胡秋明，王景剛，鮑玲玲，羅景輝

基于數(shù)值分析法的實驗測試數(shù)據(jù)的處理及分析

胡秋明，王景剛，鮑玲玲，羅景輝

(河北工程大學城市建設學院，河北 邯鄲 056038)

在實驗數(shù)據(jù)處理中分別運用最小二乘法和拉格朗日插值方法把得到的數(shù)據(jù)進行擬合，對比兩種擬合結果，結合兩者的優(yōu)勢，整合成一個新的擬合方程作為處理實驗數(shù)據(jù)的結果，并進行了實例驗證.驗證結果表明，運用這種改進的數(shù)值方法得到的結果更為精確，更適合實驗數(shù)據(jù)處理.

最小二乘法；拉格朗日插值法；實驗數(shù)據(jù)處理

1 引言

在生產(chǎn)實踐和科學研究工作中，為了探究某一現(xiàn)象的規(guī)律，經(jīng)常采用實驗的方法先得出實驗數(shù)據(jù)，然后經(jīng)過處理實驗數(shù)據(jù)得出變量之間的相互關系[1].其中實驗數(shù)據(jù)處理和分析用的較多的數(shù)值分析法是最小二乘法和拉格朗日插值法，這兩種數(shù)值分析法是運算簡便且應用廣泛的實驗結果表示方法[2].

劉遠社根據(jù)最小二乘法并結合微小誤差取舍準則，給出了合理擬合實驗數(shù)據(jù)的一般方法，該方法與傳統(tǒng)實驗數(shù)據(jù)擬合方法相兼容，但又有所改進和發(fā)展，并根據(jù)應用實例進行了演示和說明[3].張琦等用最小二乘法對傳感器的靜態(tài)實驗后所測得數(shù)據(jù)進行了處理和分析，并提出了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法[4].烏蘭針對化學工程手冊上給出離散數(shù)據(jù)的導熱系數(shù)的較大誤差，提出了采用拉格朗日插值法求準確度較高的導熱系數(shù)，并以苯為例，用拉格朗日插值法求得了苯在160℃比較準確的導熱系數(shù)，并認為該方法在解決傳熱過程中的導熱系數(shù)問題中可以廣泛應用[5].田垅等進一步對最小二乘法進行改進，提出一種新的分段直線擬合算法來代替多項式曲線擬合，以達到簡化數(shù)學模型的建立和減少計算的目的，使其能夠更好地對點序列進行擬合[6].縱觀這些研究，目前，還沒有相關文獻涉及到同時應用最小二乘法和拉格朗日插值法對實驗數(shù)據(jù)進行分析和處理，本文將結合這兩種方法對實驗數(shù)據(jù)進行處理.

2 最小二乘法和拉格朗日插值法

2.1 最小二乘法

所謂最小二乘法，便是使擬合得到的函數(shù)值和實驗得到的數(shù)據(jù)之間的誤差的平方和最小化來尋求在實驗數(shù)據(jù)基礎上的最佳匹配目標函數(shù)，運用最小二乘法能簡便地求得實驗以外的數(shù)據(jù)，同時使得到的數(shù)據(jù)和實際情況的數(shù)據(jù)之間誤差的平方和最小化[7].它還可以對實驗數(shù)據(jù)進行曲線擬合，但一般不能直接對所測實驗數(shù)據(jù)進行擬合，常常預先處理好實驗得到的數(shù)據(jù)，使之方便處理，然后化曲線回歸為直線回歸，得到擬合結果.關于最小二乘法的一般提法是[8]:對于得到的一組實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝0，1，…，m)，使得在函數(shù)空間中求得某一目標函數(shù)y＝S?(x)，使得它和實際數(shù)據(jù)之間的誤差平方和

這就是一般的最小二乘法擬合方法，換一種幾何語言的說法，稱為曲線擬合的最小二乘法[9].

然后根據(jù)各點的數(shù)據(jù)求出未知數(shù)，從而求得滿足條件的擬合曲線方程.

若實驗測點分布近似為拋物線，則可選擇二次函數(shù)作為擬合曲線.

以此類推，可得到各種擬合曲線方程類型[11].

