鐘德鈺，張 磊，王光謙

(1.清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點實驗室，北京 100084;2.清華大學(xué)水利水電工程系，北京 100084;3.中國水利水電科學(xué)研究院，北京 100038;4.青海大學(xué)，西寧 810016)

1 泥沙運動力學(xué)的發(fā)展歷程

河流地貌的多樣性決定了水沙運動的多樣性。不同的地貌條件形成了不同的河流形態(tài)，例如游蕩河流、分叉河流、順直河流等。水沙的輸移特性對河流地貌的演化特征也有著直接的影響。因此可以說，泥沙的輸移與河流地貌的變化是密不可分的。事實上，泥沙運動的研究正起源于地貌學(xué)，泥沙運動力學(xué)是從地貌學(xué)特別是河流地貌學(xué)中分離出來的一個專門學(xué)科，其發(fā)展大致經(jīng)歷了地貌學(xué)中的沉積學(xué)、河流地貌學(xué)中的沉積與造床學(xué)這兩個早期過程;此后逐漸演變成水力學(xué)中的一個分支，即沖積水力學(xué)，該階段的代表性成果有Gilbert水槽試驗、Shields曲線、Rouse公式和Einstein輸沙函數(shù)等;最后隨著國內(nèi)外一系列經(jīng)典專著、教材的發(fā)表而完全從水力學(xué)中分離出來，形成了相對完整的泥沙學(xué)科體系［1］，代表性成果和著作包括Bagnold公式［2-3］、張瑞瑾等的《河流動力學(xué)》［4］、Yalin 的《River mechanics》［5］、韓其為和何明民合著的《泥沙運動統(tǒng)計理論》［6］、錢寧和萬兆惠合著的《泥沙運動力學(xué)》［7］、van Rijn的《Principles of sediment transport in rivers，estuaries and coastal seas》［8］、費祥俊的《漿體與粒狀物料輸送 水 力 學(xué) 》［9］、 Julien 的 《Erosion and sedimentation》［10］、邵學(xué)軍和王興奎合著的《河流動力學(xué)概論》［11］等。

在泥沙運動中，圍繞著泥沙顆粒的4種典型運動狀態(tài)(即靜止、起動、推移和懸浮)，學(xué)者們開展了大量的試驗和理論研究。研究內(nèi)容通常包括以下6個核心問題:①泥沙的物理屬性;②泥沙的沉降特性;③泥沙的起動;④推移質(zhì)泥沙的運動;⑤懸移質(zhì)泥沙的運動;⑥挾沙水流的速度分布。除此之外，泥沙運動力學(xué)的研究對象還包括泥石流運動、高含沙水流運動等，但這些問題均可看作以上6個核心問題的衍生問題。

由于泥沙運動的研究起源于地貌學(xué)，所以無論是理論上還是研究方法上，一定程度上都保留了地貌學(xué)的痕跡;另外，目前的理論也大量借鑒了流體力學(xué)的研究成果。根據(jù)已有的研究成果可以發(fā)現(xiàn)，泥沙顆粒的運動是一個跨尺度、多物理過程相耦合的復(fù)雜過程。但是，無論是上述哪一種研究方法，目前看來都無法準(zhǔn)確地描述出泥沙運動這一復(fù)雜過程的運動特征及其背后的力學(xué)機理。典型例子包括:描述挾沙水流流速的對數(shù)公式或?qū)?shù)尾流公式中，卡門系數(shù)和尾流函數(shù)難以確定;描述懸移質(zhì)濃度分布的Rouse公式中，無法給出泥沙擴散系數(shù)的理論表達式，只能根據(jù)試驗資料給出經(jīng)驗值。表1概括了傳統(tǒng)泥沙運動力學(xué)中幾個核心問題采用的理論方法及其局限性。由此可以看出，傳統(tǒng)泥沙運動力學(xué)中的理論尚難以準(zhǔn)確描述挾沙水流的運動特征。

