周 延 李佳斌

(華東師范大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院、國(guó)際金融與風(fēng)險(xiǎn)管理研究中心，上海，200241)

一、引言

人口的快速老齡化，導(dǎo)致老年人養(yǎng)老問題的解決刻不容緩。而養(yǎng)老問題的解決無外乎三種模式，即社會(huì)養(yǎng)老、子女養(yǎng)老及自我養(yǎng)老。社會(huì)養(yǎng)老主要指以政府為代表的社會(huì)機(jī)構(gòu)提供的養(yǎng)老服務(wù)，如政府提供的養(yǎng)老金、開辦的養(yǎng)老院等;子女養(yǎng)老主要指?jìng)鹘y(tǒng)的、依靠子女提供的家庭養(yǎng)老服務(wù);自我養(yǎng)老，即老年人通過使用儲(chǔ)蓄、購買商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)或者出租、抵押不動(dòng)產(chǎn)等方式自行提供的養(yǎng)老服務(wù)。然而，養(yǎng)老金增長(zhǎng)緩慢與快速上漲的物價(jià)和高昂醫(yī)療費(fèi)用之間的矛盾，使得單純依靠政府養(yǎng)老的模式短時(shí)間內(nèi)只能成為一種美好的向往。另外，實(shí)行多年的計(jì)劃生育政策催生了大量“421”家庭，加之社會(huì)競(jìng)爭(zhēng)壓力加大，傳統(tǒng)的“養(yǎng)兒防老”模式也已不現(xiàn)實(shí)。大量老年人，尤其是農(nóng)村老年人口，傾其一生的積蓄，大多無力自行支撐起老年階段的衣、食、住、行，尤其是高昂醫(yī)療費(fèi)用的開支。

因此，對(duì)大多數(shù)老年人來說，割裂社會(huì)養(yǎng)老、子女養(yǎng)老及自我養(yǎng)老三者之間的關(guān)系，單純依靠任何一種養(yǎng)老模式均無法解決養(yǎng)老問題。本文嘗試將社會(huì)養(yǎng)老、子女養(yǎng)老及自我養(yǎng)老三者通盤考慮，建立三位一體的綜合養(yǎng)老模式，運(yùn)用完全理性人假設(shè)，通過構(gòu)建聯(lián)系動(dòng)態(tài)博弈模型，深入探討動(dòng)態(tài)博弈過程中各參與主體的博弈行為，并引入約束機(jī)制以改變博弈方的某些行為，從而達(dá)到總體效用最優(yōu)，為解決養(yǎng)老問題提供借鑒。

二、文獻(xiàn)評(píng)述

最先出現(xiàn)人口老齡化的是西方發(fā)達(dá)的工業(yè)化國(guó)家，因此，國(guó)外學(xué)者涉獵養(yǎng)老問題研究較早。與中國(guó)傳統(tǒng)“養(yǎng)兒防老”不同，西方養(yǎng)老模式更多的選擇社會(huì)養(yǎng)老和老年人的自我養(yǎng)老。JasonL.Powell(2011)認(rèn)為，為了更好地滿足不同老年人的生活需要，社會(huì)養(yǎng)老服務(wù)應(yīng)該充滿個(gè)性化;而這種個(gè)性化的養(yǎng)老服務(wù)將更多地吸引老年人的參與，同時(shí)促使老年人根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇適合自己的養(yǎng)老服務(wù)以節(jié)約社會(huì)養(yǎng)老服務(wù)的成本。［1］自我養(yǎng)老方面，反向抵押貸款是解決這一問題的有效途徑之一。

ClarenceC.Rose(2009)研究了反向抵押貸款作為老年人退休以后可獲得收入來源的有效性:他認(rèn)為對(duì)于那些“資產(chǎn)富人、現(xiàn)金窮人”的老年人來說是一個(gè)非常合適的自我養(yǎng)老計(jì)劃，［2］這和ChristopherandKaterina(1994)的研究結(jié)果有異曲同工之效。而且，年收入不足3萬美元，房產(chǎn)殘值介于10萬美元～20萬美元，年齡在70歲及以上的人群最適合利用住房反向抵押貸款來保障養(yǎng)老水平。［3］

