杜文雄，唐普英，王舒冰，張思曼

（電子科技大學(xué) 光電信息學(xué)院，四川 成都 610054）

基于有限元模型的三維集成電路熱分析

杜文雄，唐普英，王舒冰，張思曼

（電子科技大學(xué) 光電信息學(xué)院，四川 成都 610054）

基于有限元理論，對(duì)三維集成電路（3D-IC）進(jìn)行了建模和仿真，研究了不同模型的熱分布和計(jì)算復(fù)雜度。通過(guò)Gmsh軟件創(chuàng)建3D-IC模型并生成網(wǎng)格化文件。利用Matlab軟件提取有限元參數(shù),獲到模型的剛度矩陣。用層次矩陣(Hierarchical matrix,H-matrix)表示剛度矩陣，得到了不同模型剛度矩陣的求逆所消耗的存儲(chǔ)空間和運(yùn)算時(shí)間。結(jié)果表明：隨著模型剛度矩陣行列數(shù)目的增加，所需要的運(yùn)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間呈現(xiàn)線性變化關(guān)系。

Gmsh；H-matrix；三維集成電路；有限元熱分析；剛度矩陣

自1947年第一個(gè)半導(dǎo)體晶體管的發(fā)明，到1958年采用硅平面工藝的集成電路的誕生，半導(dǎo)體集成電路一直遵循著摩爾定律高速發(fā)展。隨著集成電路技術(shù)的持續(xù)發(fā)展，在單一芯片上集成更多的資源已面臨著重要的挑戰(zhàn)。三維集成電路(3D-IC)技術(shù)被視為延續(xù)摩爾定律的有效技術(shù)之一，它可以改善整個(gè)集成電路系統(tǒng)的功耗，提高器件的集成度。硅孔道(Through Silicon Via,TSV)是3D-IC中堆疊芯片實(shí)現(xiàn)互聯(lián)的一種新的解決方案。

1)集成電路熱分析的意義

一個(gè)集成電路實(shí)際上是由電學(xué)子系統(tǒng)和熱學(xué)子系統(tǒng)共同組成，兩個(gè)系統(tǒng)互相耦合：電學(xué)元件的功耗作為熱學(xué)網(wǎng)絡(luò)的熱源，而熱學(xué)網(wǎng)絡(luò)中不同溫度值作為參數(shù)會(huì)影響電學(xué)系統(tǒng)中元器件及其性能。隨著元器件密度，工作速度以及集成電路規(guī)模的不斷增加，集成電路的能耗密度也越來(lái)越大，導(dǎo)致片上溫度越來(lái)越高。如果不考慮集成電路的熱分布問題，電路設(shè)計(jì)和布局布線就有可能不合理而導(dǎo)致集成電路溫度過(guò)高以及器件之間溫度梯度過(guò)大[1]。因此，為保證電路性能和可靠性的要求，有必要在集成電路制造之前對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的熱分析。

2)3 D-IC的優(yōu)點(diǎn)和技術(shù)挑戰(zhàn)

3D-IC的優(yōu)點(diǎn)：①提高封裝密度。多層器件重疊結(jié)構(gòu)可成倍提高芯片集成度。②提高電路工作速度。重疊結(jié)構(gòu)使單元連線縮短，并使并行信號(hào)處理成為可能，從而實(shí)現(xiàn)電路的高速操作。③可實(shí)現(xiàn)新型多功能器件及電路系統(tǒng)。

3D-IC面臨技術(shù)的挑戰(zhàn)：①散熱問題：由于電路系統(tǒng)擁有了更高的集成度，熱功耗也隨之提升，表面積與體積比隨之下降，傳統(tǒng)的平面散熱技術(shù)不再能滿足立體集成電路的散熱要求。②測(cè)試問題：傳統(tǒng)測(cè)試技術(shù)只針對(duì)單層系統(tǒng)，而未提供針對(duì)多層芯片集成之后的整體系統(tǒng)測(cè)試技術(shù)。③制作工藝復(fù)雜，成本較高[2-3]。

