冉華明，周銳，吳江，董卓寧

(北京航空航天大學(xué) 飛行器控制一體化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191)

在現(xiàn)代空戰(zhàn)中，隨著電子干擾技術(shù)的發(fā)展，機(jī)載雷達(dá)所處的電磁環(huán)境變得越來(lái)越復(fù)雜，使得機(jī)載雷達(dá)的探測(cè)能力大大地降低，同時(shí)使得戰(zhàn)斗機(jī)受到的威脅度大大地提高.機(jī)載紅外探測(cè)跟蹤系統(tǒng)屬于無(wú)源探測(cè)跟蹤系統(tǒng)，由于不向外輻射電磁波，使其具備不易受干擾和隱蔽探測(cè)等優(yōu)點(diǎn)，但其只能探測(cè)目標(biāo)對(duì)的角度信息，不能直接探測(cè)目標(biāo)的距離信息.

雙機(jī)協(xié)同無(wú)源目標(biāo)跟蹤利用兩架飛機(jī)各自的位置信息和探測(cè)出的目標(biāo)角度信息，再根據(jù)目標(biāo)定位模型和濾波算法，計(jì)算出目標(biāo)的狀態(tài).如何衡量和提高雙機(jī)無(wú)源探測(cè)跟蹤的精度是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的無(wú)源探測(cè)跟蹤的一個(gè)重要方向.目前國(guó)內(nèi)外對(duì)雙站協(xié)同無(wú)源探測(cè)的精度分析主要集中在如何靜態(tài)地配置基站來(lái)提高定位精度這方面，文獻(xiàn)［1-4］給出了雙機(jī)測(cè)向交叉定位造成的模糊區(qū)的計(jì)算方法，對(duì)測(cè)向定位精度進(jìn)行分析，研究了間距、目標(biāo)位置、測(cè)角精度以及平臺(tái)測(cè)量誤差對(duì)定位精度的影響，得出了幾何精度因子(GDOP)等高線，但它們都只考慮飛機(jī)靜止時(shí)的情況，未考慮飛機(jī)如何根據(jù)最優(yōu)配置來(lái)規(guī)劃軌跡的問(wèn)題.

未來(lái)空戰(zhàn)中，飛機(jī)所處的環(huán)境復(fù)雜多變，事先規(guī)劃的航路不能很好地滿足作戰(zhàn)要求，如何根據(jù)戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境的變化實(shí)時(shí)地規(guī)劃飛機(jī)的軌跡就顯得尤為重要.文獻(xiàn)［5］提出了一種基于遺傳算法的在不確定環(huán)境下的無(wú)人機(jī)軌跡設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)［6］研究了動(dòng)態(tài)環(huán)境下基于市場(chǎng)策略的分布特點(diǎn)的多飛機(jī)的軌跡設(shè)計(jì).文獻(xiàn)［7］對(duì)雙機(jī)執(zhí)行協(xié)同探測(cè)任務(wù)，提出一種閉環(huán)控制方法，能夠達(dá)到探測(cè)精度的要求.文獻(xiàn)［8-9］提出了一種基于滾動(dòng)時(shí)域控制方法的無(wú)人機(jī)軌跡設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)［10-12］研究了對(duì)靜止目標(biāo)的跟蹤軌跡設(shè)計(jì)，分析得到軌跡最終收斂于安全半徑上，且雙機(jī)視線夾角成90°.文獻(xiàn)［13］研究了雙機(jī)協(xié)同對(duì)對(duì)面目標(biāo)攻擊的軌跡設(shè)計(jì)，使兩架飛機(jī)先分開成90°靠近目標(biāo)，提出了一種反饋的軌跡設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)［14］研究了雙機(jī)幾何配置對(duì)協(xié)同定位的影響，得出了雙機(jī)的最優(yōu)幾何配置，并分別采用滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化(RHO)和基于導(dǎo)引勢(shì)場(chǎng)法的目標(biāo)跟蹤閉環(huán)反饋混合控制策略來(lái)控制飛機(jī)的軌跡.但文獻(xiàn)［10-13］中只是針對(duì)靜止目標(biāo)和速度相對(duì)飛機(jī)速度較小的目標(biāo)來(lái)進(jìn)行協(xié)同軌跡優(yōu)化，未對(duì)目標(biāo)速度較大的情況進(jìn)行討論和分析.

