孫順紅，方桂娟

(1.漳州城市職業(yè)學(xué)院 電子信息工程系, 福建 漳州 363000;2.三明學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 三明 365004)

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矢量無衍射光束的光強(qiáng)

孫順紅1，方桂娟2

(1.漳州城市職業(yè)學(xué)院 電子信息工程系, 福建 漳州 363000;2.三明學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 三明 365004)

摘要：矢量無衍射光束不僅具有標(biāo)量無衍射光束的特點(diǎn)，而且還具有標(biāo)量無衍射光束所不具備的偏振特性，因此研究矢量無衍射光束具有十分重要的意義.研究結(jié)果表明，利用柯林斯等公式經(jīng)過理論推導(dǎo)可以得到自由空間矢量無衍射光束的光強(qiáng)計(jì)算式,這對(duì)于研究矢量無衍射光束的自重建現(xiàn)象奠定了理論基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：矢量；無衍射；徑向偏振；角向偏振；光強(qiáng)

1引言

從1987年美國羅切斯特大學(xué)Durnin等人首次提出無衍射光束(Bessel光束)概念以來[1]，由于無衍射光束具有中心光斑小、光強(qiáng)高度集中、方向性好、最大無衍射距離遠(yuǎn)、自重建等特點(diǎn)[2-6]，所以其在高精度定向或準(zhǔn)直光學(xué)系統(tǒng)、非線性光學(xué)、激光光鑷等領(lǐng)域中得到了應(yīng)用.近年來人們開始對(duì)矢量(徑向和角向)無衍射光束的研究產(chǎn)生了興趣.不僅僅因?yàn)槭噶繜o衍射光束具有標(biāo)量無衍射光束的特點(diǎn)，還因?yàn)樗衅窆馐?徑向和角向)特點(diǎn)，因此人們對(duì)它的關(guān)注度也越來越高[7-8]，特別是在光鑷實(shí)驗(yàn)(微小粒子捕獲和粒子操控方面的應(yīng)用)、大數(shù)值孔徑透鏡聚焦和自重建等[9-21]方面期望得到更廣泛的應(yīng)用.本文將從理論上推導(dǎo)矢量無衍射光束(包括徑向偏振無衍射光和角向偏振無衍射光)的光強(qiáng)公式，為矢量無衍射光束在自重建等方面的應(yīng)用做理論基礎(chǔ).

2矢量無衍射光束光強(qiáng)的理論推導(dǎo)

2.1　徑向偏振無衍射光束的光強(qiáng)計(jì)算

呈高斯分布的徑向偏振光束的電場表示式為[7]：

(1)

式中ω0為光束的束腰寬度，A為任意常數(shù)，設(shè)A=1.

軸棱錐的透過率函數(shù)為：

(2)

其中，k=2π/λ為波數(shù)，λ為波長，n為軸棱錐材料的折射率，γ為軸棱錐的錐角.當(dāng)徑向偏振光束通過軸棱錐聚焦后，可以獲得徑向偏振無衍射光束.在傳輸場中的電場表達(dá)式可以由衍射積分公式得到[22]：

(3)

將公式(1)、(2)代入到公式(3)，可以得到徑向偏振無衍射光束在傳輸場中電場的x方向分量為：

(4)

利用下列公式(5)—(9)，對(duì)積分公式(4)進(jìn)行化簡

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中

式(11)是利用式(5)和式(6)進(jìn)行了化簡，將式(11)代入到式(10)有

exp(-ilθ)∫cosφexp(ilφ)dφ.

(12)

其中，利用式(7)得

再根據(jù)式(9)知

當(dāng)l=-1時(shí)，

∫exp[iφ(l+1)]dφ=2π，

∫exp[iφ(l-1)]dφ=0.

當(dāng)l=+1時(shí)，

∫exp[iφ(l-1)]dφ=2π，

∫exp[iφ(l+1)]dφ=0.

