梁偉光 周文艷 周建亮

（1 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094）（2 北京航天飛行控制中心，北京 100094）

1 引言

月球公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)周期相同的特點使得月球的一面始終背對地球，故在地球上無法直接進行觀測。地月系L2平動點位于地月連線延長線上——即月球背面“正上空”，且與地球、月球的位置相對固定，衛(wèi)星在地月系L2點附近可以環(huán)繞L2點連續(xù)飛行，因而地月系L2點成為空間定點觀測月球背面的最佳位置。此外，地月系L2 點在中繼通信、星際轉(zhuǎn)移、空間環(huán)境觀測、星座布局等深空探測活動中也具有重要的應(yīng)用價值與戰(zhàn)略地位。

地月系L2點繞飛軌道作為“三體問題”中的代表性內(nèi)容，自“三體問題”提出之日起便受到研究者們的廣泛關(guān)注［1］，具體至工程應(yīng)用方面的研究，則始于阿波羅探月項目末期——美國在20世紀70年代曾計劃發(fā)射繞飛地月系L2 點的中繼衛(wèi)星，以支持月球背面探測活動［2-4］，后來因為阿波羅項目的終止而未付諸實施。此后至今，世界范圍內(nèi)關(guān)于地月系L2點的航天任務(wù)僅實施了一次，即美國的阿特米斯（ARTEMIS）任務(wù)，其中的兩顆衛(wèi)星在2010年實現(xiàn)了科學探測衛(wèi)星環(huán)繞地月系L2 點的飛行試驗［5］，這一方面驗證了地月系L2 點繞飛軌道的可行性，另一方面也表明了在地月系L2點飛行方面的工程積累尚十分有限。盡管如此，近半個世紀以來，Howell［6］、Gómez［7］、劉林［8］等研究者均針對地月系L2點繞飛軌道工程實現(xiàn)的具體問題進行過針對性研究，為工程實踐提供了大量依據(jù)。

衛(wèi)星在環(huán)繞地月系L2 點軌道飛行時，會面臨與地球的通信被月球遮擋的月掩問題。阿波羅中繼衛(wèi)星方案設(shè)計的相關(guān)報告［2-3］中曾有所提及，但其僅針對理想的Halo軌道情況，采取了“永久規(guī)避”的設(shè)計方案。由于Halo軌道約束嚴格，加之實際飛行中受共線平動點不穩(wěn)定、空間攝動、工程實現(xiàn)誤差等因素的影響，Halo軌道現(xiàn)實很難實現(xiàn)，而更易形成約束相對較低的準周期軌道——Lissajous軌道。對于沿地月系L2點Lissajous軌道飛行時的月掩影響，尚未有專門的定量研究，但是在實際工程中，最長可達多半天的月掩會對關(guān)鍵弧段的通信產(chǎn)生嚴重影響，這是在軌道設(shè)計和工程分析中需要考慮的重要因素。盡管地月系L2 點的月掩研究有限，但是日地系L2點的相關(guān)研究值得參考：歐洲航天局針對蓋亞（Gaia）號探測器繞飛日地系L2點的地影分析［9］在原理、影響、約束等方面均與地月系L2點處的月掩影響相似，可以在分析地月系L2 點月掩時加以借鑒。

本文系統(tǒng)研究了地月系L2點衛(wèi)星規(guī)避月掩的問題，對Lissajous軌道影響規(guī)避月掩持續(xù)時間的初始位置方向和軌道振幅進行了遍歷分析，進而設(shè)計了月掩規(guī)避軌道，并定量分析了規(guī)避月掩持續(xù)進行星地通信的效果，以期為地月系L2點衛(wèi)星軌道設(shè)計和基于平動點軌道技術(shù)進行探測任務(wù)的設(shè)計提供參考。