養(yǎng)老模式的選擇與老年人的健康結(jié)果有密切關(guān)系。Zunzunegui(2001)的研究發(fā)現(xiàn)，控制了年齡、性別、受教育年限等因素之后，來自子女的感情支持和物質(zhì)支持(包括家務(wù)、財(cái)務(wù)支持等)與自評(píng)健康顯著相關(guān)，喪偶后與子女合住的人要比喪偶后獨(dú)居的人健康狀況更好。［4］在51-61歲的美國(guó)中老年人中，養(yǎng)老模式和自評(píng)健康、死亡率、憂郁癥之間存在明顯的依存關(guān)系，無論單獨(dú)居住、還是與子女合住的已婚夫婦都是最健康的，單身婦女健康狀況最不好(Hughes＆Waite，2002)，［5］與他人同居的中老年人的死亡率顯著低于獨(dú)居者(Lund＆Due，2002)。［6］由此可見，即使社會(huì)或者政府能夠完全包攬老年人的養(yǎng)老問題，但完全離開家人的呵護(hù)、精神支持和情感交流，會(huì)大大降低老年人的幸福指數(shù)，損害老年人的健康，只有力爭(zhēng)將政府、子女、老年人個(gè)人三因素形成合力，才有利于老年人的健康長(zhǎng)壽，這也是本文提出三位一體綜合養(yǎng)老模式的初衷。

隨著老齡化逐漸深入，養(yǎng)老模式問題引起了我國(guó)學(xué)者的廣泛關(guān)注。穆光宗(1999)認(rèn)為養(yǎng)老涉及三個(gè)方面，即經(jīng)濟(jì)或物質(zhì)的供養(yǎng)、生活照料與精神慰藉。根據(jù)這三方面“養(yǎng)老支持力”的來源，至少在理論上我們可以嘗試將養(yǎng)老模式區(qū)分為三種，即家庭養(yǎng)老、社會(huì)養(yǎng)老、自我養(yǎng)老。［7］劉彤(2012)介紹了家庭養(yǎng)老、機(jī)構(gòu)養(yǎng)老以及社區(qū)居家養(yǎng)老三種模式，并認(rèn)為我國(guó)應(yīng)建立多元化、多渠道的相互融合、協(xié)調(diào)一致的社會(huì)養(yǎng)老大系統(tǒng)。［8］但也有學(xué)者認(rèn)為，中國(guó)目前的養(yǎng)老模式仍然以家庭養(yǎng)老為主(陳晶，李丹，2012)，［9］發(fā)展以家庭養(yǎng)老為主的綜合性社區(qū)養(yǎng)老服務(wù)體系，提高老人的經(jīng)濟(jì)收入是實(shí)現(xiàn)“健康老齡化”的保證(鄧穎，李寧秀，2003)，［10］且對(duì)家庭養(yǎng)老與機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的養(yǎng)老成本及效用進(jìn)行分析，認(rèn)為機(jī)構(gòu)養(yǎng)老成本比家庭養(yǎng)老成本高，應(yīng)大力發(fā)展以家庭養(yǎng)老為主的綜合性社區(qū)養(yǎng)老服務(wù)(鄧穎，吳先萍，李寧秀，2004)。［11］

崔麗娟、徐碩和王小慧(2000)就老年人的養(yǎng)老觀念與養(yǎng)老模式的選擇做了調(diào)查研究，認(rèn)為老年人“養(yǎng)兒防老”的觀念正在發(fā)生轉(zhuǎn)變，不再認(rèn)為一定要與子女住在一起安度晚年才能幸福。［12］宋一君(2009)探討了不同人群對(duì)養(yǎng)老模式的選擇。研究結(jié)果顯示，女性受教育程度低和家庭子女?dāng)?shù)較多的人偏向于家庭養(yǎng)老，男性收入較高的人較傾向于獨(dú)立養(yǎng)老，而受教育程度較高的年輕一代和低收入的人群對(duì)集體社區(qū)養(yǎng)老模式的接受程度較高，并認(rèn)為未來的養(yǎng)老趨勢(shì)為經(jīng)濟(jì)上對(duì)后代依賴的減弱，但生活照顧和精神慰藉的依賴仍很強(qiáng)。［13］

通過梳理現(xiàn)有文獻(xiàn)不難發(fā)現(xiàn)，雖然目前學(xué)者們研究的內(nèi)容異彩紛呈，但鮮見運(yùn)用博弈論的方法對(duì)養(yǎng)老模式尤其是綜合養(yǎng)老模式進(jìn)行深入探討，本文首次嘗試運(yùn)用動(dòng)態(tài)博弈模型，對(duì)養(yǎng)老模式的選擇進(jìn)行研究，以期為解決養(yǎng)老問題提供新的思路。