3)本文的主要工作和意義

國(guó)外在3D-IC的熱模擬方面已進(jìn)行了一些研究工作。國(guó)內(nèi)在這方面的報(bào)道很少，多是綜述性的文章，蘇州大學(xué)的李文石等人對(duì)二維和三維集成電路的熱阻進(jìn)行了計(jì)算[4]。胡輝勇等人提出了一種基于 Si和SiGe材料的三維CMOS集成電路,與 Si三維 CMOS結(jié)構(gòu)相比，該電路結(jié)構(gòu)具有明顯的速度優(yōu)勢(shì)[5]。

本文通過(guò)對(duì)含TSV的3D-IC進(jìn)行建模和仿真，研究不同模型的熱分布、存儲(chǔ)空間復(fù)雜度和運(yùn)算時(shí)間復(fù)雜度。仿真結(jié)果對(duì)3D-IC的設(shè)計(jì)有指導(dǎo)作用。

1 基于有限元理論的熱模型

有限元分析是使用有限元方法來(lái)分析靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的物理物體或物理系統(tǒng)。在這種方法中一個(gè)物體或系統(tǒng)被分解為由有限多個(gè)相互聯(lián)結(jié)的、簡(jiǎn)單、獨(dú)立的點(diǎn)組成的幾何模型。實(shí)際的物理模型中推導(dǎo)出來(lái)的平衡方程式被使用到每個(gè)點(diǎn)上，由此產(chǎn)生了一個(gè)方程組。這個(gè)方程組可以用線性代數(shù)的方法來(lái)求解。有限元分析的基本流程：1)節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元?jiǎng)澐帧?)計(jì)算各單元的單元?jiǎng)偠确匠獭?)組裝各單元?jiǎng)偠确匠獭?)處理邊界條件并求解[6]。

有限元熱分析基于能量守恒原理的熱平衡方程,用有限元法計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的溫度。下面僅介紹系統(tǒng)的溫度場(chǎng)不隨時(shí)間變化的穩(wěn)態(tài)熱傳遞。

傳熱現(xiàn)象由傅里葉定律決定，即物體的瞬態(tài)溫度場(chǎng)T(x, y,z,t)應(yīng)滿足以下方程：

其中ρ為材料密度kg/m3；CT為材料比熱(J/(kg·K)）；k是熱傳導(dǎo)系數(shù)（W/(m·K)）；g為物體內(nèi)部的熱量產(chǎn)生率（W/m3）。

考慮方程服從第三類邊界條件，即：

其中ni為邊界外法線的方向余弦；hi為物體與周圍介質(zhì)的熱交換系數(shù)（W/(m2·K)）；Ta為環(huán)境溫度。對(duì)于絕熱系統(tǒng)（系統(tǒng)與外界環(huán)境無(wú)熱交換），hi=0。一般情況下，對(duì)于不同物質(zhì)材料和溫度，熱傳導(dǎo)系數(shù)k不同。不失一般性，假設(shè)對(duì)于每一種材料，k是一個(gè)常數(shù)。因此，(1)式就可以寫成：

滿足下面的邊界條件：

初始溫度T=T0，q為在邊界S2上的給定熱流量，h為物體與周圍介質(zhì)的熱交換系數(shù)。運(yùn)用有限元熱分析方法求解(3)式。通過(guò)在對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)添加相關(guān)數(shù)值，可以得到下面方程來(lái)表示整個(gè)區(qū)域。

其中f是整個(gè)區(qū)域的溫度載荷，C是比熱矩陣，G是剛度矩陣?？紤]穩(wěn)態(tài)問題，即溫度不隨時(shí)間變化。

因此，(7)式可以改寫為：

若求出剛度矩陣G的逆矩陣G-1，就可以得到整個(gè)模型的熱分布T。

2 Gm sh和H-matrix概述

2.1 Gm sh

Gmsh[7]軟件是一個(gè)帶有內(nèi)置在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和后期處理器的自動(dòng)三維有限元網(wǎng)格生成器。Gmsh有4個(gè)模塊：幾何模塊，網(wǎng)格化模塊，Solver模塊，后處理模塊。

1)幾何模塊

Gmsh軟件通過(guò)邊界表示法來(lái)描述幾何實(shí)體。通過(guò)定義點(diǎn)、有向曲線、有向曲面、體，自下而上的創(chuàng)建模型。基于這些基礎(chǔ)的幾何實(shí)體可以定義幾何實(shí)體組。Gmsh軟件的程序描述語(yǔ)言允許所有的幾何實(shí)體通過(guò)完整的參數(shù)定義來(lái)表示。