2 月掩影響

2．1 月掩現(xiàn)象

掩星是指一個天體在另一個天體和觀測者之間通過而產(chǎn)生的遮蔽現(xiàn)象［10］。由月球遮蔽引起掩星現(xiàn)象稱為月掩。在地月系L2點附近即存在月掩現(xiàn)象，見圖1。

圖1 地月系L2點月掩示意圖Fig．1 Lunar occultation at L2libration point in earth-moon system

如在地月系L2 點附近布設(shè)月球中繼衛(wèi)星，則會遇到月掩問題。月球中繼通信如圖2所示。由于月球自轉(zhuǎn)周期和繞地球公轉(zhuǎn)周期相同，位于月球背面的探測器因受月球遮擋而無法直接與地球通信，圖2中的中繼衛(wèi)星可以實現(xiàn)此類中繼通信。

圖2 月球中繼通信示意圖Fig．2 Lunar relay communication

由圖1和圖2可以看出：當中繼衛(wèi)星進入月掩本影區(qū)域時，地球全部被月球遮擋，中繼衛(wèi)星無法與地球任意位置的測控站進行星地通信；當中繼衛(wèi)星進入月掩半影區(qū)域時，地球僅被月球遮擋了局部，部分測控站仍可以與中繼衛(wèi)星進行星地通信。工程中，月掩半影區(qū)仍有中繼通信利用價值，但測站位置和測控弧段的選取上受較多限制。

2．2 地月系L2點Lissajous軌道

本文是在“L2 點旋轉(zhuǎn)坐標系”下開展研究的。地月系“L2 點旋轉(zhuǎn)坐標系”定義為：原點是地月系L2點，x軸方向為地月連線方向，y軸方向為月球白道沿跡方向，z軸方向為白道面法向。

衛(wèi)星繞飛地月系L2 點的軌道可以通過“三體問題”共線平動點一階近似解表示［11］：

式中：t為時間，λ為平面振動頻率，υ為垂直振動頻率，k為縱向與橫向振幅的比例系數(shù)，Ay和Az分別為平面和垂直振幅，φ和ψ分別為平面和垂直振動的初始相位。當λ≠υ時，式（1）所表示的軌道呈Lissajous曲線形式，因此又稱為Lissajous軌道。

衛(wèi)星環(huán)繞地月系L2點Lissajous軌道飛行時會面臨月掩期間無法進行星地通信的問題，通過設(shè)計合適的軌道，可以對月掩進行較好的規(guī)避。圖3為本文設(shè)計的一條規(guī)避月掩Lissajous軌道，圖中的圓柱面為月掩帶輪廓，綠色圓形表示初始位置，紅色方形表示衛(wèi)星首次飛入月掩帶的位置。下文還會對此軌道進行詳細介紹與分析。

圖3 Lissajous軌道三維曲線Fig．3 Lissajous orbit 3Dcurve

式（1）所述軌道因形式簡單，表意明晰，且與真實軌道相近，適用以此為基礎(chǔ)對衛(wèi)星繞飛地月系L2點時的月掩影響進行分析。對于具體的工程精細計算，還可采用形式復(fù)雜卻更加精確的高階近似解析求解［12］和數(shù)值求解［13］方法。

3 月掩規(guī)避軌道設(shè)計分析

通過設(shè)計Lissajous軌道實現(xiàn)月掩規(guī)避時，需要結(jié)合月掩對工程的具體影響，以及月掩、Lissajous軌道的特性表現(xiàn)，對月掩規(guī)避軌道進行具體的分析與計算，從而為規(guī)避軌道的實現(xiàn)提供定量依據(jù)。