圖1 博弈關(guān)系圖

三、博弈模型構(gòu)建

正如前文所述，老年人的養(yǎng)老包括社會(huì)養(yǎng)老、子女養(yǎng)老以及老年人的自我養(yǎng)老。為分析簡(jiǎn)便，模型中的社會(huì)養(yǎng)老僅以政府作代替;自我養(yǎng)老僅以老年人購買商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)進(jìn)行自我養(yǎng)老為代表，不對(duì)其他方式進(jìn)行說明或探討。①商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)，作為社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)的有益補(bǔ)充，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人均收入的逐步提高，以及人們對(duì)養(yǎng)老問題的擔(dān)憂，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，定會(huì)是人們實(shí)現(xiàn)自我養(yǎng)老的理想方式，發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)驗(yàn)證了這一點(diǎn)。

博弈模型中將涉及政府、子女、商業(yè)保險(xiǎn)公司及老年人四個(gè)博弈方，如圖1所示。

假設(shè)在政府與老年人關(guān)于養(yǎng)老金的支付問題、子女對(duì)老年人的贍養(yǎng)問題及商業(yè)保險(xiǎn)公司與老人關(guān)于保險(xiǎn)費(fèi)率問題的博弈中，行動(dòng)各方都是完全理性的，都以自身利益最大化為目標(biāo)。

(一)政府與老年人的博弈

政府與老年人本身并不存在對(duì)立。老年人為國(guó)家和社會(huì)做出了巨大貢獻(xiàn)，其養(yǎng)老問題是政府和社會(huì)義不容辭的責(zé)任。但目前限于政府的財(cái)力和人口老齡化不斷增長(zhǎng)的壓力，養(yǎng)老問題完全依靠政府短時(shí)間內(nèi)并不現(xiàn)實(shí)。為分析此情況下雙方的行為，假設(shè)政府與老年人都是為追求自身利益最大化的理性博弈方。

1.模型假設(shè)

政府養(yǎng)老金的支付額為每年Z，現(xiàn)在政府關(guān)于養(yǎng)老金的支付有兩種選擇，即支付增加和不增加。②由于養(yǎng)老金減少不適合目前中國(guó)情況，故本文不予討論。如果政府選擇增加養(yǎng)老金支付額為C，則相對(duì)政府而言成本增加C。

老年人除了政府的養(yǎng)老金養(yǎng)老之外，可能還有其他收入來源，包括子女的贍養(yǎng)費(fèi)或是自己已購買的商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)。如果老年人有其他收入來源設(shè)為X，即可以增加收益X，否則為0。

2.模型構(gòu)建

政府養(yǎng)老金支付增加、老年人有其他收入來源。政府目前的養(yǎng)老金支付為Z，現(xiàn)在增加養(yǎng)老金支付C，即共需支付養(yǎng)老金Z+C。老年人可以獲得其他收入來源X，即總收益為Z+C+X。

政府養(yǎng)老金支付增加、老年人沒有其他收入來源。政府共支付養(yǎng)老金Z+C，老年人沒有其他收入來源，只能獲得政府的養(yǎng)老金Z+C。

政府養(yǎng)老金支付不增加、老年人有其他收入來源。政府只需支付養(yǎng)老金Z，老年人有其他收入來源X，可以獲得總收益收入Z+X。

政府養(yǎng)老金支付不增加、老年人沒有其他收入來源。政府支付養(yǎng)老金Z，老年人獲得Z的養(yǎng)老金。

博弈矩陣如圖2所示(左邊代表政府得益，右邊代表老年人得益)。①圖中帶下劃線者為博弈的占優(yōu)策略均衡，圖3、圖5、圖6、圖7同理。

圖2 政府與老年人博弈矩陣

3.博弈分析

從圖2的博弈矩陣得益中，我們可以做出如下分析:

(1)給定政府養(yǎng)老金支付增加，老年人會(huì)選擇有其他收入來源(C+Z+X＞C+Z);給定政府養(yǎng)老金支付不增加，老年人依然會(huì)選擇有其他收入來源(Z+X＞Z)。因此，選擇有收入來源是老年人的占優(yōu)策略。

(2)給定老年人有其他收入來源，政府會(huì)選擇不增加養(yǎng)老金支付(-C-Z＜-Z);同樣給定老年人沒有其他收入來源，政府仍然會(huì)選擇不增加養(yǎng)老金支付(-C-Z＜-Z)。因此，不增加養(yǎng)老金支付是政府的占優(yōu)策略。

由以上分析可以得出，老年人選擇有其他收入來源、政府選擇不增加養(yǎng)老金支付為博弈的占優(yōu)策略均衡?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中，政府限于自身財(cái)力，其所支付的養(yǎng)老金并不能完全滿足老年人的養(yǎng)老需求，老年人往往會(huì)尋求其他的養(yǎng)老方式。

