2 不同重構(gòu)算法的平均PSNRTable2 Mean PSNR of different reconstruction algorithms

圖2 采樣率為0.2 時(shí)4 種算法重構(gòu)Baboon 圖像的結(jié)果Fig.2 Reconstruction results by using four algorithms for Baboon image at sampling rate of 0.2

用算法的重構(gòu)時(shí)間來衡量算法的復(fù)雜度，采樣率為0.3 時(shí)各種算法重構(gòu)圖像所用的時(shí)間（20 次重構(gòu)耗時(shí)的平均值）見表3.從表中可知：BCS-SPL 算法的重構(gòu)時(shí)間最長(zhǎng)；文中算法與MS-BCS-SPL 算法相比，重構(gòu)耗時(shí)對(duì)不同的圖像各有優(yōu)勢(shì)；對(duì)于細(xì)節(jié)較多的Baboon 圖像，文中算法的重構(gòu)耗時(shí)較少，比MS-BCS-SPL 重構(gòu)算法節(jié)省了0.76 s，這是因?yàn)榧?xì)節(jié)對(duì)應(yīng)圖像的高頻部分，MS-BCS-SPL 重構(gòu)算法為高頻部分分配了較小的采樣率，丟失了較多的高頻信息，初始化準(zhǔn)確度不高，重構(gòu)所需時(shí)間較長(zhǎng).

表3 采樣率為0.3 時(shí)3 種算法的平均重構(gòu)時(shí)間Table3 Mean reconstruction time of three algorithms at sampling rate of 0.3

4 結(jié)論

根據(jù)DCT 變換的能量集中特性，文中采用分頻帶采樣方法，提出了一種基于DCT 的分頻帶壓縮感知的平滑投影Landweber 重構(gòu)算法.首先對(duì)圖像進(jìn)行DCT 分塊，將不同塊中處于同一空間位置的DCT 系數(shù)組成一個(gè)頻帶，按照頻帶能量大小分配采樣率，圖像的采樣通過分頻帶變采樣率的隨機(jī)矩陣實(shí)現(xiàn),圖像的重構(gòu)結(jié)合平滑濾波器由投影Landweber 算法實(shí)現(xiàn).由于BCS-SPL 重構(gòu)算法中，每個(gè)圖像塊的采樣率相同，既沒有考慮各個(gè)圖像塊的邊緣和紋理復(fù)雜度的差異，也沒有考慮感興趣區(qū)域?qū)χ貥?gòu)圖像的重要性，故算法的重構(gòu)圖像質(zhì)量不高.MS-BCS-SPL 重構(gòu)算法考慮了不同小波系數(shù)對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量的影響，對(duì)不同DWT 分解級(jí)子帶分配不同的采用率，故比BCS-SPL 重構(gòu)算法更好地利用了DWT 的多分辨率和多尺度特性.DCT 比DWT 具有更好的能量特性，且文中算法根據(jù)DCT 系數(shù)頻帶的能量大小進(jìn)行采樣，其采樣結(jié)果能更好地表示圖像信息，因此，文中算法重構(gòu)圖像的質(zhì)量更好，且需要的數(shù)據(jù)量更少.實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，文中算法重構(gòu)的圖像質(zhì)量相對(duì)于BCS-SPL 算法提高了約3.13～5.19 dB，相對(duì)于MS-BCS-SPL 算法提高了約1.45～4.63 dB.

［1］Richard G.Compressive sensing［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2007，24（4）：118-121.

［2］Candes E，Romberg T，Tao T.Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，2006，59（8）：1207-1223.

［3］Donoho D.Compressed sensing ［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：1289-1306.

［4］Chen S，Donoho D，Saunder M.Atomic decomposition by basis pursuit［J］.SIAM Review，2001，43（1）：129-159.

［5］Tropp J，Gilbert C.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit ［J］.IEEE Transactions on Information Theory，200，53（12）：4655-4666.

［6］Fiqueiredo M，Nowak R，Wright S.Gradient projection for sparse reconstruction：application to compressed sensing and other inverse problems ［J］.IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2007，1（4）：586-597.

［7］Candes E，Romberg T，Tao T.Robust uncertainty principles：exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information ［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（2）：489-509.

［8］Ji S，Xue Y，Carin L.Bayesian compressive sensing ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2008，56（6）：2346-2356.

［9］Babacan S，Molina R.Bayesian compressive sensing using Laplace prioris［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2010，19（1）：53-63.

［10］Baron D，Sarvotham S，Baraniuk R.Bayesian compressive sensing via belief propagation ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2010，58（1）：269-280.

［11］Blumensath T，Davies E.Interative thresholding for compressed sensing ［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2009，27（3）：265-274.

［12］Gan L.Block compressed sensing of natural images［C］//Proceedings of the 15th International Conference on Digital Signal Processing.Cardiff：IEEE，2007：403-406.

［13］Mun S，F(xiàn)owler J.Block compressed sensing of images using directional transforms ［C］//Proceedings of the 16th IEEE International Conference on Image Processing.Cario：IEEE，2009：3021-3024.

［14］Haupt J，Nowak R.Signal reconstruction from noisy random projections ［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(9):4036-4048.

［15］Fowler J，Mun S，Tramel E.Multiscale block compressed sensing with smoothed projected Landweber reconstruction ［C］//Proceedings of the 19th European Signal Processing Conference.Barcelona：Eurasip，2011：564-568.

［16］Chen C，Tramel E，F(xiàn)owler J.Compresed sensingrecovery of images and video using multihypoththesis predictions［C］//Proceedings of the Forty-Fifth Asilomar Conference Record.PacificGrove：IEEE,2011：1193-1198.