表1 傳統(tǒng)泥沙運動力學(xué)中的理論方法和存在問題［1］

挾沙水流作為典型的兩相流運動，近年來，諸多學(xué)者包括 Drew［12］、McTigue［13］、Cao 等［14］、Greimann等［15-16］、Hsu 等［17］、Chauchat等［18］、Toorman［19］、Jha等［20］利用兩相流理論對挾沙水流的運動規(guī)律開展了大量的研究，取得了豐碩的研究成果。但是，兩相流理論中存在的問題是缺乏封閉河流水沙兩相流的紊流模型及參數(shù)系統(tǒng)。與工業(yè)兩相流相比，天然河流由于受到入流和邊界條件變化的影響，泥沙濃度和表征顆粒慣性大小的顆粒Stokes數(shù)的變化范圍極大，因此，工業(yè)兩相流的封閉模型無法直接應(yīng)用于水沙運動的研究。目前，挾沙水流兩相流理論中的紊流封閉仍然是一個尚待解決的難題。

歸納起來，傳統(tǒng)泥沙運動力學(xué)多是運用質(zhì)點運動力學(xué)或連續(xù)介質(zhì)力學(xué)開展研究;兩相流理論的理論基礎(chǔ)也是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。這兩種理論方法都有明顯的特點和相應(yīng)的局限性。質(zhì)點運動力學(xué)著眼于單個顆粒的受力和運動的分析，反映的是單個顆粒的運動屬性，不能全面反映顆粒群體的輸沙規(guī)律;連續(xù)介質(zhì)力學(xué)著眼于顆粒群體在較大尺度上的運動規(guī)律，能夠反映泥沙顆粒群的共同特征，但該理論中連續(xù)介質(zhì)化的處理模糊了顆粒屬性對泥沙輸移的影響。兩種理論方法的研究尺度相差較大，二者又缺少有機的聯(lián)系，因此，目前的理論難以全面、準(zhǔn)確地描述泥沙運動這種典型的跨尺度復(fù)雜運動過程。

考慮到以上問題，學(xué)者們嘗試以新的角度對泥沙運動開展研究。其中，動理學(xué)理論非常適合于跨尺度物理過程的研究。它是基于顆粒速度分布函數(shù)及其演化方程而產(chǎn)生，反映了顆粒在速度空間和幾何空間上出現(xiàn)的概率的變化過程，既能夠反映顆粒運動的個性，又能體現(xiàn)出顆粒運動的共同特征，對單個顆粒運動特性與顆粒群統(tǒng)計特性有極強的耦合能力［1］。因此，動理學(xué)理論在氣體分子運動領(lǐng)域［21］以及顆粒流領(lǐng)域［22］中得到了廣泛應(yīng)用。王光謙院士首次將動理學(xué)理論引入到泥沙運動的研究中來［23］，之后 包 括 Wang 等［24-25］、Zhong 等［26］、Fu 等［27］、Wang等［28］、Zhong 等［29-32］利用動理學(xué)理論對懸移質(zhì)泥沙濃度分布、泥沙顆粒的速度分布、懸移質(zhì)的輸沙機理、推移質(zhì)運動、沖刷率等問題進行了探索性研究，取得了一系列重要的研究成果。經(jīng)過近30年的努力，逐漸形成了泥沙運動的動理學(xué)理論體系，其專著《泥沙運動的動理學(xué)理論》［1］也已在今年出版。

2 兩相流的動理學(xué)方程

挾沙水流的動理學(xué)理論的最大特點是能夠重構(gòu)微觀運動特性與宏觀統(tǒng)計規(guī)律的缺失環(huán)節(jié)。理論核心在于如何將存在本質(zhì)差別的兩相體系的微觀動力學(xué)變量進行系綜平均，并給出其在相空間上的演化過程［1］。所謂系綜，是指在一定的宏觀條件下，大量性質(zhì)和結(jié)構(gòu)完全相同的、處于各種運動狀態(tài)的、各自獨立的系統(tǒng)的集合。但是，由于紊流條件下顆粒與攜帶其運動的流體的自由度并不相同，這會給兩相體系下的系綜帶來本質(zhì)性困難。為了解決該問題，下面對幾個核心難題給出了相應(yīng)的解決方法。