(二)子女與老年人的博弈

傳統(tǒng)道德范疇中，贍養(yǎng)老人是子女法定的責(zé)任，老人和子女并無對(duì)立。但目前子女生活壓力大，加上家庭的小型化使許多子女贍養(yǎng)老人力不從心。為了分析在此情況下雙方的行為，假設(shè)子女與老人為追求自身利益最大化的理性博弈方。

1.模型假設(shè)

子女可以選擇多贍養(yǎng)和少贍養(yǎng)，如果選擇多贍養(yǎng)需要付出F的贍養(yǎng)成本，少贍養(yǎng)則贍養(yǎng)成本為f(F＞f)。

老年人同樣可能有其他收入來源或者沒有。其他收入來源可能是政府的養(yǎng)老金支付或是老年人自己已購買的養(yǎng)老保險(xiǎn)等。如果老年人有其他收入來源，設(shè)為Y。

2.模型構(gòu)建

子女選擇多贍養(yǎng)老年人、老年人有其他收入來源。子女多贍養(yǎng)老人需要支付贍養(yǎng)費(fèi)F，而老年人的收益為F+Z+Y。

圖3 子女與老年人博弈矩陣

子女選擇多贍養(yǎng)老年人、老年人沒有其他收入來源。子女仍需支付老年人贍養(yǎng)費(fèi)F，此時(shí)老年人獲得的總收益為F+Z。

子女選擇少贍養(yǎng)老年人、老年人有其他收入來源。此時(shí)子女需要支付贍養(yǎng)費(fèi)f，老年人的收益為f+Z+Y。

子女選擇少贍養(yǎng)老年人、老年人沒有其他收入來源。此時(shí)子女需要支付贍養(yǎng)費(fèi)f，老年人的收益為f+Z。

博弈矩陣如圖3所示(左邊代表子女得益，右邊代表老年人得益)。

3.博弈分析

從圖3的博弈矩陣得益中，我們可以做出如下分析:

(1)給定子女多贍養(yǎng)老人，老年人會(huì)選擇有其他收入來源(F+Z+Y＞F+Z);給定子女少贍養(yǎng)老人，老年人依然會(huì)選擇有其他收入來源(f+Z+Y＞f+Z)。因此，選擇有收入來源是老年人的占優(yōu)策略。

(2)給定老年人有其他收入來源，子女會(huì)選擇少贍養(yǎng)老年人(-F＜-f);同樣，給定老年人沒有其他收入來源，子女還是會(huì)選擇少贍養(yǎng)老年人(-F＜-f)。因此，少贍養(yǎng)老年人也是子女的占優(yōu)策略。

由以上分析可以得出，老年人選擇有其他收入來源、子女選擇少贍養(yǎng)老年人為博弈的占優(yōu)策略均衡。在現(xiàn)實(shí)生活中，老年人為減輕子女負(fù)擔(dān)會(huì)尋求其他養(yǎng)老方式，也有一部分子女因生活壓力或其他原因并沒有完全盡到贍養(yǎng)義務(wù)。

(三)商業(yè)保險(xiǎn)公司與老年人的博弈

隨著我國(guó)保險(xiǎn)業(yè)的逐漸壯大以及養(yǎng)老負(fù)擔(dān)不斷加重，商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)在解決養(yǎng)老問題上的作用越來越顯現(xiàn)。商業(yè)保險(xiǎn)公司為老年人提供養(yǎng)老保險(xiǎn)服務(wù)，可以根據(jù)情況選擇提高或降低保險(xiǎn)費(fèi)率，老年人則會(huì)根據(jù)情況選擇購買或不購買養(yǎng)老保險(xiǎn)。

1.模型假設(shè)

保險(xiǎn)公司可以根據(jù)情況選擇提高或是降低養(yǎng)老保險(xiǎn)的費(fèi)率。①此處為了模型簡(jiǎn)便忽略了保費(fèi)不變的情況。提高費(fèi)率時(shí)，保險(xiǎn)公司在原有保費(fèi)P的基礎(chǔ)上可以額外獲得由于提高費(fèi)率所得收益Q，并且保險(xiǎn)公司可以獲得保費(fèi)的投資收益R，但保險(xiǎn)公司要支付投保人養(yǎng)老保險(xiǎn)金K。降低費(fèi)率時(shí)，保險(xiǎn)公司在獲得原有保費(fèi)收入的基礎(chǔ)上要損失Q;當(dāng)然，保險(xiǎn)公司仍可以獲得保費(fèi)的投資收益R，但要支付投保人養(yǎng)老金K。