3．1 月掩規(guī)避軌道設(shè)計約束

在分析與設(shè)計月掩規(guī)避軌道時，需要考慮以下因素：

（1）在月掩帶以外的區(qū)域建立星地通信鏈路，并盡可能長時間地位于月掩帶之外連續(xù)飛行；

（2）地球-衛(wèi)星-月球（Earth-Probe-Moon，EPM）的夾角也可作為一個參考指標，以反映衛(wèi)星的星地和星月通信范圍與天線指向。

3．2 月掩帶范圍

月掩帶位于地月系L2點垂直地月連線切面外輪廓為圓形，半徑為3 107．9km?？紤]到月球軌道偏心率影響，月掩帶半徑會有±11km 的變化?？紤]到深空站跟蹤初始仰角限制，會因測控弧段縮短使得通信范圍的月掩本影半徑增加，月掩半影外半徑減小，月掩帶范圍不會擴大。

基于上述考慮，并參考阿波羅項目中繼衛(wèi)星設(shè)計論證方案［3，10］將月掩半影外輪廓作為月掩范圍邊界的方法，本文保守地選取月掩遮擋半徑Rs＝3500km。

3．3 軌道參數(shù)遍歷

對于式（1）的Lissajous軌道，初始位置方向和軌道振幅均為工程可調(diào)因素，通過合理設(shè)置，可以實現(xiàn)對月掩的有效規(guī)避。因此，對初始位置方向和軌道振幅進行了遍歷，從而優(yōu)化分析月掩規(guī)避效果和程度。

3．3．1 初始位置與方向的遍歷

為了最長時間規(guī)避月掩，初始位置（圖3中綠色圓形）選在月掩帶邊緣，對y-z切面的初始角度進行360°遍歷，并對每個初始角度又進行了4個初始方向遍歷，從而實現(xiàn)初始位置與方向的全覆蓋。對于所遍歷的每種情況，均計算Ay＝Az＝2×104km的月掩規(guī)避持續(xù)時間，結(jié)果如圖4所示。

圖4 遍歷初始位置與方向的規(guī)避月掩持續(xù)時長Fig．4 Initial position and direction ergodic lunar occultation avoidance durations

由圖4可知：

（1）4個方向的曲線呈現(xiàn)對稱性和相位差，這與式（1）的三角函數(shù)形式相一致，因此任選一個初始方向進行分析均具有代表性。

（2）規(guī)避天數(shù)呈階躍形式，這是因為階躍處對應(yīng)的初始位置使得軌道與月掩帶邊緣相切，相切情況對應(yīng)初始角有變化時，則會因進入月掩帶或繞過月掩帶而產(chǎn)生規(guī)避時長的階躍性變化。

（3）大幅度階躍（圖4中階躍差值為150d以上）具有重要的工程意義，其對應(yīng)軌道實現(xiàn)多圈規(guī)避月掩的臨界初始位置；相比而言，小幅度階躍（圖4中階躍差值為10d以下）的工程意義較小，其階躍僅由于差出半個繞飛周期，考慮到工程設(shè)計中采用多處近似（平動點軌道、月掩范圍、飛行周期等），這些小幅度階躍在工程中也可進行相鄰范圍近似相等的處理。

3．3．2 軌道振幅的遍歷

選取遍歷初始位置的最長規(guī)避持續(xù)時間，作為衡量其所對應(yīng)軌道的指標，進而對不同軌道的振幅Ay和Az進行遍歷。考慮到月掩帶范圍和一階近似解析解的有效范圍，將振幅遍歷范圍選為3×103km～3×104km。遍歷后的規(guī)避持續(xù)時長分布如圖5和圖6所示。由圖5和圖6可知：①規(guī)避持續(xù)時長與振幅呈正相關(guān)；②規(guī)避持續(xù)時長呈階躍形式，這是由于時長以繞飛周期倍數(shù)為單位變化；③每層“平臺”中規(guī)避時長仍有小范圍的變化（最多相差幾天），這是由于不同振幅下出入月掩的相位不同，導致時長具有微小差別，這種差別在工程設(shè)計中可以處理為近似相等；④Ay＝Az＝2×104km 附近有較大范圍的（±5000km×5000km）的持續(xù)時長“平臺”，平均值為175．2d，更高“平臺”為182．7d，僅增加7．5d（約半個繞飛周期）。因此，Ay＝Az＝2×104km 的月掩規(guī)避軌道適合作為可選設(shè)計軌道，且在此振幅附近設(shè)計月掩規(guī)避軌道有較大的近似冗余。