2.1 相空間上某點屬性的識別問題

在動理學(xué)理論中，確定顆粒運動狀態(tài)的坐標(biāo)系是由幾何空間坐標(biāo)x、速度空間坐標(biāo)v和時間坐標(biāo)t共同構(gòu)成的相空間(phase space)。但由于相空間上某點既有可能為顆粒占據(jù)，也有可能為流體所占據(jù)，因此，兩相流動中相空間上某一點(x，v，t)的屬性是不確定的。為了解決該難題，引入了所謂的“相指示函數(shù)”的概念［33］，其定義為

式中:Ωk為兩相或多相流系統(tǒng)中相k在空間上所占據(jù)的區(qū)域;DN為由N個粒子的位置向量和速度向量構(gòu)成的相空間。

2.2 自由度不同的問題

挾沙水流中泥沙顆粒運動的驅(qū)動力是水流作用，可以說水流運動是主導(dǎo)因素，泥沙運動是從屬運動。因此，系綜平均不能完全建立在顆粒的所有可能分布上，需要考慮水流的狀態(tài)分布。但是由于紊流流動的自由度遠大于顆粒自由度，這導(dǎo)致水沙兩相系統(tǒng)的系綜平均難以確定。為了解決該難題，筆者引入了“顆粒所見流體”的概念，它的含義是指直接接觸并影響顆粒運動的最小尺度的流體微團。這樣，使得固相顆粒與液相流體在自由度上保持了一致，進而可以進行系綜。

2.3 追蹤軌跡困難的問題

為了進行系綜平均，需要對顆粒的運動軌跡進行追蹤。但對大量泥沙顆粒的運動軌跡進行追蹤很難實現(xiàn)。為了解決該難題，筆者從研究顆粒運動軌跡轉(zhuǎn)換為研究顆粒狀態(tài)。如前文所述，確定顆粒運動狀態(tài)的坐標(biāo)系是由幾何空間坐標(biāo)x、速度空間坐標(biāo)v和時間坐標(biāo)t共同構(gòu)成的相空間。空間坐標(biāo)和速度都是自變量，這樣的處理極大地降低了系綜平均的難度。

解決了以上難題之后，基于統(tǒng)計力學(xué)的Liouville方程，經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以得到動力學(xué)特性變量ψk滿足的動理學(xué)方程，即

式中:Pk為k相的概率密度函數(shù);vk為k相的速度;為k相的加速度;Dk/Dt為k相的全導(dǎo)數(shù)反映的是某相生滅導(dǎo)致的變化，可理解為相變［1］。特殊地，當(dāng)ψk=1時，方程(2)可以簡化為

式(3)即為兩相流的動理學(xué)方程(kinetic equation for two-phase flows)。

3 挾沙水流的宏觀描述

3.1 宏觀控制方程

基于前文在介觀尺度上的動理學(xué)方程，對變量ψk=ρk和ψk=ρkvk在速度空間上進行積分，即可得到挾沙水流的動力學(xué)方程，即質(zhì)量和動量守恒方程，其表達式分別為［1］

式中:ρk為k相的密度;αk為k相的體積分?jǐn)?shù);其他變量含義見文獻［1］。

從式(4)和(5)可以看出，基于動理學(xué)方程得到的宏觀守恒方程與基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)得到的方程形式是相似的。不同的是，筆者得到的控制方程能夠反映微觀動力學(xué)特性在宏觀尺度上的系綜性質(zhì)，這一特點至關(guān)重要。

3.2 應(yīng)用簡介

在理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，筆者對泥沙運動的幾個關(guān)鍵問題開展了探索性研究，包括顆粒與床面間的相互作用、床面泥沙的沖刷率、推移質(zhì)輸沙率以及懸移質(zhì)輸沙的運動特性，得到了一系列的研究成果，下面進行簡單的介紹。

3.2.1 顆粒與床面間的相互作用

在動理學(xué)理論中，顆粒速度分布函數(shù)是其核心。通過求解動理學(xué)方程可以得到速度分布函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，對顆粒與床面碰撞過程中的動量變化進行積分，即可得到垂向應(yīng)力和切向應(yīng)力的表達式，進而可以得到衡量碰撞過程中動量交換強度大小的碰撞摩擦因數(shù)的理論表達式。在不同狀態(tài)下得到的結(jié)果如下:

式中:μ為碰撞摩擦因數(shù);μ0為靜摩擦因數(shù);β0和e分別為碰撞過程中的切向恢復(fù)系數(shù)和垂向恢復(fù)系數(shù);ν為顆粒的體積分?jǐn)?shù);r為無量綱化的碰撞接觸點的速度大小;Stc為顆粒的慣性指數(shù)。式(6)～(8)中其他物理量符號含義以及公式的具體推導(dǎo)過程詳見文獻［34］。

碰撞摩擦因數(shù)的理論值與實測值和數(shù)值模擬結(jié)果的對比如圖1所示。從圖1可以看出，理論計算與試驗資料與模擬結(jié)果吻合較好。

圖1 碰撞摩擦系數(shù)理論計算值與實測值及數(shù)值模擬結(jié)果的對比

3.2.2 床面泥沙的沖刷率

利用速度分布函數(shù)求解得到的沖刷率的表達式［29］如下:

式中:φp為無量綱化的沖刷率;E為沖刷量;g為重力加速度;D為顆粒粒徑;αˉpm為床沙極限濃度;p為床沙起動概率;ζ為顆粒溫度與摩阻流速的比例系數(shù);CD為顆粒的阻力系數(shù);ρp和ρf分別為固相泥沙顆粒和液相水流的密度;θ為shields數(shù);θL為與上舉力有關(guān)的參數(shù)。

床面沖刷率理論值與試驗值的對比如圖2所示。從圖2可以看出，理論值與試驗值相吻合。

圖2 床面沖刷率理論值與試驗值的對比［29］

3.2.3 推移質(zhì)輸沙率

在得到?jīng)_刷率的表達式后，基于Einstein［40］建立的推移質(zhì)輸沙函數(shù)，可以進一步得到基于動理學(xué)理論的推移質(zhì)輸沙率公式［31，43］，即

式中:Φ為推移質(zhì)輸沙率;λ和δ分別為顆粒的單步躍移距離和躍移高度。其他物理量符號含義參見文獻［31］。

式(10)計算值與試驗資料以及經(jīng)典推移質(zhì)輸沙率公式計算值的對比結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出，無論輸沙強度高低，式(10)計算值與其他文獻中試驗資料均吻合較好。尤其是在高輸沙強度條件下，該公式從理論上解決了Einstein公式計算值遠小于實測值的問題。

圖3 式(10)計算值與其他推移質(zhì)輸沙率公式計算值及試驗資料的對比

3.2.4 懸移質(zhì)輸沙的運動特性

在泥沙運動力學(xué)中，不僅要關(guān)注各相的運動差異性，同時也需要分析由兩者共同構(gòu)成的水沙整體的運動特征。因此，筆者在宏觀守恒方程的基礎(chǔ)上建立了兩相渾水方程以及彌散速度的本構(gòu)模型［30，32，44］。將該模型應(yīng)用于充分發(fā)展的二維明渠均勻流中，得到的懸移質(zhì)濃度分布代表性成果如圖4所示。圖4中橫坐標(biāo)為泥沙濃度;縱坐標(biāo)y/h為河床的距離y與水深h的比值;S1-S5和S11-S16分別表示 Einstein等［45］試驗中的粗沙和細(xì)沙組次。為了對比分析，圖中同樣給出了經(jīng)典的Rouse公式的計算結(jié)果。從圖4可以看出，基于兩相渾水方程和彌散速度本構(gòu)模型得到的理論計算結(jié)果能夠與試驗觀測值保持一致。

圖4 懸移質(zhì)泥沙濃度理論值與Einstein等［45］實測值及Rouse公式計算值的對比

在得到濃度分布的同時，還可以得到渾水速度的分布，進而得到單相的速度大小。已有代表性成果如圖5所示，圖中u*為摩阻流速;νf為水流運動黏性系數(shù);vkx為渾水中k相在x方向上的速度。從圖5可以看出，本文理論值與試驗值符合較好，并且隨著y的減小，泥沙顆粒的滯后速度有逐漸增大的趨勢。

圖5 挾沙水流中各相速度的理論值與試驗值的對比［32］

從上述研究成果可以看出，由于泥沙運動的動理學(xué)理論能夠反映泥沙運動的最基本動力學(xué)特性及其系綜規(guī)律，所以得到的描述泥沙運動的宏觀方程與試驗結(jié)果具有較好的一致性。這也說明泥沙運動的動理學(xué)理論能夠揭示泥沙運動背后隱藏的力學(xué)機理，是泥沙研究將來可能取得突破性進展的理論方法之一。