老年人可以根據(jù)情況選擇購買或不購買商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)。購買時(shí)，如果費(fèi)率提高，老年人需要支付保費(fèi)P+Q，獲得養(yǎng)老金K;如果費(fèi)率降低，老年人要獲得養(yǎng)老金K只需要支付保費(fèi)P-Q。老年人選擇不購買時(shí)，不需要支付保費(fèi)也不能獲得養(yǎng)老金。另一方面，老年人可以獲得政府支付的養(yǎng)老金Z和其他收入T(當(dāng)T=0時(shí)即表示沒有其他收入來源)。

2.模型構(gòu)建

保險(xiǎn)公司提高保險(xiǎn)費(fèi)率、老年人購買保險(xiǎn)。保險(xiǎn)公司獲得保費(fèi)收入P+Q及保費(fèi)投資收益R，需要支付養(yǎng)老金K，所以得益為P+Q+R-K。老年人需要支付保費(fèi)P+Q獲得養(yǎng)老金K，同時(shí)獲得政府支付的養(yǎng)老金Z和其他收入T，則總得益為K-P-Q+Z+T。

保險(xiǎn)公司提高保險(xiǎn)費(fèi)率、老年人不購買保險(xiǎn)。保險(xiǎn)公司沒有保費(fèi)及其投資收益，也不需要支付養(yǎng)老金，所以總得益為0。老年人不要支付保費(fèi)也沒有養(yǎng)老金收入，但有政府支付的養(yǎng)老金Z和其他收入T。

保險(xiǎn)公司降低保險(xiǎn)費(fèi)率、老年人購買保險(xiǎn)。保險(xiǎn)公司獲得保費(fèi)收入P-Q及保費(fèi)投資收益R，需要支付養(yǎng)老金K，所以得益為P-Q+R-K。老年人需要支付保費(fèi)P-Q獲得養(yǎng)老金K，同時(shí)獲得政府支付的養(yǎng)老金Z和其他收入T，則總得益為K-P+Q+Z+T。

保險(xiǎn)公司降低保險(xiǎn)費(fèi)率、老年人不購買保險(xiǎn)。保險(xiǎn)公司沒有保費(fèi)及其投資收益，也不需要支付養(yǎng)老金，所以總得益為0。老年人不要支付保費(fèi)也沒有養(yǎng)老金收入，但有政府支付的養(yǎng)老金Z和其他收入T。

博弈矩陣如圖4所示(左邊代表商業(yè)保險(xiǎn)公司得益，右邊代表老年人得益)。

圖4 商業(yè)保險(xiǎn)公司與老年人博弈矩陣

3.博弈分析

從圖4的博弈矩陣得益中，我們可以做出如下分析:

(1)當(dāng)K-P-Q＞0時(shí)，K-P-Q+Z+T＞Z+T，K-P+Q+Z+T＞Z+T。此時(shí)，老年人選擇購買養(yǎng)老保險(xiǎn)是其占優(yōu)策略，即無論保險(xiǎn)公司費(fèi)率提高或是降低。而保險(xiǎn)公司選擇提高費(fèi)率是其占優(yōu)策略。因此，博弈的占優(yōu)策略均衡是老年人選擇購買商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)、保險(xiǎn)公司選擇提高保費(fèi)費(fèi)率，兩者得益為(P+Q+R-K，K-P-Q+Z+T)。

(2)當(dāng)K-P-Q＜0＜K-P+Q時(shí)，K-P-Q+Z+T＜Z+T，K-P+Q+Z+T＞Z+T。此時(shí)，當(dāng)保險(xiǎn)公司選擇提高費(fèi)率時(shí)，老年人會(huì)選擇不購買保險(xiǎn)，兩者得益為(0，Z+T)。當(dāng)P-Q+R-K＞0時(shí)，保險(xiǎn)公司選擇降低保險(xiǎn)費(fèi)率仍有利可圖，老年人就會(huì)選擇購買養(yǎng)老保險(xiǎn)，兩者得益為(P-Q+R-K，K-P+Q+Z+T)。當(dāng)P-Q+R-K＜0時(shí)，保險(xiǎn)公司選擇降低費(fèi)率會(huì)虧損，所以其不會(huì)選擇會(huì)降低費(fèi)率，結(jié)果是老年人不會(huì)購買養(yǎng)老保險(xiǎn)，兩者得益為(0，Z+T)。

