屈 哲，郭 輝

(青島濱海學(xué)院大專理科基礎(chǔ)學(xué)院，山東青島 266555)

1 古塔各層中心位置的測定方法

1.1 確定任意凸多邊形重心

做凸四邊形的一條對角線，就將四邊形分為兩個三角形，分別作兩個三角形的重心為A和B，連接A、B得一線段AB。同樣，做出凸四邊形的另一條對角線，用相同的辦法得到線段CD，AB和CD的交點就是凸四邊形的重心［1］，如圖1所示。

圖1 凸四邊形的重心

做凸五邊形的任一條對角線，將凸五邊形分為一個三角形與一個四邊形組合體，分別作出三角形的重心和四邊形的重心，并連成線段AB;做五邊形的另外一條對角形，將五邊形分為另一個三角形與四邊形的組合體，分別作出三角形與四邊形的重心，并連接成線段CD;則AB和CD的交點就是五邊形的重心，如圖2所示。

圖2 凸五邊形的重心

一條對角線，將N邊形化為一個三角形與(N－1)邊形，或四邊形與(N－2)邊形，然后分別作出重心，并連接成線段，然后再連接另一條對角線，分別作出兩個組合體的重心并連接成線段，兩條線段的交點就是N邊形的重心。

1.2 任意凸多邊形重心的算法

基于上述理論，運用VC++得出確定一個任意凸多邊形重心的通用方法，具體算法及程序如下［2－3］:

(1)在平面上取一點(一般取原點)得到N個三角形 OP［i］P［i+1］，其中點的順序為逆時針。

(2)分別求出這N個三角形的重心Ci和面積Ai，注意此處面積是有向面積，用叉乘求面積時應(yīng)保留其正負號。

(3)求出A=A1+A2+…+AN(同樣保留正負號的代數(shù)相加)。

(4)重心C=sigma(Ai+Ci)/A。

2 古塔傾斜、彎曲、扭曲的形變數(shù)學(xué)模型

2.1 古塔的傾斜分析

建筑物的傾斜，即其主體的中心軸線偏離鉛垂線且與鉛垂線有一個夾角，古塔是一座八邊形的建筑物，為了研究方便，可將塔體簡化為錐體，如圖3所示。塔體傾斜在豎面上的反映是:塔的中心軸線偏離鉛垂線，其偏離角度為 θ［4］。

圖3 塔體簡化為錐體

設(shè)古塔塔頂?shù)捻旤c坐標為A(x14，y14，z14)，第一層塔的中心坐標為B(x1，y1，z1)，連線AB即是古塔中心軸線，利用空間向量對兩點的坐標做差得出x1，y14－y1，z14－ z1}，利用空間向量方向角的余弦公式

根據(jù)上述仿真數(shù)據(jù)，得到4年古塔的傾斜角數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 古塔的傾斜角

由表1的數(shù)據(jù)可觀察到θ隨時間逐漸變大，說明塔的中心軸線與鉛垂線之間的偏離角度θ在不斷變大，塔隨著年份的增加傾斜度逐漸增大。但在1996～2011年的15年間傾斜角度增大的趨勢逐漸變緩。

2.2 古塔的扭曲分析

物體因外力作用而發(fā)生的扭轉(zhuǎn)形變叫做物體的扭曲。古塔的扭曲即是古塔在受到外力的作用下中心軸假設(shè)不動，塔身相鄰兩段向相反兩個方向的扭轉(zhuǎn)叫扭曲形變。

在古塔的觀測數(shù)據(jù)中每一層都有8個被觀測點，為研究分析古塔的扭曲形變，需要選取其中一個被觀測點作為研究的被觀測點，假設(shè)古塔沒有發(fā)生豎直方向上的形變(例如沉降)，不考慮z軸的變化，每一層均作為一個研究平面，只考慮x，y軸上坐標的變化，用最后一次對這一固定點的觀測(2011年)數(shù)據(jù)與第一次觀測(1986年)的數(shù)據(jù)做差，得到25年來每一層這一固定點的累計變化量。

表2 古塔每層固定點的累計變化量

由表2中可知x，y軸坐標的變化發(fā)生在不同的方向上，即該固定點在這25年以來塔身2～5層與1層和6～13層扭轉(zhuǎn)的方向不一致，所以古塔由于受到外力的影響而發(fā)生了扭轉(zhuǎn)的形變，即古塔發(fā)生了扭曲形變。

2.3 古塔的彎曲分析

當(dāng)物體受到與物體軸線垂直的外力或在軸線平面內(nèi)的力偶作用時，物體的軸線由原來的直線變成曲線，這種形變稱作彎曲形變。為了研究方便且保持結(jié)果的準確性，建立如圖4所示平面直角坐標系，并以此確定古塔每一層的8個方位。

圖4 古塔的彎曲形變示意圖

研究古塔的彎曲形變即:研究古塔各層重心與空間直角坐標系的坐標原點的連線形成的向量軸所成的方向角，由空解析幾何原理計算如下

圖5 古塔彎曲形變分析

由圖5可知:1～3層從1986年～2011年向東南方向傾斜;4～5層1986年～1996年先向東南方向傾斜，1996年～2009年向西北方向傾斜，2009年～2011年向東南方向傾斜;6～13層1996年～2011年向東南方向傾斜。

3 古塔的形變趨勢

3.1 古塔的傾斜形變趨勢分析

根據(jù)上述的研究結(jié)果，利用最小二乘法可將古塔形變的趨勢擬合成一條光滑曲線，同時還可得出擬合曲線的多項式方程，以此來定量分析該古塔的形變趨勢，得出古塔傾斜趨勢二次多項式為

3.2 古塔扭曲、彎曲形變的趨勢分析

在實際工程中，建筑物扭曲和彎曲一般是同時發(fā)生的，這是因為建筑物受到橫向和縱向的不可抗力作用而發(fā)生的形變。本文研究了古塔身各層扭曲和彎曲的情況，根據(jù)研究發(fā)現(xiàn)古塔第5層彎曲、扭曲方向與其上面的各層不一致，這是因為該層是塔身的受力中心。因此通過研究該層的重心，即可得出整個古塔的扭曲和彎曲的形變趨勢。擬合得出古塔扭曲趨勢的二次多項式函數(shù)

4 結(jié)束語

定量分析了古塔受到外界自然環(huán)境的影響產(chǎn)生傾斜、彎曲和扭曲等形變情況及形變趨勢的預(yù)測問題。分析發(fā)現(xiàn):古塔隨著年份的增加傾斜度逐漸增大。但傾斜角度增大的趨勢逐漸變緩;同時分析發(fā)現(xiàn)古塔存在一定程序的扭曲現(xiàn)象，但扭曲程度不大;同時，古塔也存在一定程度的彎曲現(xiàn)象，彎曲趨勢的也在逐漸變緩。通過建立數(shù)學(xué)模型定量分析研究古塔的形變趨勢，為文物部門及時準確了解古塔隨時間增加而發(fā)生的形變趨勢，加強對古塔的維修，制定及時、科學(xué)的保護措施提供了理論依據(jù)。

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