本文分析了雙機(jī)協(xié)同無(wú)源跟蹤的精度，并基于此對(duì)雙機(jī)協(xié)同軌跡進(jìn)行了優(yōu)化.

1 雙機(jī)協(xié)同無(wú)源探測(cè)位置精度因子分析

雙機(jī)協(xié)同無(wú)源探測(cè)跟蹤系統(tǒng)飛機(jī)與目標(biāo)的幾何態(tài)勢(shì)如圖1所示.

圖1 飛機(jī)與目標(biāo)的幾何態(tài)勢(shì)Fig.1 Geometric situation of aircrafts to target

兩架飛機(jī)相對(duì)目標(biāo)的視線的夾角為

飛機(jī)的觀測(cè)方位角滿足以下方程:

則可得出目標(biāo)的位置:

根據(jù)泰勒公式，可將 xT，yT在真實(shí)值(θ1，θ2，x1，x2，y1，y2)處進(jìn)行展開，并只保留一階項(xiàng)，得到目標(biāo)x方向和y方向估計(jì)誤差:

根據(jù)飛機(jī)與目標(biāo)的幾何關(guān)系，可得飛機(jī)距目標(biāo)的距離為

因?yàn)闇y(cè)量誤差都為零均值高斯噪聲，根據(jù)式(7)，分別對(duì)式(5)和式(6)求方差:

對(duì)于雙機(jī)協(xié)同探測(cè)跟蹤系統(tǒng)，位置精度因子(PDOP)是一種常見的衡量探測(cè)精度的指標(biāo)［1-4，15］，在本文中，PDOP 可表示為

如果兩架飛機(jī)的某種幾何態(tài)勢(shì)能使PDOP最小，則相應(yīng)的目標(biāo)估計(jì)精度也就達(dá)到最優(yōu)［14］.由式(10)，在飛機(jī)紅外搜索跟蹤系統(tǒng)的角測(cè)量方差和飛機(jī)自身定位位置測(cè)量方差一定的情況下，PDOP的大小與飛機(jī)距目標(biāo)的距離以及兩架飛機(jī)相對(duì)目標(biāo)的視線的夾角有關(guān)，雙機(jī)協(xié)同無(wú)源探測(cè)的最優(yōu)的飛機(jī)配置為

式中，rmin為飛機(jī)能夠靠近目標(biāo)的安全距離.式(11)說(shuō)明為了提高探測(cè)精度，兩架飛機(jī)應(yīng)該盡可能地靠近目標(biāo)，并保持π/2的視線夾角.

2 雙機(jī)協(xié)同無(wú)源跟蹤軌跡優(yōu)化

雙機(jī)協(xié)同無(wú)源目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)如圖2所示.融合中心根據(jù)兩架飛機(jī)傳輸?shù)哪繕?biāo)角度測(cè)量信息和自身定位信息，根據(jù)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型以及系統(tǒng)的觀測(cè)方程，采用一定的濾波方法，估算出目標(biāo)的狀態(tài);指揮中心根據(jù)估算出的目標(biāo)狀態(tài)以及飛機(jī)的狀態(tài)計(jì)算某種軌跡規(guī)劃的性能指標(biāo)，再根據(jù)優(yōu)化算法對(duì)指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化求解，解算出兩架飛機(jī)各自的協(xié)同無(wú)源跟蹤控制輸入量，飛機(jī)再根據(jù)各自的控制輸入來(lái)控制飛機(jī)的運(yùn)動(dòng).