(3)當(dāng)K-P-Q＜K-P+Q＜0時(shí)，K-P-Q+Z+T＜Z+T，K-P+Q+Z+T＜Z+T。此時(shí)，不管保險(xiǎn)公司提高或降低費(fèi)率，老年人都不會(huì)購買養(yǎng)老保險(xiǎn)，兩者得益為(0，Z+T)。

由以上分析可知，博弈模型中的均衡結(jié)果會(huì)隨著具體情況的變化而變化。

(四)三個(gè)博弈模型的綜合分析

以上三個(gè)博弈相互間是有聯(lián)系的。

1.在政府與老年人的博弈模型中，老年人會(huì)選擇有其他收入來源，而其他收入來源X包括子女的贍養(yǎng)費(fèi)和老年人購買保險(xiǎn)所獲得的商業(yè)養(yǎng)老金。

2.在子女與老年人的博弈中，老年人也會(huì)選擇有其他收入來源，而此時(shí)的其他收入來源Y是指政府增加的養(yǎng)老金支付額和老年人購買保險(xiǎn)所獲得的商業(yè)養(yǎng)老金。

3.在商業(yè)保險(xiǎn)公司與老年人的博弈中，其他收入來源T為政府增加的養(yǎng)老金支付額和子女的贍養(yǎng)費(fèi)。

由上面的博弈分析可知，政府的占優(yōu)策略是選擇不增加養(yǎng)老金的支付額，子女的占優(yōu)策略是選擇少贍養(yǎng)老年人，則

同時(shí)，老年人在前兩個(gè)博弈中的占優(yōu)策略是選擇有其他收入來源，則老年人應(yīng)該購買商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)以獲得養(yǎng)老金K。而在第三個(gè)博弈中，老年人是否選擇購買養(yǎng)老保險(xiǎn)需要根據(jù)情況而定，且由前兩個(gè)博弈可知老年人在此博弈中的其他收入來源T為f。

此時(shí)，假設(shè)老年人總的養(yǎng)老收入I。當(dāng)K-P-Q＞0時(shí)，老年人會(huì)選擇購買養(yǎng)老保險(xiǎn)，此時(shí)I=K+Z+f;當(dāng)K-P-Q＜0＜K-P+Q且P-Q+R-K＞0，商業(yè)保險(xiǎn)公司選擇降低費(fèi)率時(shí)，老年人也會(huì)購買養(yǎng)老保險(xiǎn)，此時(shí)I=K+Z+f。在其他情況下，理性的老年人不會(huì)購買養(yǎng)老保險(xiǎn)，其I=Z+f。

從博弈結(jié)果來看，理性的政府不會(huì)增加養(yǎng)老金的支付、理性的子女也會(huì)選擇少贍養(yǎng)老年人;在這種情況下，老年人就要通過購買商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)以支撐晚年生活開支。而理性的老年人要考慮費(fèi)率的高低，以決定是否購買養(yǎng)老保險(xiǎn)。對(duì)于老年人來說，在政府養(yǎng)老金支付不增加和子女支付較少贍養(yǎng)費(fèi)的情況下，其養(yǎng)老收入來源十分有限，這勢(shì)必嚴(yán)重影響老年人晚年生活質(zhì)量的提高。

構(gòu)建社會(huì)主義和諧社會(huì)，老年人的晚年生活水平是一個(gè)重要體現(xiàn)。由于老年人的養(yǎng)老收入來源主要是政府的養(yǎng)老金、子女的贍養(yǎng)費(fèi)及自己購買的商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)，即I=Z+C+F+K。其中Z是固定不變的，而C、F、K可以是等于0或大于0。老年人養(yǎng)老收入I的提高，要求政府增加養(yǎng)老金的支付、子女選擇多贍養(yǎng)老年人、老年人自己購買養(yǎng)老保險(xiǎn)，即使C、F、K大于0。為了達(dá)到這種結(jié)果就需要對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，改變博弈中的某些條件，使博弈一方的得益和成本改變，從而達(dá)到改變其策略選擇的目的。

四、博弈模型的改進(jìn)

(一)政府與老年人博弈模型的改進(jìn)