圖5 遍歷振幅的規(guī)避月掩持續(xù)時長曲面圖Fig．5 Amplitude ergodic lunar occultation avoidance duration curve

圖6 遍歷振幅的規(guī)避月掩持續(xù)時長等高線Fig．6 Amplitude ergodic lunar occultation avoidance duration contour

4 月掩規(guī)避軌道仿真驗證

基于上述分析，選取月掩規(guī)避軌道振幅為：Ay＝Az＝2×104km。經(jīng)過不同初始相位的計算結(jié)果比較［9］，最長規(guī)避時長對應(yīng)的軌道初始相位條件為：φ＝ψ＝103．47°，各向周期：Txy為14．65d，Tz為15．23d［11］。

衛(wèi)星沿月掩規(guī)避軌道飛行情況見圖3及圖7～圖10。其中，圖7～圖10 是圖3 在3 個方向的投影，圖7中的灰色圓形為月掩帶投影。

圖7 Lissajous軌道y-z 面投影Fig．7 Lissajous orbit projection on y-z plane

圖8 Lissajous軌道x-y 面投影Fig．8 Lissajous orbit projection on x-y plane

圖9 Lissajous軌道z-x 面投影Fig．9 Lissajous orbit projection on z-x plane

圖10 規(guī)避月掩期間的EPM 夾角Fig．10 EPM angle during lunar occultation avoidance

分別從月掩規(guī)避時長和月掩外通信指向兩方面分析所設(shè)計的月掩規(guī)避軌道。

（1）月掩規(guī)避時長方面：①衛(wèi)星進入月掩帶之前的持續(xù)時長為175．01d，進入月掩的最長時長為14．5h，進入月掩時長占總飛行時長的0．4%；②衛(wèi)星頻繁進入月掩期間的總時長為22．8d，此間進入月掩時長所占比例也僅為7．9%，兩次進入月掩的時間間隔為7．0d。進入月掩時長相對較短，在時間方面實現(xiàn)了對月掩的有效規(guī)避。

（2）月掩外通信方向方面：EPM 夾角變化周期為7．5d，最大振幅小于10°，指標均優(yōu)于地球中繼衛(wèi)星，即繞飛衛(wèi)星作為探測衛(wèi)星或通信中繼衛(wèi)星時，均能在月掩外滿足工程基本通信需求。

綜上所述，沿所設(shè)計軌道繞飛地月系L2 點的衛(wèi)星可以近半年不受月掩影響的持續(xù)星地通信。如在具體任務(wù)規(guī)劃中，安排關(guān)鍵通信弧段時避開短時間的月掩，即可有效降低月掩的不利影響。

5 結(jié)束語

本文針對地月系L2點衛(wèi)星面臨月掩影響星地通信問題，研究了通過設(shè)計軌道規(guī)避月掩的方法，在定量計算月掩對星地通信影響范圍與程度的基礎(chǔ)上，選取合適的規(guī)避軌道參數(shù)范圍設(shè)計Lissajous軌道，進而對月掩規(guī)避效果進行了有效驗證。研究結(jié)果對地月系L2點衛(wèi)星軌道設(shè)計和基于平動點軌道技術(shù)進行探測任務(wù)的設(shè)計具有參考意義。

本文雖面向地月系L2 點，但所用方法也適用于其它“三體問題”共線平動點，如可以對日地L2點地影、日地L1點或L3點日凌、行星衛(wèi)星觀測等與“三體問題”相關(guān)的掩星現(xiàn)象進行類似分析。

本文采用形式簡單的一階近似解進行了初步分析，研究結(jié)果可以為利用平動點軌道的高階近似解析解和數(shù)值精確解，進行平動點衛(wèi)星掩星分析和工程軌道設(shè)計提供參考。

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