圖2 雙機(jī)協(xié)同無(wú)源目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Control structure of two aircrafts’collaborative passive target tracking system

2.1 雙機(jī)協(xié)同無(wú)源跟蹤建模

式中，Xk為 k 時(shí)刻的狀態(tài)向量;Φk，k－1為 k －1 時(shí)刻到k時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Xk－1為k－1時(shí)刻的狀態(tài)向量;Γk－1為k－1時(shí)刻噪聲輸入矩陣.假設(shè)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在加速度方向上有過(guò)程噪聲，采樣時(shí)間間隔為ΔT，則

wk=［w1k，w2k］T為零均值不相關(guān)的高斯白噪聲，其方差陣為

k時(shí)刻第i架飛機(jī)對(duì)目標(biāo)的方位角的真實(shí)值為

則可得到系統(tǒng)的觀測(cè)方程為

式中，Zk=［，］T為 k 時(shí)刻的雙機(jī)協(xié)同觀測(cè)向量值;h(k，Xk)=［h1(k，Xk)，h2(k，Xk)］T為 k時(shí)刻的雙機(jī)協(xié)同觀測(cè)函數(shù)，這是一個(gè)非線性函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行線性化處理，得其Jacobian矩陣:

vk=［v1k，v2k］T為零均值不相關(guān)的高斯白噪聲，其方差陣為

2.2 基于擴(kuò)展信息濾波的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)

擴(kuò)展信息濾波(EIF)是結(jié)合了擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)和信息濾波(IF)的優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的針對(duì)非線性系統(tǒng)的濾波方法［16］，卡爾曼濾波中使用狀態(tài)估計(jì)x^及方差P進(jìn)行濾波計(jì)算，而信息濾波利用信息狀態(tài)y^及費(fèi)歇信息Y進(jìn)行濾波計(jì)算，其中，y^=P－1x^，Y=P－1.擴(kuò)展信息濾波的預(yù)測(cè)和估計(jì)過(guò)程如下:

1)預(yù)測(cè)過(guò)程.

2)估計(jì)過(guò)程.

式中，zik為k時(shí)刻第i架飛機(jī)的觀測(cè)向量;n為信息濾波節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，本文中，n=2.

則k時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)的最終估計(jì)結(jié)果為

2.3 控制指標(biāo)的選取

雙機(jī)協(xié)同無(wú)源跟蹤的主要任務(wù)就是提高目標(biāo)的估計(jì)精度，本文用信息熵作為雙機(jī)協(xié)同軌跡控制的優(yōu)化指標(biāo)［14］:

信息熵越大，則飛機(jī)的精度就越高，飛機(jī)的最優(yōu)控制就是找到飛機(jī)最優(yōu)速度和航向角輸入，使得控制指標(biāo)最大，即

式中，ψ =［ψ1，ψ2］T為飛機(jī)的航向角;v=［v1，v2］T為飛機(jī)的速度.

同時(shí)，在對(duì)飛機(jī)進(jìn)行控制時(shí)，還應(yīng)該考慮飛機(jī)的性能約束:

式中，vi為飛機(jī)速度;vmin為飛機(jī)的最小速度;vmax為飛機(jī)的最大速度;為飛機(jī)的角速度;ωmax為飛機(jī)的最大角速度為飛機(jī)的加速度;amax為飛機(jī)的最大加速度.

雙機(jī)協(xié)同無(wú)源跟蹤時(shí)還應(yīng)該考慮飛機(jī)自身的安全，即飛機(jī)與目標(biāo)的距離應(yīng)不小于安全距離，本文取安全距離為目標(biāo)的導(dǎo)彈的最大發(fā)射距離，則安全約束可表示為

式中RM_max為目標(biāo)的導(dǎo)彈的最大發(fā)射距離.

2.4 基于RHO的雙機(jī)協(xié)同軌跡優(yōu)化

雙機(jī)協(xié)同無(wú)源探測(cè)軌跡優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)多約束的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，本文采用了滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化來(lái)進(jìn)行最優(yōu)求解［8，14］.RHO 來(lái)源于滾動(dòng)時(shí)域控制(RHC)，在每一個(gè)采樣時(shí)刻，優(yōu)化指標(biāo)只考慮從該時(shí)刻起的未來(lái)某一段時(shí)間，根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)的狀態(tài)，并利用該狀態(tài)來(lái)計(jì)算優(yōu)化指標(biāo)，從而建立一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，求解該優(yōu)化問(wèn)題，最終得到最優(yōu)控制序列.當(dāng)?shù)搅讼乱粋€(gè)采樣時(shí)刻時(shí)，重復(fù)上一過(guò)程，隨著時(shí)間的增加，整個(gè)過(guò)程如此反復(fù)滾動(dòng)進(jìn)行.雙機(jī)協(xié)同無(wú)源目標(biāo)跟蹤所處的環(huán)境是動(dòng)態(tài)不確定的，全程的軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)是不切實(shí)際的，軌跡需要不斷地更新優(yōu)化設(shè)計(jì)，而滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化的優(yōu)點(diǎn)表明其可以很好地滿足這些要求.

滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化方法步驟如下.

1)由k時(shí)刻目標(biāo)的狀態(tài)XT［k］，對(duì)未來(lái)tr步內(nèi)的目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，估計(jì)得到目標(biāo)的狀態(tài)序列:

由k時(shí)刻飛機(jī)的狀態(tài)X［k］，估計(jì)飛機(jī)的tr步控制序列:

計(jì)算k+tr時(shí)間段內(nèi)的最優(yōu)控制序列:

2)取此最優(yōu)控制序列的前τr段輸入u*［k:k+τr］(1≤τr≤tr)作為該 τr時(shí)間段內(nèi)的控制輸入.

3)k+τr時(shí)刻，重復(fù)步驟1)和2).

本文中，tr=8，τr=2.

3 仿真結(jié)果與分析

仿真假設(shè):己方飛機(jī)的最小速度 vmin=100 m/s，最大速度 vmax=300 m/s，最大加速度amax=15 m/s2，最大航向角速度 ωmax=0.1 rad/s，飛機(jī)的角測(cè)量均方差σθ=5 mrad，飛機(jī)的自身定位均方差σr=5m;目標(biāo)飛機(jī)的導(dǎo)彈最大發(fā)射距離為25km.仿真時(shí)間為1500s，采樣時(shí)間為1s，過(guò)程噪聲方差和測(cè)量方差分別為

1)情形1.飛機(jī)1和飛機(jī)2的初始位置分別為(－20，－80)km，(－70，－50)km，初始速度分別為(－120，160)m/s，(－160，－120)m/s;目標(biāo)的初始位置和速度為(－60，－40)km，(150，150)m/s，且目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng).EIF濾波器初值為X0=(－60010，151，－40010，151)T，濾波信息陣初值為 Y0=diag(［500，100，500，100］)－1.

飛機(jī)和目標(biāo)的軌跡如圖3所示.在圖中，每隔250 s標(biāo)注出3架飛機(jī)的位置，并將此時(shí)的目標(biāo)與己方飛機(jī)用虛線連接起來(lái)，可以看出，飛機(jī)1一直靠近目標(biāo)，由于飛機(jī)2與目標(biāo)的初始距離小于最小距離，所以飛機(jī)2開始時(shí)的軌跡是遠(yuǎn)離目標(biāo)的，之后將靠近目標(biāo)，兩架飛機(jī)與目標(biāo)的視線之間的夾角也在π/2左右，直到達(dá)到最優(yōu)幾何配置.飛機(jī)與目標(biāo)的視線夾角如圖4所示，兩架飛機(jī)與目標(biāo)的視線之間的夾角最終在π/2附近波動(dòng)，且波動(dòng)很小.雙機(jī)協(xié)同無(wú)源跟蹤目標(biāo)的PDOP變化曲線如圖5所示，可以看出目標(biāo)的PDOP減少并收斂于最小的PDOP.這說(shuō)明基于RHO的雙機(jī)軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠使得飛機(jī)按雙機(jī)協(xié)同無(wú)源跟蹤的最優(yōu)幾何配置飛行.目標(biāo)的位置估計(jì)均方根誤差(RMSE)曲線如圖6所示，目標(biāo)的均方根誤差減少并收斂到一個(gè)較小水平.這說(shuō)明基于RHO的雙機(jī)軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠減少估計(jì)誤差，提高目標(biāo)的估計(jì)精度.此情形下，該軌跡優(yōu)化算法總耗時(shí)為139 s，比仿真時(shí)間1500 s的1/10還小，這說(shuō)明該算法具有一定的實(shí)時(shí)性.