在原有模型中，政府選擇不增加養(yǎng)老金支付是其占優(yōu)策略(-C-Z＜-Z)。為了改變政府的這種行為，給模型增加一個(gè)變量A。由于老年人的生活水平反映了社會(huì)和諧及民生情況，這代表的是政府執(zhí)政能力及其為民服務(wù)的意識(shí)，受到社會(huì)輿論的監(jiān)督;同時(shí)，老年人的生活水平會(huì)在一定程度上關(guān)系到社會(huì)的穩(wěn)定。當(dāng)老年人生活水平顯著提高時(shí)，在博弈矩陣中表現(xiàn)為政府增加養(yǎng)老金支付、老年人選擇有其他收入來源，政府會(huì)受到社會(huì)及輿論的好評(píng)、人民的支持和愛戴;同時(shí)社會(huì)和諧穩(wěn)定減少了政府的維穩(wěn)成本，因此政府可以獲得得益A。相反，當(dāng)老年人生活水平顯著降低時(shí)，在博弈矩陣中表現(xiàn)為政府不增加養(yǎng)老金支付，政府會(huì)受到社會(huì)及輿論的批評(píng)，增加維穩(wěn)成本，因此政府損失A。此時(shí)博弈矩陣得益情況如圖5所示(左邊代表政府得益，右邊代表老年人得益)。

要改變政府的行為，使政府選擇增加養(yǎng)老金的支付，則政府從增加養(yǎng)老金的支付中獲得的收益A要大于增加養(yǎng)老金支付的成本C，即A＞C。由于A＞C，-C-Z+A＞-Z，-C-Z＞-Z-A。此時(shí)對(duì)于政府來說選擇增加養(yǎng)老金的支付是其占優(yōu)策略。而老年人選擇有其他收入來源是其占優(yōu)策略。因此，博弈模型擁有占優(yōu)策略均衡，即政府選擇增加養(yǎng)老金支付、老年人選擇有其他收入來源，此時(shí)得益為(-C-Z+A，C+Z+X)。

圖5 政府與老年人博弈改進(jìn)矩陣

(二)子女與老年人博弈模型的改進(jìn)

在原有模型中，子女選擇少贍養(yǎng)老人是其占優(yōu)策略(-F＜-f)。為改變子女這種行為策略，給模型增加一個(gè)變量B。傳統(tǒng)中國(guó)文化中，子女孝順父母乃國(guó)人之共識(shí)。當(dāng)子女孝順老人，且老年人生活水平顯著提高時(shí)，子女盡到法定的義務(wù)和責(zé)任，設(shè)此時(shí)子女獲益B。當(dāng)在子女少贍養(yǎng)老人，且老年人生活水平顯著下降時(shí)，子女沒有盡到法定的義務(wù)和責(zé)任，設(shè)此時(shí)子女損失B。此時(shí)博弈矩陣得益情況如圖6所示(左邊代表子女得益，右邊代表老年人得益)。

要改變子女的行為，使子女選擇多贍養(yǎng)老人，則子女從多贍養(yǎng)老人獲得的收益B要大于成本F。當(dāng)B＞F時(shí)，-F+B＞0，-F＞-B。此時(shí)對(duì)于子女來說選擇多贍養(yǎng)是其占優(yōu)策略。而老年人選擇有其他收入來源是其占優(yōu)策略。因此，博弈模型擁有占優(yōu)策略均衡，即子女選擇多贍養(yǎng)、老年人選擇有其他收入來源，此時(shí)得益為(-F+B，F(xiàn)+Z+Y)。

圖6 子女與老年人博弈改進(jìn)矩陣

(三)商業(yè)保險(xiǎn)公司與老年人博弈模型的改進(jìn)

對(duì)原有模型的改進(jìn)，無疑會(huì)考慮費(fèi)率對(duì)老年人購買保險(xiǎn)的影響及保險(xiǎn)公司之間的競(jìng)爭(zhēng)問題。在購買養(yǎng)老保險(xiǎn)時(shí)，老年人當(dāng)然會(huì)購買費(fèi)率低、養(yǎng)老金支付額高的產(chǎn)品。出于競(jìng)爭(zhēng)的考慮，保險(xiǎn)公司在保障盈利的情形下，也會(huì)選擇降低費(fèi)率和提高養(yǎng)老金支付額，否則其產(chǎn)品將很難銷售出去。因此，那些提高費(fèi)率的保險(xiǎn)公司會(huì)因產(chǎn)品無銷路而導(dǎo)致得益為0。老年人由于沒有購買該公司的保險(xiǎn)產(chǎn)品，其得益為Z+T。那些選擇降低費(fèi)率的保險(xiǎn)公司，其產(chǎn)品獲得保險(xiǎn)老年人的青睞，其得益為P-K+R。老年人購買了該公司的保險(xiǎn)產(chǎn)品，其得益為K-P+Z+T。此時(shí)博弈矩陣得益情況如圖7所示(左邊代表商業(yè)保險(xiǎn)公司得益，右邊代表老年人得益)。