2.2 拉格朗日插值法

一般都用目標函數(shù)y＝f(x)來表示實際問題中一些具有一定規(guī)律的相互關系，這些內(nèi)在關系大部分當是根據(jù)試驗或者直接觀察總結而得到的，這樣得到的只是某些點的值，只能稱之為函數(shù)表.但是在實際研究中往往需要由得出的函數(shù)表構建一個同時能符合函數(shù)表的數(shù)值和方便運用的目標函數(shù)，用它近似反映這些規(guī)律的關系，通常選用一些代數(shù)多項式作為近似函數(shù)，使它滿足給出的這系列點的值.這樣的代數(shù)多項式稱為插值多項式[12].拉格朗日插值法是一種簡便的擬合方法，利用這種方法構造的函數(shù)通常為多項式，使其恰好表示為在各個觀測的點取到觀測到的值[13].

定義為

2.3 結合方法

考慮利用最小二乘法和拉格朗日插值法的優(yōu)勢，得到一個更為精確的擬合曲線.分別用最小二乘法和拉格朗日插值法對實驗數(shù)據(jù)進行擬合，得到兩個多項式函數(shù)，取兩個多項式中相同未知數(shù)次數(shù)的系數(shù)平均值，即得到新的多項式.

例如，利用最小二乘法擬合得到的目標函數(shù)的多項式為

用拉格朗日插值法得到的目標函數(shù)多項式為

則結合方法得到的多項式為

3 應用實例

在實驗中測得鎢的輻射強度R與溫度T的數(shù)據(jù)如表1所示[15].

表1 測量實驗記錄Table 1 Experimental data

根據(jù)黑體的輻射規(guī)律，輻射強度與溫度遵循下面關系[16]:

表2 實驗數(shù)據(jù)處理Table 2 Processing and analysis of experimental data

①先用最小二乘法求它的擬合曲線.

在坐標紙上標出所給數(shù)據(jù)，如圖1所示

圖1 擬合曲線Fig.1 Fitting curve

根據(jù)圖1可以知道，實驗得到的點基本上都分布在一條直線的附近，所以可以考慮用一次線性函數(shù)作為目標函數(shù)的擬合曲線.令

即為所求.

②用拉格朗日插值法:

由表2可知，其滿足于拉格朗日一次插值函數(shù).

同此法，令實驗中的8組數(shù)據(jù)兩兩組合，共得到 C28＝28個線性函數(shù)解析式，如下表.

表3 解析式Table 3 Analytical formula

分別對上表中的解析式一次項系數(shù)和常數(shù)項求平均值得:

4 結論

利用最小二乘法和拉格朗日插值法對實驗數(shù)據(jù)進行處理，結合了兩者的優(yōu)點，得到了一個更為合適的擬合多項式.這種方法與傳統(tǒng)的實驗數(shù)據(jù)曲線擬合方法類似，但有所發(fā)展和改進，對以后的實驗數(shù)據(jù)處理和分析提供了一種新的思路.

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(責任編輯:付強，張陽，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

Processing and analysis of experimental data based on the numerical analysis

HU Qiu-m ing，WANG Jing-gang，BAO Ling-ling，LUO Jing-hui

(School of Urban Construction，Hebei University of Engineering，Handan 056038，P.R.C.)

Least squaresmethod and Lagrange interpolation method were used to fit experimental data，the fitting results were compared，their advantages were combined to integrate into a new fitting equation as experimental data processing results，and then example was taken to verify it.The results showed that this improved numericalmethod to analyze the experiment ismore accurate and suitable for processing experimental data.

least squaresmethod；Lagrange interpolationmethod；experimental data processing

O241

A

2095-4271(2015)03-0356-04

10.11920/xnmdzk.2015.03.017

2014-12-29

胡秋明(1990-)，男，漢族，湖南邵陽人，碩士研究生，研究方向:制冷與熱泵理論與技術.Email:huqiuming1990＠163.com.

王景剛(1962-)，男，漢族，山東海陽人，教授，博士研究生，研究方向:暖通空調(diào)清潔能源技術與能源高效轉換技術研究.Email:jinggangwang＠hebeu.edu.cn

國家自然科學基金資助項目(51408182)；河北省科技廳資助項目(14964206D-07)；邯鄲市科技計劃項目(1423109059 -8)。