則

exp(-iθ)π=

(13)

式(13)利用了式(7)及式i-1=-i.將式(13)代入到式(12)中，得到

(14)

(15)

由此可知徑向偏振無衍射光束在x方向電場分量的光強(qiáng)表達(dá)式為：

(16)

同理，徑向偏振無衍射光束在y方向電場分量的表達(dá)式為：

(17)

由此可知徑向偏振無衍射光束在y方向電場分量的光強(qiáng)表達(dá)式為：

(18)

由公式(15)和公式(17)可得到徑向偏振無衍射光束的光強(qiáng)表達(dá)式：

(19)

利用工程計(jì)算軟件Mathcad對(duì)公式(16)、(18)、(19)進(jìn)行理論模擬，可得到徑向偏振無衍射光束的x、y分量及整束光的光強(qiáng)分布圖，如圖1所示.圖1中(a)(b)中的白色箭頭分別表示x、y方向，(c)中的黑色箭頭代表著徑向偏振無衍射光束的偏振方向.計(jì)算參數(shù)為：λ=632.8×10-6mm,ω=5mm,n=1.50,γ=0.5°, z=400mm.

圖1　徑向偏振無衍射光束的x方向、y方向及整束光束的理論光強(qiáng)分布圖

2.2　角向偏振無衍射光束的光強(qiáng)計(jì)算

角向偏振光束在光束橫截面上任意一點(diǎn)上的電場矢量方向沿著角向方向.角向偏振光束在源平面z=0處的角向偏振光束的電場分布表達(dá)式為[23]：

(20)

(21)

(22)

軸棱錐的透過率函數(shù)表示為式(2).當(dāng)角向偏振光束通過軸棱錐聚焦后，就得到了角向偏振無衍射光束.在直角坐標(biāo)系中，角向和徑向分量可以分解為：

(23)

基于柯林斯公式[22，24]，角向偏振光束通過軸棱錐后在自由空間中傳輸，其在x、y方向上的衍射積分公式可分別表示為：

(24)

(25)

為了簡化計(jì)算，取A=1，利用公式(5)—(9)， 對(duì)積分公式(24)和(25)進(jìn)行化簡并得到化簡后的衍射積分公式(26)和(27)：

(26)

同理，角向偏振無衍射光束在y方向上的衍射積分公式為：

(27)

則角向偏振無衍射光束的截面光強(qiáng)分布表達(dá)式可以表示為：

(28)

將(26)和(27)兩式代入公式(28)，并使用Mathcad進(jìn)行數(shù)值模擬，即可得到角向偏振無衍射光束的截面光強(qiáng)分布圖，如圖2所示,圖中黑色箭頭代表著角向偏振無衍射光束的偏振方向.計(jì)算參數(shù)為：λ=632.8×10-6mm,ω0=2 mm,n=1.50, γ=0.5°,z=400 mm.

圖2　角向偏振無衍射光束的理論截面光強(qiáng)分布圖

3結(jié)論

利用柯林斯公式及軸棱錐的透過率函數(shù)，經(jīng)過嚴(yán)格的理論計(jì)算推導(dǎo)得到了矢量無衍射光束(包括徑向偏振無衍射光束和角向偏振無衍射光束)在自由空間傳輸?shù)墓鈴?qiáng)公式，并利用工程計(jì)算軟件Mathcad得到了徑向偏振無衍射光束和角向偏振無衍射光束的光強(qiáng)分布情況.矢量無衍射光束的光強(qiáng)公式僅僅是為后續(xù)矢量無衍射光束的自重建研究做基礎(chǔ)，關(guān)鍵是注意其推導(dǎo)過程，學(xué)會(huì)這類推導(dǎo)可為其他光學(xué)模型提供幫助.

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Intensity of vector non-diffracting beam

SUNShun-hong1，F(xiàn)ANGGui-juan2

(1.Department of Electronic Information Engineering, Zhangzhou City University, Zhangzhou 363000, China;

2.College of Electromechanical Engineering, Sanming University, Sangming 365004,China)

Abstract：The study of vector non-diffracting beam with both the polarization and scalar non-diffracting beam properties is of great significance. It is shown that the intensity of vector non-diffracting beam is theoretically generated in free space using the Collins formula, which is to lay a theoretical foundation of the research on self-reconstructing phenomenon.

Key words：vector; non-diffraction; radially polarized; azimuthally polarized; intensity

DOI:10.3969/j.issn.2095-7386.2015.02.018

文章編號(hào)：2095-7386(2015)02-0079-04

作者簡介：蔡龍飛(1979-)，男，工程師，E-mail: 9864191@qq.com.

收稿日期：2014-10-24.修回日期：2015-03-23.

中圖分類號(hào)：O 436

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A