激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)勢(shì)必導(dǎo)致保險(xiǎn)公司降低費(fèi)率。對(duì)于保險(xiǎn)公司來說，如何在降低P和提高K的情況下增加盈利呢?要解決這個(gè)問題就必須提高保費(fèi)的投資收益R。當(dāng)投資收益R增加時(shí)，商業(yè)保險(xiǎn)公司就可以提供低保費(fèi)、高養(yǎng)老金支付額的產(chǎn)品，把投資收益R增加的一部分讓渡給老年人;同時(shí)老年人對(duì)養(yǎng)老保險(xiǎn)的購買增加，從而達(dá)到雙贏。其博弈結(jié)果是商業(yè)保險(xiǎn)公司降低保費(fèi)費(fèi)率、老年人購買養(yǎng)老保險(xiǎn)產(chǎn)品，各自得益為(P-K+R，K-P+Z+T)。

圖7 保險(xiǎn)公司與老年人博弈改進(jìn)矩陣

五、結(jié)論

通過前面的博弈分析可以看出，在沒有任何約束的條件下，政府會(huì)選擇不增加養(yǎng)老金的支付、子女也會(huì)選擇少贍養(yǎng)老人。此時(shí)，老年人要想提高養(yǎng)老收入就會(huì)購買商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)，但理性且對(duì)價(jià)格較為敏感的老年人會(huì)根據(jù)保險(xiǎn)費(fèi)率的高低來選擇是否購買。當(dāng)保費(fèi)很高時(shí)，考慮到成本和收益，老年人可能會(huì)放棄購買養(yǎng)老保險(xiǎn)。則此時(shí)老年人的養(yǎng)老收入僅為政府所支付的基本養(yǎng)老金和子女的少量贍養(yǎng)費(fèi)，這或?qū)O大影響老年人的生活水平。

為了增加老年人的養(yǎng)老收入來源，提高老年人的生活水平，需要引入約束機(jī)制來改變政府、子女及商業(yè)保險(xiǎn)公司的行為。引入的約束機(jī)制包括以下三個(gè)方面:

首先，對(duì)政府的約束。從圖5政府與老年人博弈改進(jìn)矩陣中可以看出，政府選擇增加養(yǎng)老金的支付是其占優(yōu)策略。事實(shí)上，不斷提高人們尤其是老年人的生活水平，逐年增加人們的收入，改善民生，國(guó)富民強(qiáng)，社會(huì)和諧，這原本就是政府應(yīng)盡職責(zé)。政府要加強(qiáng)執(zhí)政的透明度，接受百姓及媒體的監(jiān)督，增加行為成本和收益的絕對(duì)值(即A的值)，真正樹立人民公仆、為民執(zhí)政、服務(wù)于民的意識(shí)。

其次，對(duì)子女的約束。圖6子女與老年人博弈改進(jìn)矩陣顯示，子女選擇多贍養(yǎng)、老年人有其他收入來源乃占優(yōu)策略均衡。贍養(yǎng)父母不僅是中華民族的傳統(tǒng)美德，也是子女的法定責(zé)任和義務(wù)。對(duì)此，每一位子女都應(yīng)有清醒的認(rèn)識(shí)和正確的理解，盡自己所能使父母安享晚年、家庭和睦幸福，這不僅能大大增加子女行為成本和收益的絕對(duì)值(即B的值)，也是衡量為人子女是否合格的標(biāo)志之一。

最后，對(duì)商業(yè)保險(xiǎn)公司的約束。從圖7不難看出，保險(xiǎn)公司與老年人博弈改進(jìn)矩陣顯示，商業(yè)保險(xiǎn)公司降低費(fèi)率、老年人購買養(yǎng)老保險(xiǎn)產(chǎn)品乃雙方博弈的雙贏結(jié)果。在保險(xiǎn)業(yè)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈的情況下，任何一家經(jīng)營(yíng)養(yǎng)老保險(xiǎn)產(chǎn)品的保險(xiǎn)公司，擅自提高保險(xiǎn)費(fèi)率意味著主動(dòng)放棄市場(chǎng)份額，尤其是對(duì)價(jià)格敏感的老年人。因此，保險(xiǎn)公司應(yīng)加強(qiáng)經(jīng)營(yíng)管理，提高保費(fèi)收益的投資水平，精確厘定費(fèi)率，力爭(zhēng)不斷降低保險(xiǎn)費(fèi)率，增強(qiáng)自己的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。

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