圖3 情形1的飛機(jī)及目標(biāo)軌跡Fig.3 Aircraft and target trajectory of case 1

圖4 情形1飛機(jī)與目標(biāo)的視線夾角Fig.4 The line of sight angle of aircraft and target of case 1

圖5 情形1的位置精度因子曲線Fig.5 Position dilution of precision curve of case 1

圖6 情形1的均方根誤差曲線Fig.6 Root-mean-square error curve of case 1

2)情形2.飛機(jī)1和飛機(jī)2的初始位置分別為(－30，－70)km，(－70，－30)km，初始速度分別為(－150，120)m/s，(－130，－140)m/s;目標(biāo)的初始位置和速度為(－60，－40)km，(140，120)m/s，且開始目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在800～1000 s時(shí)做角速度為0.005 rad/s的勻速左轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)，之后再做勻速直線運(yùn)動(dòng).EIF濾波器初值為X0=(－60010，141，－ 40 010，121)T，濾波信息陣初值為 Y0=diag(500，100，500，100)－1.

飛機(jī)和目標(biāo)的軌跡如圖7所示，在圖中，每隔250 s標(biāo)注出3架飛機(jī)的位置，并將此時(shí)目標(biāo)與己方飛機(jī)用虛線連接起來(lái)，可以看出，飛機(jī)1一直靠近目標(biāo)，飛機(jī)2開始遠(yuǎn)離目標(biāo)，之后將靠近目標(biāo)，兩架飛機(jī)與目標(biāo)的視線之間的夾角也在π/2左右，直到達(dá)到最優(yōu)幾何配置，在目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎之后，兩架飛機(jī)也將相應(yīng)地進(jìn)行機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎.飛機(jī)與目標(biāo)的視線夾角如圖8所示，兩架飛機(jī)與目標(biāo)的視線之間的夾角最終在π/2附近波動(dòng)，且波動(dòng)很小.雙機(jī)協(xié)同無(wú)源跟蹤目標(biāo)的PDOP變化曲線如圖9所示，可以看出目標(biāo)的PDOP減少并收斂于最小的PDOP.這說(shuō)明基于RHO的雙機(jī)軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠使得飛機(jī)按雙機(jī)協(xié)同無(wú)源跟蹤的最優(yōu)幾何配置飛行.目標(biāo)的位置估計(jì)均方根誤差(RMSE)曲線如圖10所示，目標(biāo)的均方根誤差減少到一個(gè)較小水平.這說(shuō)明基于RHO的雙機(jī)軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠減少估計(jì)誤差，提高目標(biāo)的估計(jì)精度.此情形下，該軌跡優(yōu)化算法總耗時(shí)為147 s，約為仿真時(shí)間1500 s的1/10，這說(shuō)明該算法具有一定的實(shí)時(shí)性.

圖7 情形2的飛機(jī)及目標(biāo)軌跡Fig.7 Aircraft and target trajectory of case 2

圖8 情形2飛機(jī)與目標(biāo)的視線夾角Fig.8 The line of sight angle of aircraft and target of case 2

圖9 情形2的位置精度因子曲線Fig.9 Position dilution of precision curve of case 2

圖10 情形2的均方根誤差曲線Fig.10 Root-mean-square error curve of case 2

4 結(jié)論

本文在綜合分析雙機(jī)協(xié)同無(wú)源探測(cè)PDOP的基礎(chǔ)上提出了一種基于RHO的雙機(jī)協(xié)同無(wú)源探測(cè)軌跡跟蹤算法，經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明:

1)雙機(jī)協(xié)同無(wú)源定位中使得PDOP最小的雙機(jī)的幾何配置為雙機(jī)與目標(biāo)視線夾角為90°，雙機(jī)與目標(biāo)的距離為安全距離;

2)基于滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化的軌跡優(yōu)化算法能保證雙機(jī)在執(zhí)行無(wú)源探測(cè)任務(wù)過(guò)程中保持最優(yōu)幾何配置.

未來(lái)空戰(zhàn)中，多機(jī)協(xié)同無(wú)源跟蹤具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值，將雙機(jī)跟蹤的最優(yōu)空間幾何配置及誤差模型推廣到多機(jī)情況具有很重要的意義，是作者以后研究的一個(gè)重要方向.

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