2)網(wǎng)格化模塊

有限單元網(wǎng)格化將給定的模型細(xì)分。網(wǎng)格的生成與幾何模型的創(chuàng)建一樣是自下而上的。首先細(xì)分曲線，網(wǎng)格化的曲線被用于網(wǎng)格化曲面，網(wǎng)格化的曲面被用于網(wǎng)格化體。在這個(gè)過(guò)程中，網(wǎng)格化的實(shí)體僅僅被網(wǎng)格化的邊界所限制，這樣可以保證網(wǎng)格化的一致性。

3)Solver模塊

外部解決器可以通過(guò)Unix或者傳輸控制協(xié)議及網(wǎng)際協(xié)議與Gmsh相連接，允許修改Solver參數(shù)，啟動(dòng)外部計(jì)算，處理直接從Gmsh后處理模塊得到的結(jié)果。

4)后處理模塊

Gmsh可以加載和操縱多個(gè)后處理標(biāo)量、矢量或張量映射。標(biāo)量場(chǎng)由等值線（面）或者顏色圖表示，而矢量場(chǎng)由三維箭頭或者位移圖表示。后處理功能包括部分計(jì)算,補(bǔ)償，正面圖，邊界，組件提取，彩色圖，范圍修改，動(dòng)畫，矢量圖形，輸出等。所有后處理選項(xiàng)都可以通過(guò)交互界面或者輸入腳本文件來(lái)存取。腳本文件允許所有后處理操作自動(dòng)化，用戶定義的操作也可以進(jìn)行后處理。

2.2 H-matrix

H-matrix[8](Hierarchical matrix)，其方法主要目的是使矩陣運(yùn)算滿足線性復(fù)雜度。將一個(gè)高維的復(fù)雜矩陣分層，得到的許多矩陣子集又分解為行列數(shù)更低的矩陣，通過(guò)模型的幾何網(wǎng)格化信息，建立大塊的簇樹。H-matrix可以沒有任何誤差地表示剛度矩陣。一個(gè)H-matrix H∈CI×I通常與一個(gè)可采納條件相關(guān)聯(lián)，其中I={i1,i2,...,in}包含整個(gè)有限元模型的形狀函數(shù)φi和節(jié)點(diǎn)信息。子矩陣Ht×s可以通過(guò)因式分解表示為Ht×s≈ABT，其中A是一個(gè)t×k矩陣，B是一個(gè)s×k矩陣。為了構(gòu)建合理的H矩陣結(jié)構(gòu)，基于有限元模型幾何信息構(gòu)建的簇樹TI×I是必須的。應(yīng)用大塊的簇樹構(gòu)造算法，整體模型的剛度矩陣G就可以沒有任何誤差地用H-matrix表示。在確定一定精度下，可以用H-matrix表示剛度矩陣的逆矩陣。

3 建模與仿真

本文的建模與仿真是在Intel i5處理器和4 GB內(nèi)存的仿真環(huán)境下進(jìn)行的。

3.1 Gm sh創(chuàng)建含TSV的三維集成電路模型

通過(guò)Gmsh軟件創(chuàng)建了含有一個(gè)TSV的3D-IC模型（如圖1所示）。該模型包括：熱沉，集成電路塊IC1和IC2，TSV，焊球和襯底。其中TSV實(shí)現(xiàn)垂直互聯(lián)。

圖1 未網(wǎng)格化的3D-IC模型Fig.1 3D-IC model without grids

3.2 M atlab軟件提取有限元參數(shù),得到剛度矩陣

由上述基于有限元理論的熱模型，利用Matlab軟件提取Gmsh建模的有限元參數(shù)，得到剛度矩陣。圖2是6233行(列)數(shù)目的剛度矩陣截圖。

圖2 6233行（列）數(shù)目剛度矩陣Fig.2 Stiffness matrix with line(column)6233

3.3 可視化的三維集成電路模型熱分布

設(shè)初始溫度為T0=300 K，模型的熱量分布從300～339 K，其中熱源在集成電路塊IC2。圖3～圖5分別表示行（列）數(shù)目為4504、5440、6233的剛度矩陣對(duì)應(yīng)模型的熱分布圖。