4 泥沙研究的未來發(fā)展趨勢

為了更好地了解該學(xué)科的發(fā)展趨勢，筆者以“bedload or suspended load”為關(guān)鍵詞，在 ISI(Institute for Scientific Information)數(shù)據(jù)庫(網(wǎng)址:http://apps.webofknowledge.com)中檢索符合主題要求、時間要求的出版物，運用文獻計量統(tǒng)計法對近2000篇文章從文章數(shù)量、發(fā)表期刊、學(xué)科分類、國家等角度進行了統(tǒng)計分析，結(jié)果如圖6～8以及表2所示。從圖6可以看出，泥沙運動力學(xué)的基本研究框架形成于20世紀(jì)80年代，此后大量研究成果被發(fā)表。目前來看，每年發(fā)表的文章數(shù)量一直保持著持續(xù)增長的趨勢，這也說明泥沙研究仍然保持著強勁的生命力。

圖6 1900—2010年泥沙研究文章數(shù)量隨年份的變化關(guān)系

圖7 發(fā)文量居前4位期刊的文章數(shù)量逐年變化曲線

圖8 發(fā)文量居前7位的學(xué)科的文章數(shù)量逐年變化曲線

圖7給出了發(fā)文量居前4位的期刊的文章數(shù)量逐年變化趨勢?？梢钥闯觯陙?，在《Geomorphology》和《Earth Surface Processes and Landforms》上發(fā)表的文章數(shù)量呈現(xiàn)增長的趨勢，說明泥沙運動與地貌、生態(tài)環(huán)境等交叉學(xué)科的研究成為了學(xué)者們關(guān)注的熱點，而在主流期刊《Journal of Hydraulic Engineering》和《Water Resources Research》上發(fā)表的文章數(shù)量有所減少。類似地，筆者同樣給出了學(xué)科分類的統(tǒng)計結(jié)果(圖8)。從圖8可以看出，交叉學(xué)科的研究呈現(xiàn)出蓬勃發(fā)展的態(tài)勢，這與期刊的統(tǒng)計結(jié)果是一致的。

表2給出了不同國家發(fā)表文章的統(tǒng)計結(jié)果，以此來了解全世界范圍內(nèi)不同國家在泥沙研究方面的活躍程度。結(jié)果表明，美國學(xué)者發(fā)表的文章約占總數(shù)的1/3，英國占22.50%，這兩個國家是目前泥沙研究的強國。與這些國家相比，中國僅排在第11位，文章數(shù)量約為60篇，可以說中國是泥沙研究的大國，但不是強國，后續(xù)還需要泥沙研究工作者的不斷努力。

表2 不同國家發(fā)表的文章數(shù)量統(tǒng)計結(jié)果

5 結(jié)語

泥沙運動力學(xué)起源于地貌學(xué)，經(jīng)過近百年的發(fā)展，逐漸成為了一個相對完整的學(xué)科體系。由于泥沙運動是一個跨尺度、多物理過程相互耦合的復(fù)雜過程，目前對泥沙運動的力學(xué)機理認(rèn)識還不夠深入，需要開展進一步的研究。動理學(xué)理論作為研究跨尺度問題的有力工具，經(jīng)過近30年的探索和研究，初步的研究成果表明該理論能夠突破尺度的制約，可以揭示泥沙運動背后隱藏的力學(xué)機理，是泥沙研究中將來可能取得突破性進展的理論方法之一。

通過利用文獻計量法對近 2000篇以“bedload or suspended load”為關(guān)鍵詞的文章進行統(tǒng)計分析，了解泥沙研究的未來發(fā)展趨勢。結(jié)果表明，泥沙學(xué)科仍然表現(xiàn)出強勁的生命力，尤其是與地貌、生態(tài)環(huán)境等多學(xué)科交叉的研究呈現(xiàn)出蓬勃發(fā)展的趨勢。但與美國、英國等發(fā)達國家相比，目前中國在泥沙研究方面相對落后，需要更多泥沙工作者不斷努力，進一步提高我國泥沙研究的水平。

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