圖3 4504行(列)數(shù)目剛度矩陣對(duì)應(yīng)模型熱分布Fig.3 The thermal distribution of stiffness matrix with line(column) 4504 corresponding to the model

圖4 5440行(列)數(shù)目剛度矩陣對(duì)應(yīng)模型熱分布Fig.4 The thermal distribution of stiffness matrix with line(column) 5440 corresponding to the model

圖5 6233行(列)數(shù)目剛度矩陣對(duì)應(yīng)模型熱分布Fig.5 The thermal distribution of stiffness matrix with line(column) 6233 corresponding to the model

3.4 不同模型剛度矩陣求逆的計(jì)算復(fù)雜度

對(duì)行(列)數(shù)較大的矩陣求逆是很耗時(shí)的，因此模型的計(jì)算復(fù)雜度主要體現(xiàn)在剛度矩陣求逆所消耗的存儲(chǔ)空間和運(yùn)算時(shí)間。表1列出了不同行(列)數(shù)目剛度矩陣求逆耗費(fèi)的存儲(chǔ)空間和運(yùn)算時(shí)間。

表1 不同模型剛度矩陣求逆耗費(fèi)的存儲(chǔ)空間和運(yùn)算時(shí)間Tab.1 Different model stiffness matrix inversion cost of storage space and computing time

進(jìn)一步分析表1中的數(shù)據(jù)，分別用圖6和圖7表示對(duì)應(yīng)的存儲(chǔ)空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度。

圖6 求解剛度矩陣的逆耗費(fèi)的存儲(chǔ)空間Fig.6 To solve the stiffness matrix of the inverse cost of storage space

4 結(jié)果分析

對(duì)上述仿真結(jié)果進(jìn)行分析，得到以下結(jié)論：

1)圖3至圖5較好地體現(xiàn)了模型的熱分布。

2)圖6表明：對(duì)剛度矩陣求逆所需的存儲(chǔ)空間隨剛度矩陣行(列)數(shù)目的增加呈線性變化關(guān)系。

3)圖7表明：對(duì)剛度矩陣求逆所需的運(yùn)算時(shí)間隨剛度矩陣行(列)數(shù)目的增加呈線性變化關(guān)系。

圖7 求解剛度矩陣的逆耗費(fèi)的CPU運(yùn)算時(shí)間Fig.7 To solve the stiffness matrix of the inverse consuming CPU operation time

5 結(jié)論

通過(guò)Gmsh軟件創(chuàng)建三維集成電路模型并生成網(wǎng)格化文件，利用Matlab軟件提取有限元參數(shù),得到剛度矩陣，利用層次矩陣(H-matrix)表示剛度矩陣。獲得了不同模型的熱分布圖，得到了不同模型剛度矩陣求逆所消耗的存儲(chǔ)空間和運(yùn)算時(shí)間。進(jìn)一步分析表明，隨剛度矩陣行列數(shù)目的增加，求對(duì)應(yīng)逆矩陣所需的運(yùn)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間呈線性變化關(guān)系。仿真結(jié)果對(duì)三維集成電路的設(shè)計(jì)有指導(dǎo)作用。

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3D-IC thermal analysis based on the finite element model

DU Wen-xiong,TANG Pu-ying,WANG Shu-bing,ZHANG Si-man
（School of Optoelectronic Information,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 610054,China）

Three-dimensional integrated circuit(3D-IC)was modeled and simulated based on the finite element model.The thermal distribution and the computation complexity for different model were studied.The 3D-IC models were created and the mesh files were generated by Gmsh.The finite element parameters were extracted and the stiffness matrices were obtained using Matlab.The stiffness matrix was represented by the hierarchical matrix(H-matrix).The storage space and computing time in?solving inverse matrix of stiffness matrix were generated for different model.The results show that the computation time and the storage space for solving different complexity of 3D-IC model present linear relationship as the increase of the number of the stiffness matrix ranks.

Gmsh;H-matrix;3D-IC;finite element thermal analysis;stiffness matrix

TN407

A

1674－6236（2015）10-0079-04

2014-09-24 稿件編號(hào)：201409210

杜文雄(1993—)，男，四川廣安人。研究方向：電子技術(shù)。